线性方程组理论在解析几何中的应用分解

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业学校代码学号 O182分类号密级公开题目：线性方程组理论在解析几何中的应用 （英文): The theory of linear equations in the application of analytic geometry数学与应用数学 作 者 姓 名 专 业 名 称 理 学 学 科 门 类 指 导 教 师 提交论文日期成 绩 评 定 摘 要本文将线性代数中的方程组理论应用于解析几何,沟通了线性代数与解析几何的内在联系,并可透视代数与几何的相互渗透,也可使许多几何

2、问题得到更为简明的刻画.本文首先写了线性方程组的一般理论,从而为它的应用打下了基础,然后写了利用线性方程组理论得到的解析几何中的几个命题,最后写了该理论在解析几何中的应用,判断空间中平面与平面、直线与直线、以及直线与平面的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用，这体现了代数与几何的完美结合.那么在解决问题时我们往往先将问题转化成比较容易处理的线性方程组的问题,然后利用线性方程组的相关理论来解题,这样可使问题快速的解决.关键词：线性方程组,矩阵的秩,直线,平面AbstractThis paper will in linear algebra equations theory is appli

3、ed in the analytic geometry, the communication relationship between linear algebra and analytic geometry, mutual penetration and perspective of algebra and geometry, also can make many geometric problems more concise description. First write the general theory of linear equations, so as to lay the f

4、oundation for its application, and then wrote several propositions of analytic geometry by using the theory of linear equations obtained in the application of this theory, finally wrote in analytic geometry, judge the space plane and plane, straight line and straight line, and the line and plane loc

5、ation, is the application of algebraic knowledge in space analytic geometry, this reflects the perfect combination of algebra and geometry. Then through solving the problem we are often the first to transform the problem into a linear equations are relatively easy to handle, and then use the theory

6、of linear equations to solve problems, so that the problem solved.Keywords: linear equations, rank of matrix, linear, flat目 录 TOC o 1-3 h z u 引言线性方程组是线性代数的主要研究对象之一,它的理论严禁、发展完善、处理问题的方法独特,可应用于解决各个领域的实际问题,在解析几何中许多问题的处理都离不开线性代数中的方程组理论,比如说利用该理论可以解决解析几何中的向量、二次曲线、二次曲面等方面的问题,在处理问题时它主要起辅助性的作用.本文主要研究了线性方程组理论在

7、解析几何中的应用,判断空间中平面与平面、直线与直线、以及直线与平面的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用,这体现了代数与几何的完美结合.本文用矩阵的秩对这三个关系作了系统的研究,并给出了一些非常有用的结论.1 线性方程组的一般理论 在线性方程组理论的研究过程中,线性代数逐渐的产生了,研究者尝试着寻找一般的方法求出它们的解.线性方程组理论是线性代数的基础部分,这个理论有三个方面的内容：1、求线性方程组解的方法2、线性方程组解的判定3、线性方程组解的结构.线性方程组理论在线性代数中以及数学的其他领域都具有广泛的应用.所以深入研究线性方程组的理论是学好线性代数这门课程的前提条件.那么我们在学习

8、高等代数时,矩阵和向量通常被作为研究工具,所以线性方程组理论在研究高等代数的过程中也起着关键性的作用.1.1 线性方程组的定义定义11 每个方程关于未知量的次数都是一次的方程组称为线性方程组.1.2 线性方程组的三种表示1.2.1 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式是指形如 的方程组,其中未知量是,用代表个数,该方程组中方程的个数用表示,方程组的系数是,常数项是.1.2.2 线性方程组的向量形式 线性方程组的向量形式可表示为其中 1.2.3 线性方程组的矩阵形式 线性方程组的矩阵形式可表示为 其中 特别地,如果,则被称作齐次线性方程组,而如果,则被称作非齐次线性方程组.1.3 齐次线性方

9、程组1.3.1 齐次线性方程组有非零解的条件(1) 如果未知量的个数大于方程的个数,那么必有非零解. (2) 若,并且它有非零解,则等价于,也等价于的列向量组线性相关(3) 若,即是方阵时,那么有非零解矩阵的行列式等于零.1.3.2 齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为 (1.1) 它的矩阵形式是 （1.2） 设方程组(1.2)的所有解向量构成一个集合,把它记为.定理12 齐次线性方程组(1.2)的解集合是的子空间,并且的维数是.对于齐次线性方程组(1.1),当未知量的个数等于方程的个数时,有以下结论:当时,设是的基,则的解空间可表示成称的基为齐次线性方程组的基础解系,称为齐次线性方程组(

