借相遇之力突方程之质

1、借“相遇”之力突“方程”之质“实际问题与方程例 5”教学实践与研究【内容摘要】：“相遇问题”作为典型的行程问题类型，曾经是小学生必须掌握的解决问题的类型之一。新课改之后，编写者弱化了行程问题的教学，没有单独安排相关例题，但在 2011 版人教版中它又重新回归视线，但是回归并不意味着老调重弹，将相遇问题放在简易方程这一单元中，别有用意。为此笔者分析，对“相遇问题”的教学进行了深入的分析与思考，确定本节课是借助方程，将相遇问题当成某类有着共同数量关系的一个例子，将图数量关系方程这三者紧密结合，通过“三比“构建数学模型，再通过”两融合”在原有的基础模型上进行拓展延伸，淡化模型，最终达到内化模型的教学

2、目标。真正提高学生分析解决问题的能力，培养学生初步的模型，积累数学基本活动经验。【】：相遇问题方程线段图模型困惑：教方程or教相遇五年级数学组进行集体备课的时候，发现右图中的例题（图 1）作为 2011 版的新内容编入了简易方程这一单元，并安排在了实际问题与方程 5 个例题中的最后一个，例 5 是以两个人相向运动为背景的实际问题，也就是行程问题中的典型的相遇问题。在讨论的过程中，大家产生了许多困惑。困惑 1：这节课到底要教给学生侧重相遇问题中的数量关系还是侧重用方程解决问题的一般方法？困惑 2：相遇问题属于行程问题中的一种，是否还需要拓展其他行程问题的类型呢？困惑 3：如何将相遇问题的数量关系

3、迁移到工程问题等图 1其他数学问题？看似简单的相遇问题，却又不简单，显然，老师都对这节课的教学目标和教学内容还是定位不清。为此笔者对人教版新有关内容进行了梳理。梳理：方程and相遇经过梳理笔者发现：在人教版新中，除了四年级上（图 2）出现过“速度、时间和路程”这些基本概念和最基本的数量关系外，其余涉及到速度、时间和路程的内容都只是在课后练习中零散出现，例如三年级上第六单元多位数乘一位数 P64 第 10 题（图 3），直到五年级上第五单元简易方程中才出现典型的“相遇问题”。如果只是要求教相遇问题，那么笔者认为应该把这个例题放在四年级上册学完“速度、时间和路程”这一内容后，更加合理一些，这样学习

4、内容衔接自然，也可以更好地巩固速度、时间和路程的数量关系。由此可以确定本节课的重点不是侧重行程问题的结构关系，那么困惑 1 中所提到的教学重点，笔者认为自然应该立足于方程。在五年级上册简易方程关于例 5 的编排中，除了将“相遇问题”作为例题外，工程问题、追及问题等则以练习的形式出现。（图 4）从知识结构层面分析，“工程问题”、“相遇问题”应该是纳入同一个知识系统的，而用方程解决实际问题，本身就是注重对等量关系的分析，列出方程，用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程，也就是数图 4学建模的过程。而中又特别提醒学生通过画图策略来解决这个问题。笔者认为，将相遇问题当成某类有着共同数量关系的例子，立足

5、与方程，将线段图作为桥梁，以相遇问题的模式迁移到工程问题等其他问题中，困惑 3 的难题也就迎刃而解了。至于困惑 2 中所提到的有关行程问题的其他类型，自然就不在教学范围之内。结论思考分析结论思考分析结合以上两点，笔者认为例 5 这节课并非只是单纯地教相遇问题，而是应该立足于方程，借助线段图，通过分析数量关系，抓住“相遇问题”、“工程问题”、“追及问题”等这一类数学问题的本质，抽象出数学模型，有效渗透模型，促进学生建模的和解决问题能力的。实践：相遇vs图vs方程明确本节课的定位后，笔者结合自己的思考，对本节课进行了实际的研究与实践。在教学活动中，以例题作为突破口，围绕着线段图等量关系方程这三者，

