数值分析一致逼近

1、第六章函数逼近（最佳一致逼近）1第六章目录1 最小二乘法原理和多项式拟合2 一般最小二乘拟合 2.1线性最小二乘法的一般形式 2.2非线性最小二乘拟合3 正交多项式曲线拟合 3.1离散正交多项式 3.2用离散正交多项式作曲线拟合4 函数的最佳平方逼近5 最佳一致逼近25 最佳一致逼近多项式 在度量标准 下，求 (x) ，使 （达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍 然取 (x)为多项式，即求多项式 (x)使残差： 绝对值的最大值 达到最小。或可写为：在H中求满足 (x) （f 的逼近函数 (x) ）： 即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中任

2、一 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的 (x)为f(x)在H中的最佳一致逼近函数。 3最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面关系式的 称为f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多项式。 记 称为偏差。 偏差点： 若 满足 则称x0为 (x)的偏差点，偏差点为正，称为正偏差点， 偏差点为负，称为负偏差点 可以从下面例中理解有关概念。 4引例 例如：要求区间0,1上y=arctgx的一次近似式可以有多种方法： （1）Talor公式：tg1x x,误差R(x)= tg1x- x，在x=0附近很小，x=1时误差最大，R(x)|x=1=0.2146； （2）插值: x=0,1作节点=

3、L1(x)=x/4，tg1x x/4，其误差在 处，即在1附近较大为0.0711； （3）最小二乘法（例10 4中） 误差在x=1处最大为0.0493（比前二式误差小）。 5问题： 由最小二乘法得到的arctgx0.0429+0.7918x是在最小二乘意义下的最佳逼近多项式，是不是最好的？ 这里“最好”的标准是什么？这个标准就是“一致逼近”的概念，它应使最大偏差尽可能小（或者说达到最小）。引例（续1） 0,1上y= tg1x的近似一次式就是曲线y= tg1的近似直线，图6-3中，OA为arctgx的曲线，OA为OA的弦，CB为平切线，F为切 点，作为近似直线：OA是不是最好的？回答是否定的！

4、在x=处产生较大偏差或者说误差最大。 那么CB是不是最好的？结论仍然是否定的！图6-3BEAOXYDCarctgx1几何上：如图6-3，6引 例（续2） 在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此：作DE（OA与CB的中线），在OA到DE间，CB到DE间直线都不是最好的，若最好的近似直线在OA到DE间，必然在x=处产生较大偏差，若在CB到DE间则必然在x=0及x=1处产生较大偏差。只有DE才是符合这里“标准”的最好近似直线（误差均匀），不产生最大偏差标准下的使最大偏差达到了最小。 这样的DE如何求：设为a0+a1x，误差R(x)=arctgx-a0-a1x。 R(x)在x=0,1这三点处绝对值最大

5、，别的地方误差不会比这三点处的误差大，（图上清楚）。 在x=0处，直线在上，曲线在下； 而R(x)在x=处曲线在上，直线在下，R(x)的符号正负相间； 在 x=1处，直线在上，曲线在下； 可假定最大偏差值为E，则有：图6-3BEAOXYDCarctgx17引 例（续3） 此近似式在x=处（几何直观）误差最大为E=0.0356，比前面得到任何一次近似式的最大误差都小。好的近似直线：偏差均匀（一样大），即在0,1三个点（偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使偏差值最小，例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易求，因为偏差点偏差能找到。 8最佳一致逼近概念 （按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为：

6、 在n次多项式中，求一个 与其它任一个n次多项式 (x)对f(x)的偏差 相比较是最小的，亦即： 其最小值 称为最小偏差， (x)是f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多项式。下面的切比雪夫定理表明： 这样的最佳一致逼近多项式 是唯一存在的这个理论问题。 (x) ，在a,b上使 (x)对f(x)的偏差 也可写作：对于Hn（n次多项式的集合）中不同的 (x) ，有不同的偏差值 9切比雪夫定理定理6.6 Pn(x)Hn是f(x)Ca,b的最佳一致逼近多项式的充要条件是Pn(x)在a,b上至少有n+2个不同的依次轮流为正，负的偏差点（这些点称为切比雪夫交错点组）。 切比雪夫定理给出了最佳一致逼近多项

7、式的特征，性质，在最佳一致逼近理论中起着重要作用。 推论1 如果f(x)Ca,b，则在Hn中存在唯一的最佳一致逼近多项式。设f(x)Ca,b，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项式Pn(x)，就是f (x)在a,b上的某个n次Lagrange插值多项式。 推论2 （推论2证明下屏）（n+2个点是唯一的）10推论3 设f (x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(n+1)(x)定号或为正（为负），则区间端点a,b都属于f (x)的n次最佳一致逼近多项式的那n+2个偏差点。 Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) Pn (x)在a,b上至少有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn

8、(x)=0在a,b上有n+1个根存在n+1个点：a x0 xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,n) , 所以，以此作为插值条件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,xn为插值节点的n次值多项式 。切比雪夫定理（续1） 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：（紧接下屏）11切比雪夫定理（续2）则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,an，最小偏差值En及n+2个偏差点a x0 x10 (0)定号即在a,b上不变号，保持凹（凸），故f (x)在a,b上单调增（减）。 在（

9、a,b）内只有一个零点x1(x0,x2取a,b两点，（只剩 一个）也就是唯一的一个偏差点（极值点）使f (x1) P (x1)=0 （紧接下屏）14一次最佳一致逼近多项式（续）15一次最佳一致逼近多项式举例例11解设P1(x)=a0+a1x是f (x)的最佳致逼近一次式。由定理6.6函数P1(x)在0,1上至少有三个等幅振动点，设为0 x1x2 x3 1，由于 求 在0,1上的一次最佳一致逼近多项式。 在(0,1)上单调减少，且仅有一驻点，故f(x)P1(x)在(0,1)内只有一个偏差点x2，它满足 另两个偏差点为x1=0, x3=1于是 所以：16例11（续）将（6-16）(6-17）(6-

10、18)联立求解得：a1=1,x2=1/4,a0=1/8。所以 在0,1上的一次最佳一致逼近多项式为:如图6-4所示， 是一条与(0,0)，(1,1)的直线。两点联线及 的与这条联线平行的切线等距图 6-4XY10.517切比雪夫插值法 对定义在任意区间a,b上的函数f (x)，作变换： 即可将定义在a,b上的f (x)，化为定义在-1，1上的函数g (t)：因此，下面仅对区间-1，1进行讨论。 切比雪夫插值法是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。 （紧接下屏）18切比雪夫插值

11、法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1个零点： 为节点构造f (x)的n次插值多项式n(x)，而以n(x)作为n次最佳一致逼近多项式的近似。 定理6.7（切比雪夫性质）设H为最高项系数为1的n次多项式的集合，则有19 由切比雪夫多项式的性质，在-1，1上在n+1个偏差点（极值点）： 证明 ） 用反证法）：假设存在 使得： 因为 于是 令： 处有：（紧接下屏）定理6.7（切比雪夫性质）证明20 即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介值定理， 在-1，1上应具有n个零点。但 ： 和Pn(x)都是最高次项系数为1的n次多项式，Q(x)作为它们的差，至少是n-1次多项式，

12、不可能有n个零点，所以定理得证。因此有：定理6.7证明（续）21切比雪夫插值法（续4） 因此，对于-1，1上的f (x)，若以Tn+1(x)的n+1个零点作n次插值多项式n(x)，其插值余项为：定理6.7说明，在H中的 最大绝对值最小，故对表达式： 仅当 x0 , x1, xn 取为Tn+1(x)的零点时达到最小值2n。（紧接下屏）22切比雪夫插值法（续5） 这表明以 n(x)作n次插值多项式，比采用其它n+1个节点插值所产生的误差都要小，因而n次切比雪夫插值多项式可作为n次最佳一致逼近多项式的近似。23切比雪夫插值法步骤 用切比雪夫插值法求f(x)在a,b的n次最佳一致逼近多项式n(x)的步

13、骤为： 1. 变换区间a,b-1,1（切比雪夫多项式定义在 -1,1上） 2. 24求三次逼近多项式举例例9分别用Taylor展开，Newton插值及Chbyshev插值求f (x)=xex在0,1.5上的三次逼近多项式。 25例9解 （2）Newton插值xifi230010.50.82441.6488x12.71833.78782.139x(x-0.5)1.56.72258.00844.22061.3877x(x0.5)(x1)三次Newton插值多项式为：其误差为：解（2）取节点x0=0,x1=0.5,x2=1,x3=1.5，Newton插值的计算过程见下表 26例9解 （3）Cheby

14、shev插值以xk(k=0,1,2,3)为节点求插值多项仍用Newton插值计算，结果见下表： 解（3）Chebyshev插值。 首先按式（6.18）求 的零点 27例9解 （3）Chebyshev插值（续1）xifi230.05710.0604610.4630.73561.6633(x0.0571)1.0372.92513.81452.1953x(x-0.0571)(x-0.463)1.44296.10777.84084.10891.3809x(x-0.0571)(x-0.463)(x-1.037)所以三次最佳一致逼近多项式为：28例10上的三次最佳一致逼近多项式。分析：要求f(x)的最佳一

15、致逼近多项式p3(x),即要使达到最小此时也达到最小是首项系数为1的四次多项式考虑到由切比雪夫性质（定理6.7）知道，当取为首项系数为1的四次切比雪夫多项式 时，上与0的偏差最小。于是可取29例10（续）一般地，在区间-1，1上首项系数为an的n次多项式f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式 -1，1 上首项系数为1的n次切比雪夫多项式若区间为a，b可1.先做区间变换:2.3.最后得到f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式30第六章结 束31 上机练习题：不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线的优劣。 方案I 拟合函数取为如下形式的三次