公务员考试行测笔记

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业行测笔记一、资料分析（一）基本知识1、增长量、增加值、增加额、增长额增长量、增加值=终值 初值现值为B，增长率为r,则增长量= B - B / （1+r）柱形图中两个柱长短的差值所代表的统计数值，若具体指标数值的曲线成线性，则在相邻时间段内，增加量相等，但增长率不同，即便是该曲线的斜率逐段增加也不能够判断增长率增加了，因为这跟基值大小有关。【此时可能能用到直尺，量“柱”的长短和“点”的高低】若表示某一数值的实际指标（一定是数值，不能是百分比之类的）呈线性增长，那么相同时

2、间段的增长量相同，但在曲线上升时它的增长率降低了，在曲线下降时它的增长率的绝对值增大了=2、增长率、增长了多少（用%表示）增长率 终值/初值 1 终值大于初值1 初值/终值 终值小于初值两年混合增长率：如果第二期与第三期的增长率分别为r1,r2，那么第三期相对于第一期的增长率为 r1 + r2 + r1 * r2r1+r2+r3+rn n平均增长率：如果n年间的增长率分别为r1,r2,r3rn,则平均增长率A（1+r|）n = B，中的r就是n的平均增长率，r= ，累计增长率在数值上等于平均增长率。当nB的增长率时，比值都在增长；当A的增长率=B的增长率时，比值都不变；当A的增长率323.97

3、*85.16%.差分法：（1）“差分数”代替的是“大分数”，再跟“小分数”比较（2）变化型的差分法相当于将乘法型比较转化成除法型的比较；转化的时候，只需将两边各取一个数，到对方那边当分母即可；最后的大小顺序是不变的。放缩法：BC AD 若AB 且CD则有A+CB+D；A-DB-C若AB0且CD0则有A*CB* D； “分组相加”再放缩，精度会提高：857+993+2034+2141+3942=（857+2141）+（2034+3942）+9933000+6000+1000=1000010983凑整法：就是相互组合，是误差相互抵消估算法：综合型方法（三）常见陷阱（1）时间陷阱：给出与原文相近的时

4、间、日期，并在选项中给出原文中的数据以混淆视听，如把时间的范围扩大等（2）单位陷阱：出现混用或不是标准的单位，如千米与里，公顷与亩，万元，百万元，又如饼图内数值不是占的百分比；几个分量不是所有的分量，那么他们所占的比分比的和自然不是100%（3）增长率和增加值陷阱：增长率下降了，不能判断增长值和实际数值减小了（4）增加值与实际数值陷阱：增加值减小了不能判断实际数值减小了（5）指数与数值陷阱：指数下降了，不能判断数值也下降了（6）统计陷阱：不完全统计 2007年M省部分城市经济状况GDP总额（亿元）GDP增额（亿元）增速M6173.1910.814.75%A2517.3337.213.40%B1

5、118.2142.312.73%C1162.4131.711.33%D563.7182.232.32%不能够判断在2007年，M省各城市中A市的GDP增额最多能够判断在2007年，M省各城市中B市的GDP总额居于第三位,但不能够判断D的总额居于第四位（7）特殊表述：增长最多/增长最快：前者是“量”，后者是“率”最不恰当/最有可能：最不会超过/不会低于：选择最大的数过/选择最小的数可能正确/可能错误：除去肯定错误过/除去肯定正确一定正确/一定错误：必须是能够确定的每/平均：待比较的分数都是后一个量除以前一个量；用累计值除以个数以上说法正确的是/不正确的是：考虑“以上说法都正确/不正确”“A、B选

6、项都正确”是否会入选；按照D、C、B、A的大致顺序可能会减少判断时间，但应遵循“简单着手”原则。从材料中可以得到：选项中正确的表述不一定能够入选，所选的选项的正确性必须从材料中得到完全的验证；像“推断原因”“预测趋势”这类主观性很强的表述一般不对！（四）做题技巧文字题：（1）分清材料是并列结构，总分结构，分总结构，总分总结构中的哪一种（2）明晰材料结构，标出中心关键词及可能出错的地方。千万不要划数据，因为划数据意义不清容易出错，而是要划概念。出题具有次序性，一般前面的提问答案在资料前部分可以找到；后面的提问答案在后部分找。表格题：（1）定位表格中的某个数值，理解它的准确含义，从而把标题、横标目

7、、纵标目、单位、注释全部串起来（2）注意横标目、纵标目之间的并列关系，包含关系图表题：定位图标中的某个数值，理解它的准确含义，从而把图名、单位、图例、图注、图解全部串起来综合题：注意各种类型材料间的联系小技巧：简单着手原则：（1）不需要计算的优于需要计算的（2）题干短的优于题干长的（3）单个运算的优于多步运算的（4）容易找到原信息的下列说正确/错误的是（）这样的题目最好从后往前做，即按照D、C、B、A的顺序；在题目中找不到根据但感觉又好像对的可能正确/错误的项目不要选，而应选择一定正确或错误的项。用常识作题：（1）随着时间的推移，恩格尔系数肯定降低。（2）在上海世博会到来之前，上海的空气污染情