6、学生通过观察、比较、分析、抽象、提炼、判断等活动，抽象出解决一类数学问题的模型。一、画图分析，感知模型（一）画一画，理解题意1、根据题意，画图一师：，今天这节课，继续来学习解决问题（板书：解决问题）师：看大屏幕，一起读题（幻灯片出示题目，见图 5）图 5师：仔细观察，你知道了什么？要求什么？师：你能不能用画图的方法来表示题目的意好了吗？开始吧。设计意图课伊始，教师便开门见山，直接切入。出示例题之后，要求学生用画图的方法来表示题目的意思。知道，对于行程问题而言，线段图是最好的表征方式。让学生动手画一画，通过图文的互相转换，将题目中的数学信息以更加画图是小学数学中分析、解决数学问题的策略之一。画图

7、可以帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。简洁明了的形式呈现出来。2、比较鉴别，加深理解二师：老师搜集了两幅线段图（图 6），比较一下，哪一幅好？为什么？图 6学生发言，对第一幅图进行补充说明。师总结：在画图的时候，要标明出发地点（起点）、方向（相向）和最后的结果（相遇）。设计意图教师选择了两幅学生作品，进行对比分析，一幅是画的比较完整的，一幅是比较简单的，抛出问题：“你觉得哪一幅好一些？为什么？”学生通过比较分析，发言，体会到题目中的运动起点、运动方向及相遇地点在图上。虽然教师在画图这个环节中看上去“浪费”了不少时间，但是这样的“

8、浪费”是值得的，通过从文到图的转换过程，不仅可以帮助学生题意，用数学的语言和符号来表示题目中所提到的相距、相遇、相向而行，理解相遇问题中的几个基本要素，而且在动手画的过程中，让学生充分经历了线段图的生成过程，对等量关系有了初步的感悟。（二）指一指，寻找关系画图不是为了画而画，理解分析才是最终目标。因此当学生面前呈现完整的线段图后，教师并不急着让学生直接解决问题，而是让学生看找指说，一系列的数学活动，根据线段图寻找相遇问题中的等量关系。（图 7）图 7（三）列一列，解决问题三学生根据刚才找到的等量关系，用方程解决问题，教师巡视全班。师：请一位同学把他的解决过程结合着他画的图说一说生：设x 分钟后

9、相遇，根据骑的路程+骑的路程=总路程这个数量关系，这一段是骑的路程，用 0.25x 表示，这一段是骑的路程，用 0.2x 表示，这两段路程合起来是 4.5km。列出的方程是 0.25x+0.2x=4.5，解得 x=10，所以和10 分钟后相遇。教师板演总结：根据线段图，找到的等量关系是：骑的路程+骑的路程=总路程，设 x 分钟后相遇，怎么表示骑的路程？（手指线段图中的部分）用的速度乘时间来表示的路程，怎么表示骑的路程？(手指线段图中的部分)这是的速度乘的时间，这两段路程合起来就是 4.5 千米。列出的方程是 0.25x+0.2x=4.5，解得 x=10，所以和10 分钟后相遇。师再质疑：这个

10、x 一会儿表示的时间，一会儿又表示的时间，你觉得合理吗？你又是怎么想的？生：这个 x 即表示的时间又表示的时间，两个人同时出发，所用的时间是相同的。设计意图1、在反馈解题方法的时候，教师并没有摒弃线段图，为了画图而画图，而是充分发挥线段图的作用，牢牢将线段图等量关系方程这三者紧密结合起来，（图 8）一一对应，比如：骑的路程在图中是哪一部分？数量关系是什么？又是怎么表示的？看似不经意的指图动作和小问题，却让学生对题意的理解由抽象到具体。图 8的时间，一会儿又表示2、教师还不忘质疑，“这个 x 一会儿表示的时间，你觉得合理吗？”这其实是相遇问题的一个难点，虽然这个 x 已经求出来了，但是这个 x

11、到底表示什么意思呢？学生的理解仍然是的，教师这么一问，学生思考，他们便会发现，这个 x 即表示骑的时间又表示骑的时间，也就是信息中所提到的两人同时出发，同时相遇，所用的时间是相同的，再次强化了学生对同时这个概念的理解。二、横向三对比，层层抽象，构建模型（一）一比：模仿巩固，意会本质在教学完例 5 后，教师便呈现模仿练习：“两列火车从相距 570km 的两地同时相向开出，两车 3 小时后相遇，甲车每小时行 110 千米，乙车每小时行多少千米？”与例题相比等量关系的结构是相同的，方程的结构也是相同的。（图 9）只是求的部分是不一样。对于学生而言，一方面巩固的是相遇问题的数量关系，另一方面也巩固了用