10、1.1)的通解.当时,方程组(1.1)只有零解,此时方程组(1.1)没有基础解系.当时,解向量组为的基础解系的充分必要条件是： 为的个解向量构成的线性无关向量组,也等价于的解空间中任意向量可由线性表示.1.4 非齐次线性方程组1.4.1 非齐次线性方程组的有解判定 有解 的列向量组可以把线性表出 向量组和等价 更加准确的有以下三种情况：有无穷解 无解 有唯一解 1.4.2 非齐次线性方程组解的结构设非齐次线性方程组为 （1.4）把齐次线性方程组 （1.5） 称作非齐次线性方程组(1.4)的导出组,或非齐次线性方程组(1.4)相对应的齐次线性方程组是(1.5). 定理22 (1) 如果和均是(1

11、.4)的解,那么为(1.5)的解；(2) 如果为(1.4)的解,为(1.5)的解,那么还是(1.4)的解. 当（是未知数个数）时，设为(1.5)的一个基础解系，为(1.4)的一个特解,则(1.4)的通解是 （1.6）其中是任意实数. 事实上，因为为(1.5)的解,为(1.4)的解,由定理2的(2)可知式(1.6)为(1.4)的解.反之如果为(1.4)的一个解,则就是(1.5)的一个解，则可以表示成,所以2 应用线性方程组理论得到的解析几何中的几个命题.命题1 设是平面上四个点,且矩阵,如下 , 则这四个点共圆的充要条件是两个矩阵,具有相同的秩,即就是.证明 设在平面上,（均为常数且不全为零）为

12、圆的一般方程,则有 （2.1）由齐次线性方程组的理论可以知道:四个点共圆,等价于方程组(2.1)有解,也等价于. 命题2 设条直线,在平面上,且矩阵分别为, 则这条直线相交于一点的充要条件为.证明 现在考虑方程组 （2.2）由线性方程组的理论可以知道:(1)这条直线相交于一点,等价于方程组(2.2)的解是唯一的即是,也等价于.例1 在什么条件下,条直线,以及通过同一点解 联立这三条直线方程,得 (2.3)该方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是和因为 , 故.因此这条直线通过同一点的充分必要条件是方程组(2.3)有解,即.命题3 设为空间上四个点,且矩阵为 矩阵的秩为,则(1) 当时,四点异面； (

13、2) 当时,四点共面；(3) 当时,四点共线； (4) 当时,四点重合.证明 对进行初等变换,由可知.又,(1) 当时,向量组,是线性无关的,张成整个三维空间,因此四点异面.(2) 当时,，此时设的前两行是线性无关的,即向量组,是线性无关的,因此向量可以被该组向量线性表示,向量组,共面,所以四点共面,但是不共线(3) 当时,与前面类似分析可以得到向量组,是共线的，所以四点共线.(4) 当时,即就是=,因此四点重合.例2 什么条件下，个点,在同一平面上？解 关于的齐次线性方程组 有非零解时,这个点共面,即个点共面的充分必要条件是矩阵 的秩小于4.命题4 设有个平面,且矩阵分别为： ， 则(1)

14、这个平面仅有一个公共点等价于；(2) 这个平面相交于一条直线等价于.证明 (1) 现在考虑方程组 （2.4）则由线性方程组的理论可知:这个平面仅有一个公共点等价于方程组(2.4)有唯一解等价于. (2) 充分性:如果,那么由线性方程组的理论可知,方程组(2.4)的解有无穷多个,它的基础解系含有个解向量,为所有解,所以这个平面相交于一条直线,并且为该直线的方向向量.必要性:如果这个平面相交于一条直线,那么方程组(2.4)的解有无穷多个,从而有.又因为这个平面是不重合的,并且,所以.命题5 设是三角形的三条边所在的直线方程,已知是矩阵的元素的代数余子式,则三角形的面积为 其中“”的选取可使为正值.