8、况肯定是好转。（3）2008年10、11、12月的一些经济增长指标大部分都是在下降，而2009年上半年，尤其是第二季度，这些指标大部分都是在上升。注意区分“人均”与“每人”，用“总体上”“基本上”“大约”等概括性的表示基本上都是正确的，而用“逐年”“一次”“全都”等绝对性的表示大部分都不对，但不绝对，还是应该结合题目做具体判断。“月均”不等于“各月” “年均”不等于“每年” “人均”不等于“每人”。在题干中出现括号，那么答案肯定是根据括号中的信息算出来的；若在材料汇中出现括号，那么在做题中很多时候都会用到，所以要特别注意括号中的信息。资料分析题大部分都是简单题目，所以做题的战略重点也就在这些简

9、单题目，一来增提高准确率，二来能增加信心。所以一定要按照“保证简单题，把握中等题，争取难度题”的原则来突破资料分析。如果判断某道题特别复杂，那么这道题要么是有简便算法，要么就是出题者故意难为考生的，此时如果不能找出捷径就果断放弃。（五）总结部分以上总结了一些简便算法，但也只适用于资料分析的一部分题，有些题目注定是没有简便算法的，注定是必须运算的，所以在时间允许的范围内该算的还是要算，不能偷懒，能争取的一定要争取，成败往往就在那么零点几分。另外，多关注一些统计公报，从理解内容的角度多阅读一些统计材料等非常有利于提高对统计资料的理解力和理解速度。资料分析目前存在的问题是：做题速度不够，基础题准确率

10、保证不了，改进措施：熟练掌握电子版资料分析笔记的所有内容，完了再到天津图书大厦做资料分析专题，尽量每天抽出时间把以前做过的资料分析题再做几遍。二、数字推理（一）基本知识基本数列自然数列12345678910常数列5555555555等差出列25811141720232629等比数列1248163264128256512奇数列135791113151719偶数列2468101214161820积数列例：3261272和数列例：12358质数列2357111317192329合数列4689101214151618项数序列利用：第1项第2项第3项第4项第5项项数位列利用：该数a该数b该数c该数d该数

11、e组合数列例：两个1组三个1组分数列例：分子规律分母规律交叉规律通分约分分子有理化分母有理化反约分数字数列1232133114301529图形数列九宫格四格型圆圈型方框型平方数列基数149162536496481100121144169196225+12510172637506582101122145170197226-103815243548638099120143168195224*2281832507298128162200242288338392450基数256289324361400441484529576625676729784841900+12572903233624014424

12、85530577626677730785842901-1255288323360399440483528575624675728783840899*251257864872280088296810581152125013521458156816821800立方数列基数18276412521634351272910001331+129286512621734451373010011332-10726631242153425117289991330*2216541282504326861024145820002662 +5613326913022134851773410051336合数列基数468

13、910121415161820+15791011131516171921-135789111314151719*2812161820242830323640质数列基数235711131719+1346812141820-1124610121618*246101422263438阶乘数列基数2345678910阶乘262412072050404032011523119719*24124824014402N数列N 0123456789102N12481632641282565121024NN数列N 12345N次方数列N次-1012345-11-

14、11-11-10000001111111121/21248163231/3139278124341/4141664256102351/515251256253125特殊数列N次 012345678910N2+N:02612203038567290110N2-N:002612203042567290N3+N:021030681302223505207381010N3-N:0062460120210336504720990质因数分解51=3*17 57=3*19 91=7*13 111=3*37 117=3*39 119=7*19 133=7*19 143=11*13 147=3*39=7*21

15、153=3*51=9*17 161=7*23 171=3*57=9*19 187=11*17 209=11*19特殊数字考虑角度平方立方阶乘递推 倍数2652+133-14！+22*13126112+553+15！+52*63（二）做题技巧（1）从大数出发寻找规律更快捷，因为能组成“小数”的组合太多了（2）先判断推理类型，在探索具体规律（三）数字比对和例题、数字敏感：自然数12345678910111-21的平方1491625364964811001211-11的立方18276412521634351272910001331n的n次幂142725631252的n次幂24816326412825

16、65121024、数列敏感：自然数：012345678(9)质数：23571113171923(29)合数：46891012141516(18)（二级）等差：23581217(23)和数列：235813(21)、三种思维模式：1、横向递推：最常用，从前几组的规律推后一个数值；例如：235813(21)25112347(95)2、纵向延伸：把每项数字都写成另一种形式(分解或换形式)，找出规律：1/91736(125)转化为：9-1807162533、构造网络的思维模式：21263025100(96)斜角相加=上方数商654、四种常用方法：逐差法：445259738394(107)后项减前项差87

17、141011?13发现规律：差总是前项的各位数字之和。逐商法：112624(120)商12345逐差法和逐商法是两大“根本大法”。局部分析法：利用已有的局部印象去找规律从中部察觉可能16173033695(4)是加和取尾法。验证，果然是。整体分析法：123476(5)从整体上看只是一组打乱了顺序的自然数而已，缺了5。、古典数字推理主要类型及特点：等差数列：题型：普通等差、二级等差、三级等差（重点）、等差数列变式某一级差为其他基本数列（重点）；特点：单调增减，变化幅度不大（通常前后项不超过2-3倍，变式除外），5-6项。解法：逐差法。例如：上级等差，公差为4223)变式

18、:公差为公比为3的等比数列：20233259(140)等比数列：题型：普通等比、二级等比、三级等比（变化太大，很少考）、变式（“X倍数+项”或者“X倍数+数列”），倍数变化是重点；特点：整体单调增减，变化幅度比较大，连续给出4项以上。解法：逐商法，从大数入手。例如：从分析16和35的关系入手371635(74)X倍数后再加数列或常数X2+1X2+2X2+3X2+4变式:当前项乘以3加上前项=后项2151653(175)X倍数后再加项x3+2x3+1x3+5x3+16和数列基本题型：两项和数列、三项和数列、全项和数列变式：加和变化+X；加和*X；两项加和成数列。例如：1，1，2，6，8，11，（

19、17）1+1+2=4；1+2+6=9;2+6+8=16;6+8+11=25;8+11+17=25特点：某三项加和关系明显，一般小数字较多。积数列基本题型：两项积；三项积；全项积。变式：两项相乘加数列；两项相乘加项。特点：某三项乘积变化关系明显，变化幅度较大。例如：3，4，3，15，49，（738）4*3+3=15；15*3+4=49；49*15+3=738.多次方数列基本题型：平方、立方、n次方；变式：多次方+数列；多次方+项；多次方+多次方。特点：从相对确定的大数入手，0，1放后。例如：-1，0，31，80，63，24，5，（0）31=25-1;80=34-1;63=43-1,24=52-1

20、,5=51-1;()=60-1.分式数列：题型：分子分母某一部分具有敏感性；特殊：等比数列变式易约分；等差数列变式易通分。补充：可以分成多个数列考虑的情况：幂ab，a、b分别看做数列；根式；多位数：abc。例如：1，2/3，5/8，13/21，(34/55)前项分子+分母=后项分子；前项分母+本项分子=本项分母。组合数列特点：数列较长。题型：间隔（奇偶数列）；分段（两两、三三、首尾和中间）例题1：5,4,10,8,15,16,(20),(32)。例题2：1，2，8，24，7，35，4，28，2，（22）两两分段之后，两项之商分别为质数列：2,3,5,7,11。例题3：0，1，0，5，8，17，

21、9，（106）两两分段之后，两项之和分别为5的0次，1次，2次，5次。例题4：2，4，2，5，3，7，4，15，（11）偶数项的数字是相邻奇数项相加之和。例题5：2，3，4，6，8，9，10，12，（14）偶数项的两倍，分别是相邻两个奇数项之和。例题6:6,4,8,9,12,9,(16),26,30首尾向中间推进，每两项之和成公差为6的等差数列。质数列直接质数列，或者质数列的变式：质数乘以某数例题1：31，37，41，43，（47），53例题2：4，6，10，14，22，（26）【质数分别乘以2】例题3：2，6，15，28，55，（78）【质数分别乘以自然数1，2，3，4，5，6】其他数列比较

22、杂乱：如个、十、百位分别看待；描述性数字等。例一：431，325，（642），167，844，639首先各数中的三个数两小相加等于大，其次百位和个位是轮流递增向上发展的自然数。例二：12，1112，3112，（）后数是对前面数字的组成的描述。例三：3，3，9，15，33，（63）2的1次方加1，2的2次方减1，2的3次方加1，例四：1/5，1，4，（12），24，24前项分别乘以5，4，3，2，1得到后项。例五：1，3，5，11，21，（43）比较简单的积数列，前项乘以2按顺序加1或者减1.例六：2.5，6.5，26，30，（120）后项分别是前项+4，x4,+4,x4得到。三、数学运算一、整

23、除特点：能被3整除各位数字的和是3的整数倍能被4整除（25）末两位数是4的整数倍（25）能被7整除拿掉各位那个数 - 个位数的2倍是7的整数倍（可循环）能被6整除既能被2整除又能被3整除能被9整除各位数字的和是9的整数倍能被8整除（125）末三位数是8的整数倍（125）能被11整除奇数位数字之和 偶数位数字之和是11整数倍能被25整除末两位数是25的整数倍性质：（1）若a， b， (a+b)中任意两个能被c整除，那么另一个肯定也能被c整除 （2）若a1，a2 an中又能被c整除的数，那么a1*a2 *an肯定能被c整除AB （3）若a能被b整除也能被c整除，如果b、c互质，那么a也能被b*c整

24、除 （4）若 中A有c因子，而B中没有c因子，那么 结果中肯定有c因子特例：能被7(11,13)整除:分割作差法：将一个数右边3位与其他位隔开，左右两边的数大的减去小的，若差能被7整除，则该数能被7整除。例如： 30173|01717-4=1414能被7整除，所以3017能被7整除。整除之经典运用（1）若a是b的，则=，（a+b）是(m+n)的整数倍，a占（a+b）的，b占（a+b）的。特殊地，若m=1，即a占b的，则 （a+b）能够整除(m+n)，a占（a+b）的，b占（a+b）的。（2）a是b的n倍，则=n，（a+b）是(n+1)的整数倍，a占（a+b）的，b占（a+b）的。（3）若a比是

25、b多，则(a-b)整除m，b整除n，a整除(m+n)。（4）若a比是b多n倍,(a-b)整除n。（5）问a占A的比例与b占B的比例谁的大，则反过来谁处的商大就是谁。二、奇偶性（1）奇数 + 奇数 = 偶数 （2）偶数 + 偶数 = 偶数（3）奇数 + 奇数 = 偶数 （4）奇数 * 奇数 = 奇数（5）奇数 * 偶数 = 偶数 奇偶性相同时，相加或相减都是偶数三、公约数和公倍数（1）最大公约数和最小公倍数的题目常和星期几的问题结合（2）“每隔一天”就是“每两天”，在计算最小公倍数时用“每几天”四、公式集锦（1）平方和、平方差：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2（

26、2）立方和、立方差：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）n(n-1)d2 n(a1+an)2 （3）完全立方和、完全立方差：（a+b）3=a3+3a b2+3 a2b+b3 （a-b）3=a3+3a b2-3 a2 b -b3（4）等差通项：an=a1+（n-1）d 求和：sn= = a1*n + a1(1+ qn)1-q （5）等比数列：an=a1*qn-1 求和：sn= = a1*nsnn 2snn （6）等差中项： n为奇数：an+1= n为偶数：an/2+a(n+1)/2=【补】中位数：处于一列数中间位置那个n(n+1)2 当N为奇数时

27、候，为（N+1）/2位置的数；当N为偶数时候，为中间两个数的平均数。（7）平方数列的和：1+4+9+n2=n(n+1)(2n+1)6 （8）立方数列的和：1+8+27+n3= 2（9）2的幂指数求和：20+21+22+2n=2n+1-1（10）拱形数列求和：1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1=n2A n(n+d) 1n+d 1n Ad （11）组合数列求和：（12）裂项相消： = *( - )dn(n+d) 1n+d 1n = - n!m!（13）排列组合：Amn=n(n-1)(n-2)（n-m-1）=n!m!(n-m)! Cmn= n(n-1)(n-2)（n-m-1 = m!

28、注意两个口诀：有序排列，无序组合；分类加法；分步乘法。环状排列：N人排成一圈，若计顺逆时针顺序有（N-1）！种排法；若不计顺逆时针顺序有种排法常用方法优先法：特殊元素分类法：不重不漏间接法：“至多”“至少”问题捆绑法：相邻问题插空法：不同元素不相邻问题隔板法：相同元素的分配问题经典例题经典应用：1)、瓶子标签问题（鸟儿飞错笼子，骑错单车，夫妻交换舞伴等等）：第一步、先选贴对的瓶子（用组合C），一旦选定就只有一一对应1种方法；第二步，在剩下的瓶子中贴错标签的方法数（参考下面的速记公式）：瓶子数(n个)123456贴法（m种）012944265n每增加数字1，则m增加此前2项(n-1)、(n-2)

29、方法数之和再乘以（n-1).2)、隔板法：看到“至少”2字就应该想到这个方法。9台同型电脑分3所学校，每所至少1台，求分法。123456789也就是8个隔板任选2个的问题。10粒糖，每天至少吃1粒，求有几种吃法？12345678910也就是9个隔板任选1-9个或者不选的问题：1天吃完：不选挡板C(9,0)2天吃完：选1挡板C(9,1)9天吃完：选8挡板C(9,8)10天吃完：选9挡板C(9,9)求和：C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+C(9,9)=29=512记住公式：C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2n3)注意分类与分步的问题。（11）剩余定理A+B=C A/D=aB/D=

30、b C/D=c，则c=a+b例：6+8=14，那么6/2=3, 8/2=4, 14/2=7, 显然3+4=7剩余定理在判断答案尾数时非常重要（7x+52=y,若x为自然数，则y必被7除余3）。例如：饼干、面包问题；合格不合格品混杂问题等可用此法结合所给选项特征做题。例如：10M+24说明尾数是4，若选项中仅有一项尾数是4，则非此莫属。（12）单位换算1公顷=15亩= 1亩=60平方丈= 平方米1丈=10尺 1 米=3尺五、常考题型（1）比例问题关键是“和谁比”，“增加或减少多少”，一定要注意用比例算出来的数是哪一期的。同一项工程，甲做需要3小时，乙做需要4小时，则可知甲乙效率比为4：3完成同一

31、项工程，甲乙效率比为3：4，则可知甲做4小时的工作量相当于乙做3小时的工作量。 （2）工程问题1T 工作量=工作效率*工作时间；工作效率=工作量/工作时间；工作时间=工作量/工作效率在做题中，常把工作总量设为单位“1”，那么效率就是（3）行程问题相遇问题核心是“速度和” 追击问题核心是“速度差”环形运动问题中：环形周长=（速度1+速度2）*两次相遇的时间间隔相向而行 环形周长=（速度1 - 速度2）*两次相遇的时间间隔同向而行基本比例： 路程比=速度比*时间比 速度比=路程比/时间比 时间比=路程比/速度比若路程相等，则速度比等于时间的反比若速度相等，则路程比等于时间的比若时间相等，则路程比等

32、于速度的比往返运动平均速度：v= 2v1 v2 ，其中v1和 v2分别为往返速度 v1+ v2 漂流瓶问题漂流所需时间= 2 t逆t顺 ，其中t逆为同一条航程船逆水航行的时间，t顺为顺水航t逆 - t顺 行的时间沿途数车问题 发车时间间隔 = 2t1 t2 ， 车速 = t1+ t2 ，其中t1为看见t1+ t2 人速 t1- t23s1+s22 连续两辆从后面开来的车的时间间隔；t2为看见连续两辆从前面开来的车的时间间隔。两次相遇问题单岸型：s= ，其中s1为第一次相遇地点距离A地的距离，s2为第二次相遇距离A地的距离车速 人速 双岸型：s=3s1 s2 ，其中s1为第一次相遇地点距离A地的

33、距离，s2为第二次相遇距离B地的距离2 3+n 往返接人问题1/v+ 1/v2/v+1/v+1/ v人 X=Y= S，其中X、Y分别是第一组人和第二组人步行的距离，n= ，适用于车速和人速都不变的情况X=Y= S，其中v空车的速度，v为坐人时的车速，v人为人步行的速度，适用于车拉人和不拉人时的速度不同，而前后两波人步行的速度都相同v车/v1 1v车/ v2 - 1XY = ，其中v1 为第一组人步行的速度，v2为第二组人步行的速度，适用于车速不变，而前后两组人步行的速度不同（4）行船问题顺水速度：船速 + 水速 逆水速度：船速 - 水速船速=（顺水速度 + 逆水速度）/2 水速=（顺水速度 逆

34、水速度）/2（5）电梯问题静止时能看到的电梯级数= （人速+梯速）*顺电梯运动方向运动的时间（人速-梯速）*逆电梯运动方向运动的时间销售价成本 利润成本 （6）利润问题利润率= = - 1 利润=成本 * 利润率=销售价 - 成本利润利润率 销售价1+利润率成本= = = = 销售价 利润 销售价=成本（1+利润率）=成本 + 利润（7）年龄问题关键是年龄的差不变，而倍数年年在变（8）栽树问题三要素：（1）总线路长（2）间距（3）棵树单边线型：总长=（棵树-1）*间距K= +1单边环型：总长=棵树*间距 K= 单边楼间距：总长=（棵树+1）*间距K= -1双边线型、环型、楼间距：对应单边型的2

35、倍双=2K（9）方阵问题总人数=N2，其中N为最外层每边人数；M排N列的实心方阵人数为M*NN=最外层总人数/4 + 1，其中N为最外层每边人数；最外层总数=4（N-1）；M排N列的实心方阵最外层人数为2M+2N-4方阵外一层总人数比内一层总人数多8，外一层每边人数比内一层每边人数多2去掉一行一列则总人数=2倍的去掉的行或列的人数 1正N边形的各边上元素的总数=N（n - 1），其中n为每边上元素的个数空心方阵人数=最外层每边人数X2-(X-2*层数)2排方阵、列方程求解，“余几就加几，缺几就减几”（10）倒扣问题做错或不合格的数目=总共损失额 / 每隔损失额，其中每隔损失额不仅包括倒扣的分数

36、或钱数，还包括它要是合格能得到的分数或钱数（11）牛吃草问题基本公式：草场原有草量 + 草的生长量 = 吃掉草量 草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数原有水量=（抽水机数-单位时间漏水量）*抽水时间关键是“每天草都在增长”“每时间都在往船里漏水”即“总量”增加；若“总量”变小，如酒瓶漏水，此时必须把“-”换成“+”（12）剩余定理例：（13）抽屉原理原理1：将多于n个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于2原理2：将多于m*n个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1核心原理：将m*n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1（1

37、4）集合问题画文氏图，由中间向外推（15）统筹问题煎煎饼问题已知锅上只能同时煎两个煎饼，现在有奇数个煎饼需要煎，问怎样煎才能用时最短把其中一个煎饼的一面煎完了后拿出来，再煎另一个煎饼的一面，最后把这两个煎饼没煎的一面同时放在锅上煎。运费问题 “非闭合”货物集中问题：在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个“点”，每个点之间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物的流向： 判断每条“路”的两侧的货物总重量，货物在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧，并且与路径长短即两点间的运距没有关系，做题时一般利用“核心

38、法则”，从中间路段开始判断。卸车问题设车站数目为M，车辆数为N，则有：若MN，则需要工人最少的数目为前N个用人最多的车站的用人数目之和若MN，则需要工人最少的数目为各个车站用人数目之和生产上衣和裤子问题（16）时钟问题钟面问题时钟一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈1211 TO11 时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次钟面问题很多本质上是追击问题，可选用公式T=T0 + ，也就是T=T0 * ，其中T0 为需要追击的格数，T为需要追击的时间长度。坏表问题找准坏表的“标准比”，然后按比例计算溶质溶质+溶剂 溶质溶液 （17）浓度问题溶液浓度= = 多次混合浓度问题

39、设盐水瓶中盐水的质量为M，浓度为CO，每次操作先倒出MO克盐水，再倒入MO克清水，如此反复N次，则盐水的浓度变为=CO *（1+）N设盐水瓶中盐水的质量为M，浓度为CO，每次操作先倒入MO克清水，再倒出MO克盐水，如此反复N次，则盐水的浓度变为=CO *（）N（18）鸡兔同笼问题方法：（1）列方程组（2）代入法（3）整除法（4）利用倒扣原理（19）逆推问题从结论往前推（20）分段计算问题题型：商品销售中打折或返钱，税金计算，水费思路：分区间计算要点：弄清分段点、细心计算（21）比赛问题淘汰赛所需场次： 仅需决出冠、亚军N-1 仅需决出1、2、3、4名 N循环赛所需场次： 单循环赛（任意两场打一

40、场比赛） 双循环赛（任意两场打两场比赛）（22）传球问题 N个人传M次球，记X= ，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X次接近的整数为传给自己的方法数【取整，取整】（23）星期问题口诀“一年就是1，闰日再加1；一月就是2，多少再补算”（24）余数相关问题口诀“余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期”（25）乘方尾数问题底数留个位，指数末两位除以4取余数，特殊地，余数为0记为4。底数为0，1，5，6的数，乘方尾数不变（26）质因数分解问题题型：求约数个数，最大公约数、最小公倍数形式：，则因数共有个最大公约数：从；中，取各个数对中（r1,j1）（r2,j2）（r3,j3）

41、（rm,jm）的最小值，依次作为的指数，最后再将这些数乘起来就是结果。n1/a1+1/a2 +1/an最小公倍数：从；中，取各个数对中（r1,j1）（r2,j2）（r3,j3）（rm,jm）的最大值，依次作为的指数，最后再将这些数乘起来就是结果。（29）小运算题什锦糖的单价= ，其中为an第n种糖的单价错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计做Dn，则D1=0，D2=1，D3=2， D4=9， D5=44， D6=265剪绳问题：X =2N *M+1一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则该绳被剪成了X段，但不是每段长度都相等过河问题M个人过河，船上能载N个

42、人，由于需要R个人划船，故共需要过河次握手问题N个人共握次手等量交换浓度公式有甲、乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重120克，乙杯盐水重80克。现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中恰好使两杯的含盐率相同，问从每杯中倒出的盐水是多少克？析：空瓶换汽水问题N个空瓶换1瓶汽水，则（N-1）个空瓶换1瓶纯水（不包括装水的瓶子）火车提速问题设火车原来走某段路程用时T小时，第一次提速r1%，第二次提速r2%第次提速rn%，则现在火车用时？ T新= 翻山岭问题某人过山岭用了小时，次日要返回原地，仍要过山岭，这次用了小时，上坡速度都为5千米每小时，下坡速度都为千米每小时，求路程的总长度。公式：，此题答

43、案为40千米。（30）几何问题N边形内角和=180*（N-2）面积：正三角形：正六边形：表面积：正方体6a2 长方体2(ab+bc+ac) 球体4= 圆柱体2+2体积： 正方体a3 长方体abc 球体 圆柱体h 圆锥体 h几何特性：等比例放缩特性一个几何图形其尺度变为原来的m倍，则对应角度不发生变化对应长度变为原来的m倍对应面积变为原来的m2倍对应体积变为原来的m3倍几何最值理论平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大平面图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小（六）经典例题数的拆分：1、用短除法实

44、现数的拆分。2、例题总结A：1000X999X998X997X996X5X4X3X2X1得到的积的位数有多少个0？问题转换：上题等于求上述等式转化为A*10n的话，n最大是多少？进一步转化：也等于求A*2n*5n的话，n最大是多少？任何一个整数，可以分解为质数的幂相乘2aX3bX5cX7dX。题目分析转化后变成为上述所有数字可以分解出来的2aX5b最终所有b加在一起的和的最大数。因为要凑对才能为10，故a或者b以小的为准。由于数字可以被2整除的情况会远远多于能被5整除的情况，故以能被5整除的b为准。能被5整除的数如下：5，10，15，20，25，,995,1000。不难知道共有1000/5=2

45、00个数字。提取公因式：5200(1X2X3X4X5XX199X200)而1X2X3X4X5XX199X200本身还含有200/5=40个可被5整除的自然数，整理之后去掉无助于构成10的数还可继续提取为：540(1X2X3XX40)继续提取：58(1X2X3XX8)继续提取出：51。综上，一共有200+40+8+1=249个5，249的2倍以上的2，可组成10的个数是249，共249个0.因此,该类题型总结如下:求一群连续自然数相乘尾数为几个0的解法，转化为求该数字群的最大数能被5整除的商，及其商（的商）继续被整除的商的整数部分之和。2000/5=200200/5=4040/5=88/5=1=

46、200+40+8+1=2493、例题总结B:2000X1999X1998XX5X4X3X2X1得到的积有一个约数是35的n次，这个n最大可以是多少？求法类似于上题：35的n次可以分解为5的n次和7的n次的积，由于可被5整除的数每隔4就会又一次，而能被7整除的隔6个才出现一次，故以小的，即7的幂次数为准。（能被7整除的数提出来是:7,14,21,1995.简单按照列方式计算。）2000/7=285285/7=4040/7=5故该n最大可以是285+40+5=330.4、例题总结C：1440的正约数的个数是多少？利用短除法得出：1440=25*32*51其正约数分别为：1440= 25 * 32*

47、 51，正约数可以写成 a=2x * 3y * 5zx取0,5,y取0,2,z取0,1有 632=36个总结公式：正约数个数等于各（指数+1）之和之乘积。5、例题总结D：学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种拼法。设这些正方形的变长为1。该提实际上是求1152这个数可以分解成多少对正约数相乘之积。利用短除法得出：1152=27*32，即1152=2x*3y的形式，x可在(0-7),y可在（0-2）之间任取。根据上述例题4的结论，该数有（7+1）*（2+1）=24个正约数。可以组成12对矩形。（四）重复数字的因式拆分：=123*1012=1232*：（4=3+1）=123

48、*=138*方法总结：找出重复数字组；对该数字组的最后一个数字做标记；改写成重复数字*某数X的形式，X=有标记处补1，无标记处写0，重复数字之间的0直接照抄组成。例题：/43043=903*(10010)/(43*1001)=10*903/43=210（五）数的重排：例题1：如果把1到999这些数字从小到大的顺序排成一排，这样就组成一个多位数： 9。那么这些数字从左到右第2000个数字是多少？解法：分区个位区：9个数字；十位区：5：2*90=180个数字；百位区：3：3*900=2700个数字。第2000个数字为：9+180+1811，即百位区第1811个数字。1811/3=6032故该数为9

49、9+603=702之后的第2位数字，即703，即“0”。可以简单记为：（2000-9-180）/3=6032，需要求的数字为603+100=703的第二位数字，即“0”。若余数为“0”，则为前一个数的最后一位。推广，若该数一直连到9999，求第1万个数字：个位区：1*9=9个数字十位区：2*90=180个数字百位区：3*900=2700个数字千位区：4*9000=36000个数字第一万个数字求解：（10000-9-180-2700）/4=17773即该数为1000+1777=2777的第三位，即“7”。例题2：编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，例如页码115用了2个1和1个5，共3

50、个数字），问这本书一共多少页？其实该题就是求11第270为止最后一个数值。个位：1*9=9十位：2*90=180百位：3*900=270270大于189，应在百位区。270-9-180=8181/3=270该数为100+27=127的前一位，即126.(六）日期年龄1、主要考点：年：以“00”结尾的年份，能被400整除的才是闰年，其余能被4整除的是闰年；月：大月-1，3，5，7，8，10，12；小月：4，6，9，11；闰年2月：29天，平年2月：28天。星期：7天一循环，约52个星期（幸运52），平年过一年，星期过一天，闰年过一年，星期过两天。注意是平年的2月还是闰年的2月，若是闰年的，还要注

51、意该2月是否在计算期间。2、例题：某年3月有4个星期五，5个星期四，问该月1日是星期几？星期五在星期四之后，为什么会少了一个呢？到下月去了，即3月31日是星期四。31-28=3，则3月1日为星期四往前推3天，为星期一。、数学运算的常用基本方法（一)方程法：列方程、用剩余法解得答案尾数 （二）十字交叉法： （三）代入法与排除法： （四）顺推法与倒推法：（五）数学归纳法： （六）尾数法： （七）特值法： （八）换元法：四、逻辑判断【做题原则】 （1）有真有假看矛盾：找到矛盾不要碰，跳出矛盾找答案，回到矛盾辨真假。（2）已知条件优先找：已知信息优先找，再找与已知信息相关的链条（3）分析对应要列表（4

52、）排除确定所有都不上反对所有都（一）逻辑方阵有些是有些不是推出关系矛盾张三不是张三是3组矛盾关系： 必有一真一假3组上反对关系：至少有一假3组下反对关系：至少有一真6组从属关系： 推出关系上反对必然P（必然）必然非P（必然不）（二）模态方阵推出关系推出关系矛盾下反对可能非P可能P下反对不必然=不一定=可能不 一定=肯定=必然不可能不=必然 不一定 可能不必然不=并非一定不=可能 必然不不必然（三）三段论有些A是B，因此有些B是C，需要以“所有A都是C”为前提有些A不是B，因此有些C是B，需要以“所有A都是C”为前提（四）直言命题推理 所有S都是P所有S都不是非P换质推理 所有S都不是P所有S都

53、是非P 有些S是P有些S不是非P 有些S不是P有些S是非P 所有S都是P有些P是S 换位推理 所有S都不是P所有P都不是S 有些S是P有些P是S 有些S不是P无次项推理（五）复合命题推理否命题关键词：“否”“不是”“没有”推理：原命题与否命题之间必有一真一假且命题形式：P且Q关键词：“且” “和” “同时” “既又” “不但而且” “不仅还”“虽然但是”矛盾命题： P或Q推理： 分解式：整个命题为真，则任何一个分支也为真组合室：两个分支同时为真，整个命题才为真或命题形式：P或Q关键词：“或”“或者或者”“也许也许”“可能可能”“要么要么”矛盾命题： P且Q推理： 相容的：“他要么是导演，要么是

54、演员”否一就肯一 不相容：“要么嫁给他，要么嫁给我”肯一就否一充分条件命题关键词：“如果那么”“若那么”“如果就”“只要就”“有就有”“倘若就”“哪里有哪里就有”“一旦就”“假若就”推理： 肯定前件就肯定后件，否定后件就否定前件 肯定前件不能否定后件，否定后件不能肯定前件 矛盾命题：前件为真，但后件为假 必要条件命题关键词：“只有才”“没有就没有”“不不”“除非不”“除非否则”“除非才”推理： 否定前件就否定后件，肯定后件就肯定前件 肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件 矛盾命题：前件为假，但后件为真 充分条件与必要条件转化若A是B的充分条件，那么B是A的必要条件推理： 如果P，那么Q只

55、有Q，才有P 只有P，才有Q如果Q，那么P充分必要条件命题关键词：“当且仅当”推理：原命题与逆否命题同真同假，并且之间能够相互转化连锁推理推理： 充分条件：“如果PQ，QR，则PR” 必要条件：“只有P，才有Q，只有Q才R，则只有P才R”（六）可能性推理类比推理A:a,b,c,d,e,xB:a,b,c,d,e,(很可能也有x属性）归纳推理（一）枚举法归纳影响枚举法的因素:样本的科学性；数量的广泛性。考点：是否以偏概全。加强枚举法：样本科学，具有代表性；数量足够大。削弱枚举法：样本不科学，不具代表性；数量不够。（二）因果归纳法（又称科学归纳法）从现象到本质的归纳：1、因果关系的特点：引起与被引起

56、的关系。先后性：事件排序题；确定性：因果关系是确定的，不能随意倒果为因；客观性：材料断定的客观。主观性的选项一般不作为答案。以下全是主观项，一般不选做答案：A.大多数人相信吸烟有害；B.没有证据证明吸烟有害；C.毛主席说吸烟有利健康；D.尚不清楚吸烟和健康的关系；E.北医三院研究表明吸烟有利健康；F.权威机构调查表明吸烟有利健康。相关性：真正相关。做题时，要首先去掉不相关项，接着去掉主观项。2、求因果的方法：求同法：其他各不相同，只有S相同，结果X相同，可能S就是X的原因。加强求同法：a.确无其他相同项；b.只有s相同。削弱求同法：a.还有其他不同；b.还有更为根本的不同。求异法（实验法或者比

57、较法）：其他各项相同，只有S不同，结果X不同，可能S就是X的原因。加强求异法：确实其他相同，只有一点不同。削弱求异法：还有其他不同，还有更为根本的不同。求同求异共用法：在“大的相同”中有“小的不同”共变法：一个量变，另一个量也在变，可能前者就是后者的原因。剩余法：A或者B可引起C，不是A，所以原因是B。三、归纳推理的具体题型：（1）削弱/反驳：核心：居于A推出B。B推出A，倒果为因了；另有它因；A推出B，A推出非B：推不出。比例推理，不能简单地以过半为标准，而因以总体比例为基准判断。（2）加强/支持：A推出B，果真A发生，B也发生；没A就没有B。（3）假设/前提/预设A(a1,a2,a3)推出

58、B，现在若缺乏a3,则要补充a3.（4）解释/说明看似矛盾，实质上是还有原因，要补充原因，即解释说明。（5）结论（言语型的逻辑，言语理解）注意概念的变化（扩大、缩小）绝对化外加推论（七）不可能推理一件事情，A只能通过a和b其中的一种方式完成。如果用a方式去做完成不了，用b方式去也完成不了，那么可推知A无法完成这件事情。（八）常见推理错误以偏概全，过度引申符合常识但不符合推理规律（九）题型示例削弱型：“以下哪项为真，最能削弱上述结论？”加强型：“以下哪项最能支持上述推断？”解释型：“以下哪项最能解释上面的矛盾？”找矛盾（转折后）明确解释对象评价型：“以下哪项如果为真，最能对题干论证的有效性进行评

59、价？”推断结论型：“由上文能够推出哪项结论？”前提预设型：“上述推断是基于哪个前提？”形式比较型：“下面哪项推理与题干的推理形式最为类似？”推理缺陷型：“上述推理有什么不足？”判断推理类型：“学生最可能把教授的陈述理解为？”五、图形推理一、基本考虑角度概括：“形”和“量”；整体和局部；内部和外部；相接与相离；曲线与直线；平面和立体； 具体：点、线、角、边、线、面积、体积、周长、方向、位置、开口、封闭空间、颜色、阴影、笔画、笔划、共同元素说明：点（规则图形的叠落首先要想交点）；线（线条和笔画）；位置（平移）二、常考类型（1）封闭性包括开放型和封闭型，有几个开口、几个封闭空间等（2）几笔“画”“划

60、”成“画”当成写汉字，前后笔尖走过的路径不能够重叠“划”只要前后笔尖走过的路径不间断、不管重叠不重叠都算作是一“划”，其中“一笔划成”经常考（3）叠加性去同存异、去异存同同色叠加、异色叠加分别取那种颜色谁覆盖谁、透明性图形的合并与拆分（4）对称性轴对称，中心对称图形几条对称轴（5）凹凸性沿着某一条边划直线，如果图形的全部都在直线的同一侧，则该图形成“凸”性，反之则呈“凹”性（6）伸缩性按某一个点拉伸，或按某一个点压缩看图形的变化（7）旋转、翻转、移动逆、顺时针旋转45，90，135，180，S型，O型向上、下、左、右翻转；注意有两个元素同时按照不同的规律旋转的情况（8）折叠图形的空间性：折叠或