12、方程解决相遇问题的一般过程和方法。而仅仅局限于用方程解决相遇问题，笔者认为又是不够的，它容易让学生只会套用相遇问题的模式解决相遇问题，忽视了学生对行程问题内在结构关系的整体认识，学生容易以题解题，缺乏知识上的沟通与联系。此时教师要做的就是继续引领学生透过相遇现象看相遇本质。（二）再比：寻找共性，提炼本质随即教师又出示了一个变式练习：“两个工程队同时开凿一条 675m 长的隧道，各从一端相向施工，25 天打通，甲队每天开凿 12.6m，乙队每天开凿多少米？”四第一层：解决“工程问题”教师：这是刚才补充完整的线段图，请大家仔细观察，线段图悄悄地发生了变化？（课件动态演示）（图 10）师：现在这幅图

13、你还能看懂吗？它表示了什么意思？生：两个工程队同时开凿一条 675m 长的隧道，面对面施工，25 天打通，甲队每天开凿 12.6m，乙队每天开凿多少米？师：根据这个线段图，你找到了怎样的等量关系呢？（稍停顿）根据你想的等量关系，再练习纸上列出方程解答。学生反馈，先指着图说一说等量关系，再说一说用方程解决问题。第二层：比较、总结师：，刚才在解决第一题时，根据线段图找到了这样的等量关系，列出方程。（图 11）第二题，根据图找到了等量关系，列出方程（图 12），看一看，从等量关系或者线段图中两个问题相同之处？生 1：把两段线段合起来就是整条线段。生 2：把左右两部分合起来就是总数。师：尽管解决不同，

14、但从图中可以看到，等量关系都是部分+部分=总数，只是里面求的部分不一样。不管求的是哪一部分，都能利用等量关系列出方程，从而解决问题。（教师边讲解边课件同步演示）（图13）设计意图1、图图比较，发现问题共性通常情况下，教师讲解完这道工程问题就结束了。而实际上，以相遇讲相遇，以工程讲工程，这样的教学是浮于表面的，也是低效的。同时学生心中也会产生疑问，前面的例题中老师都在讲相遇问题，怎么突然就冒出一个其他问题了呢？此时，教师不妨停下脚步，回头看看，刚才做过的两个题目。在动态呈现的过程中，学生不难发现，线段图的结构没有发生改变，只是里面的数据发生了变化。（图 14）段图变与不变中，学生亲眼经历了第二幅

15、线段图的产生过程，亲身体会到了工程问题就是变身后的“相遇问题”，两个问题之间存在着以下的关系：（表 1）2、式式比较，初现模型框架：通过比较两个问题的等量关系，（图 15）学生又可以发现它们的等量关系都是部分量+部分量=总量，这样的一个关系，方程的结构都是(图16）。3、图式结合，抽象出数学模型。从图到式，再从式回到图，一步一步，层层剖析，寻找两个问题相通的地方，抓住两个问题之间的相同数学本质，使得抽象数学模型水到渠成。课堂上，教师以线段图作为支撑，用式作为提炼，从而更加直观、形象、具体地让学生感受了这是一个怎样的数学模型。（图 17）从结构上来讲，这其实是部总关系模型，这种模型讲述的是总量与

16、部分量之间的关系，也就是解决问题十一种类型中的一种。通过两次比较，学生对相遇问题的理解不再局限于行程问题，也对抽象的数学模型有了深刻地认识。用线段图和等量关系在两个问题之间搭起桥梁，寻找共性，将工程问题与相遇问题进行了一个对比与沟通，从而使学生感受到抽象数学模型的自然性、合理性和必要性。同时感受图变与不变的过程中让学生体会数学模型，经历数学模型的形成过程。不过到现在为止，学生只是在相遇问题和行程问题中找到了共同的数学本质，那么其他数学情境下呢？学生自然而然地会想到是不是还有其他数学问题也是这样的一个结构关系呢？此时，教师要做的就是引领孩子继续寻找数学情境不同而运算结构相同的数学素材， 不断丰富

17、数学模型，继续体验数学基本数量关系的结构化。（三）三比：变换情境，模型在教学完相遇问题的完整教学结构后，教师接连呈现了几个问题，五师：图，你还能联想到哪些类似的数学问题呢？留给学生适当的数学思考和数想的时间师：快速读题（图 18），根据题意，将线段图中括号填完整，再说一说等量关系。师：根据刚才找到的等量关系，只列方程不解答。师：仔细这几个问题，尽管这些问题情境不同，但是它们有相同的地方吗？设计意图此时此刻，在学生脑海中已经建立了这样的一个数学模型，但是这个模型的内容是单薄的，仅仅是工程问题和相遇问题。教师先问学生：“图，你还能联想到哪些类似的数学问题呢？”看似不经意的一句话，其实是激发学生的学

18、习，学生思考，根据已有的数学学习经验，进行数想。等学生有了一定的联想和思考后，教师便呈现各种各样的数学情境，进行读题填图说等量关系只列式不计算的巩固练习。教师所呈现的三个数学情境，以前只是单一的呈现并解决，而此时它们的作用在于让学生体会这些问题都利用线段图搭建了一座桥梁。从一开始的填线段图中，学生可以感受到图不变，变的是每部分的名称和所求的部分；再到后来的列式不解答，学生又可以感受到等量关系的结构没有变，方程的结构没有变。在变与不变的轮番呈现中，让学生感受到不是只有相遇问题和工程问题有这样的联系，其他很多数学问题都符合这样的数学模型的，对于学生感悟模型有很大的帮助。重新解决这些问题的过程，对于

19、学生来说又是一种新的体会和感触，课堂中有学生情不自禁地发出“哦哦”，仿佛然大悟，原来是这样啊！以大量丰富的具体情境作为认识的感性支撑，学生的思维已经不再拘泥于相遇问题了，看似课堂教学跳出了相遇问题，实际上这些数学问题都是符合相遇问题的数量关系的特点，由此学生对相遇问题又有了更加深入、更加本质的认识，也对这个数学模型的框架有了更加清晰的认识。三、纵向两融合，潜移默化，淡化模型（一）类型融合，扩充模型面的几个环节中，从线段图到等量关系再到方程，从相遇问题到工程问题再到购物、面积等问题，虽然情境各不相同，但是学生已经开始慢慢地感悟“”这一基本的数学模型。此时，学生已经产生了一定的定势思维，教师应该做

20、的不再是巩固模型，而是应该拓宽数学模型的外延，求同存异，多种相似类型融合，淡化数学模型，从而帮助学生内化模型。1、从过渡到数学素材：五（1）、（2）两班去种 52 棵树，一班先种 12 棵，剩下的由二班完成。二班每天种 10 棵，需要几天完成任务？（解：设需要 x 天完成任务。)设计意图面解决中，求部分量都是需要两个量相乘得到的，而事实上有些情况下，是可以直接用一个量来表示部分量的。这个问题就是以植树为情境，设的 x 只和二班有关，可以直接用 12 棵来表示一班的植树量。将原来部分量中的看成了一个整体，学生也体会到了要根据实际情况表示部分量，不管是其中的部分量采用怎样的表达形式，它们的等量关系

21、结构仍然是不变的，依旧是部分量与总量的关系，将原有数学模型的范围又扩大了一些。2、从过渡到数学素材： A 地和 B 地相距 341 千米，甲乙两艘轮船同时从 A 地、B 地相向而行，甲船每小时行 32.5 千米，乙船每小时行 35.7 千米，两船出发多久,再行驶 172.8 千米就能相遇了？()解：设两船出发 x 小时后，再行驶 172.8 千米就能相遇了35.7x32.5x172.8=34135.7x32.5x172.8=341设计意图这个数学问题的目的是为了打破学生对+=这个固定框架的，是在上一题的基础上，又增加了行驶 172.8 千米这一个量，也就是在原来的框架上增加为+172.8=，模型中的部分量不应该局限于两个，所以将原来