15、 证明 联立任意两条直线的方程,从而可得到三个方程组,因为三角形三条边是两两相交的,所以这三个方程组的系数行列式,都不为零并且顶点分别是 , , 从而就有 3 线性方程组理论在解析几何中的应用 线性方程组理论和解析几何有着密切的关系,那么下来我们主要以例题的形式分别展示线性方程组理论在解析几何中的应用.3.1 平面与平面的位置关系3.1.1 两平面间的位置关系现在设有两平面 与 那么与之间的相互关系有下面三种情况：(1) 如果,即就是方程组 （3.1）的系数矩阵的秩与它的增广矩阵的秩不相等时，此时方程组(3.1)是无解的，因此与没有公共点,和平行并且不重合.(2) 如果,此时方程 和 有相同的

16、解,所以和重合. (3) 如果,此时方程组(3.1)有无穷多解，但是与不重合,而是相交于一条直线.例1 确定平面 ： 和 ： 之间的位置关系.解 因为 故平面与相交于一条直线. 例2 试证明平面上三个点、共线的等价条件为证明 设这三个点同时在直线上，则方程组 有解. 从而矩阵 和 的秩相等，所以. 反之，如果，很显然此三点是共线的.否则就有,但是，所以，从而和的秩相等，方程组（未知数是和） 有解，因此该三点是共线的. 例3 设是平面上的个点，试求点在同一直线上的充分必要条件.解 设点在同一条直线上（不能同时等于零），此时点的坐标满足方程 则有 (3.2) 于是未知量是、的齐次线性方程组 (3.

17、3) 有非零解.此时就有 秩反之，如果 秩那么齐次线性方程组(3.3)有非零解.现在取其中一组，例如：，则方程组(3.2)成立，因此点同时在直线上.综上所述，点在同一直线上的充分必要条件为 秩注意 很容易看出 秩是重合的.3.1.2 三个平面间的位置关系设平面的方程分别为矩阵,分别为,则(1) 当时,三平面交于一点.(2) 当时,三平面两两相交,或三平面中有两个平面相交,另一平面与其中一平面平行.(3) 当时,三平面交于一条直线,或两平面相交另一平面与其中一个重合.(4) 当时,三平面平行且三平面互异,或三平面平行其中有两平面重合.(5) 当时,三平面重合.证明 联立三个平面方程得线性方程组,

18、分别为系数矩阵和增广矩阵.(1) 当时,方程组有唯一解,因而三平面交于一点.(2) 当时,由于,方程组无解,因而三平面无交点.因为,说明其中必有两平面的法线向量的分量不成比例,也就是法线向量不平行,故必有两个平面相交,由可知三平面互异.故有两种情况:三平面两两相交且互异,或三平面中有两个平面相交,另一平面与其中一个平面平行.(3) 当时,方程组有无穷多解,因而三平面有无穷多交点.因为,必有两平面相交；又可知三平面中至少有两个互异.故有两种情况:三平面交于一条直线,或两平面相交,另一平面与其中一个重合.(4) 当时,由于,方程组无解,因而三平面不相交.由且知三平面中没有两平面相交,故三平面平行；

19、又由可知三平面中至少有两平面互异,故有两种情况:三平面互异且相互平行,或三平面平行,其中有两平面重合.(5) 当时,方程组有无穷多解,因而三平面有无穷多交点.由可知,没有两平面相交；而,三平面中至少有一个互异,但当有两个或三个互异时,与三平面有无穷多交点矛盾,故三平面只能重合.推论3 设个平面的方程分别为矩阵,分别为 则(1) 当时,个平面交于一点.(2) 当时,个平面平行.(3) 当时,个平面相交于一条直线,且这个平面的方程联立的线性方程组的解就是所求交线的方程.例4 设有三个平面 (1) 为何值时三平面交于一点； (2) 为何值时三平面无交点； (3) 为何值时三平面交于一条直线,并求直线

20、方程. 解 联立三个平面方程得线性方程组,其增广矩阵由推论得:(1) 当时,即也即时,三平面交于一点；(2) 当时,即且,也即且时,三平面无交点；(3) 当时,即且时,三平面交于一条直线,此时方程组有无穷多解三平面交于一条直线,其中为参数.例5 就方程组解的情况,讨论空间三平面的位置关系.解 记方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为：,则: (1) 当时所给方程组有惟一解,这时三张平面交于一点.(2) 当时,分为两种情况.()这时方程组无解,即张平面无公共点,而个法向量共面,其情况有:个法向量没有两个平行时,平面两两相交,且交线平行,个法向量有两个平行,与第三个不平行,这时有平面平行与第三平面皆相交

21、.()当有无穷多个解,由于,故通解形式为表示三平面交于一直线.(3) 当时,又分两种情况.(),方程组无解,表示三平面平行,或有两平面重合与第三平面平行.(),表示三平面重合.3.2 两条直线的位置关系空间两直线的位置关系可分为两大类:异面、共面；在同一平面内又分为:平行、相交和重合,这里介绍用矩阵的秩来判断空间中直线与直线的位置关系.引理14 设向量则 三向量共面.定理14 设空间两条直线 与 设矩阵的秩为,矩阵的秩为,则当 (1) 时，两直线异面； (2) 时，两直线重合； (3) 时，两直线相交； (4) 时，两直线平行.证明 设向量组,.由假设知,线性无关,线性无关,所以,线性无关,线

22、性无关,因此.(1) 当时,线性方程组 无非零解,而两平面的平面束方程分别是 这说明两平面束方程没有共同的平面,即两直线异面.(2) 当时,由(1)可知向量线性无关,所以为极大线性无关组,同理为极大线性无关组；即对任意存在使得,存在使得,可知与的平面束方程相同,所以两直线重合. (3) 当时,四个平面组成的线性方程组 （3.4）的系数矩阵为,增广矩阵为它与有相同的秩均为，所以(3.4)有唯一解，即四平面有唯一交点，得两直线相交. (4) 当时,的方向向量分别是根据引理1得,又因为方程组(3.4)无解，即四平面无交点,所以两直线没有交点,从而两直线平行.例6 判断以下两条直线 与 的位置关系.解

23、 有系数矩阵进行初等行变换得的秩，所以两直线平行.3.3 直线与平面的位置关系直线与平面相对位置可分为:平面与直线平行、直线与平面相交、直线在平面上.这里介绍用矩阵的秩来判断直线与平面的位置关系.定理24 空间直线和平面 设 则(1) 当时,直线与平面相交；特别地,当或时,直线与平面垂直. (2) 当时,直线在平面上. (3) 当时,直线与平面平行.证明 联立直线与平面的方程可得线性方程组，分别是系数矩阵和增广矩阵，且有.(1) 当时,方程组有唯一解,所以直线与平面相交,当或时，构成直线的某一平面法线向量与平面的法线向量垂直,这时直线与平面垂直；结论(2)和(3)由方程组解的理论易得.例7 确

24、定直线和平面的相互关系.解 根据定理2故,直线在平面内.结束语本文主要研究了线性方程组理论在解析几何中的应用,判断空间中平面与平面、直线与直线、以及直线与平面的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用,这体现了代数与几何的完美结合.解析几何是数与形的有机结合,它将几何体用代数形式巧妙的表示出来,然后通过研究代数方程的相关性质,从而揭示几何图形的内在本质,并给用计算机研究几何图形提供了理论依据.本文将线性代数中的方程组理论应用于解析几何,沟通了线性代数与解析几何的内在联系,并可透视代数与几何的相互渗透,也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.从线性方程组的理论在解析几何中的应用我们可以看出线性方

25、程组理论是研究高等代数强有力的工具,所以我们必须认识到该理论应用的重要性,并且我们要会巧妙的利用线性方程组理论解决一些实际性问题,所以说我们一定要认真学习该理论,要掌握它的理论基础部分,然后更加深入的钻研,只有这样才能有效的掌握该理论以及它的应用.参考文献1张凯. 齐次线性方程组的解与矩阵的秩J. 武汉科技大学学报,1998,(03),32-35.2吴勃英、游宏、董增福. 线性代数与空间解析几何M. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2000,116-120.3费绍金. 空间中平面位置关系研究J. 保山师专学报，2007,(05),52-54.4安芹力. 用矩阵的秩判断空间直线及直线与平面的位置关系J. 高等数学研究，2005,(03),91-93.5吴勃英等编. 线性代数与空间解析几何学习指导M. 北京：科学出版社,2004，112-113.6孟道骥. 高等代数与解析几何(第二版)M. 北京：科学出版社,2004,178-180.7蒋大为. 空间解析几何及其应用M. 北京：科学出版社,2004,87-89.8北京大学数学系. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社,1988,23-24.9张禾瑞,郝鈵新高等代数(第四版)M. 北京: