07圆锥曲线中点弦与垂直平分线．习题集B（教师版）

1、07圆锥曲线中点弦与垂直平分线.习题集B22【练I】（）直线y = -x + l与椭圆+ +、= l（ab0）相交于A、3两点，且线段AB的中点在直线/:x-2y = 0 上.（I ）求此椭圆的离心率;（II）假设椭圆的右焦点关于直线/的对称点的在圆/十 丁 =4上，求此椭圆的方程.【解析】（I ）设4 3两点的坐标分别为4王,州）,3（，为）那么由,y = -x + 1,bv-1得(a2 + /?2)x2 - 2a2x + a1 - a2b2 = 0 ,r 2根据韦达定理，得玉+工2 =+为=-（丁 +电）+ 2 =er + b-2b2线段AB的中点坐标为（/0）代入/：x 2y = o得，

2、a2 = 2c2a2+h2 c+b2故椭圆的离心率为八字（II）由（I ）知人=c,从而椭圆的右焦点坐标为尸（。,0）,设F（b,0）关于直线l:x-2y = 0的对称点为%0 1 二且殉+1xd2x = 0,解得 x0 =3 且 y = b20 5. 5由得22+=4,.廿=4,故所求的椭圆方程为二+乙=1 .84【练2】（）椭圆加+2 =（根0,0）与直线工+丁_=。相交于a、3两点，。是钻的中点，假设AB：?层X的斜率为9,求椭圆的方科【解析】 解法1 ：设A（x，y）,伏,为），代入椭圆方程得，町之+町7：=,虚+收=1,相减得2（X +工2）（西一&） +（必+乃）（凹一为）=。3二

3、一， X - X2X + x2，/. n = 2m 由 2 =-y代入得（2-2）2+2）： =4，由和消,解得玉=1,所以 = % = 1（II）当直线不存在斜率时，A（0,C）,B（06,可得|AB|= 2,|M4|= J5, AABM不是等边三角形.当直线存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB： =+3, A3中点为N（x（）,y（）,x2 +2y2 =4,9 ?联立,消去y得（1 + 2左2）/+12丘+ 14 = 0,y = kx +3,口-12k14又 X. + X2 =7 , X - X =71+ 2(f)2 = 2 .2k2 + 12/ +1 1 + 2尸 1 2 1 + 2

4、公所以。二丁yLH+SMa所以叫怎,4） 假设AABM为等边三角形，那么有32又因为M(l,0),所以攵=一1,即，产- xk = l,OKo1+ 2/化简2左2 + 32 +1 = 0,解得左=1或左二, 这与式矛盾，所以假设不成立. 2因此对于任意k不能使得MN ：L AB,故AABM不能为等边三角形.2【练16】（）椭圆C: +=1（。60）的四个顶点恰好是边长为2, 一内角为60。的菱形的四个顶点. a h（I ）求椭圆。的方程;（H）假设直线 ） =息交椭圆。于AB两点，且在直线/:x + y-3 = 0上存在点P,使得ARAB为等边三角形，求人的值.,22所以所以所以1否1=-I，

5、那么|AO|=Vi7F 3r +1【解析】（I ）因为椭圆C:0 +与=1（。人0）的四个顶点恰好是一边长为2, a h设AB的垂直平分线为丁 = -它与直线/：x+y-3 =。的交点记为P（x。,%） k所以所以y = -x +31，解得y =xk3k厮=k -1那么1尸。1=%=片k -19r+9(1尸因为AE4B为等边三角形，所以应有|PO|=V|AO|代入得到IJY= 6J与。，解得攵=0 （舍），k = l（k-l）2 丫 35+1综上，%=0或% = -122【练17】（）椭圆二+二=1（。人0）的右焦点*1,0）,长轴的左、右端点分别为A，4,且 a bFAcFA = -.（I）

6、求椭圆。的方程;（II）过焦点尸斜率为左（ZwO）的直线/交椭圆。于A3两点，弦的垂直平分线与x轴相交于点。.试问椭圆。上是否存在点石使得四边形为菱形？假设存在，试求点E到y轴的距离；假设不存在，请说明理由.【解析】（1）依题设4（一。，0），43,0）,那么可=（一一1,0）, 底=3-1,0）.由“.雨；=-1,解得=2,所以从二1.丫2所以椭圆。的方程为二十 丁=1.2（II）依题直线/的方程为y =-x-l）.4 攵 2工 + 2 攵 22 = 0.设4%凶），攻巧,火），弦的中点为“（用,为），那么为+ %2 =那么为+ %2 =4k22(左 21)2k2，%)= 59 y()= 5

7、2k2 +10 2k2 +1所以仔T-直线MD的方程为y =-!意-/二), 2左 2+1 k 2/+1k22公+1上2,那么一 ,0).2/十1假设四边形ADB石为菱形,贝IxE+XD= 2x0 , yE+yD= 2% .所以 (3k2-2k2M+12 攵 2+ J假设点石在椭圆。上，那么（整理得/ = 2 ,解得尸=&.所以椭圆。上存在点石使得四边形ADBE为菱形. 此时点E到y的距离为12-3& .【练18】（）焦点在x轴上的椭圆。过点（0,1）,且离心率为立，。为椭圆。的左顶点.（I ）求椭圆c的标准方程;(Il)过点(-,0)的直线/与椭圆C交于A B两点.(i )假设直线/垂直于轴

8、，求NAQB的大小；(ii)假设直线/与x轴不垂直，是否存在直线/使得AQAB为等腰三角形？如果存在，求出直线/的方程；如果不存 在，请说明理由.?2【解析】(I )设椭圆C的标准方程为三+=1(，人0),且。2=2+c2.cr b-由题意可知：b = l, = 1 .所以/=4 .所以，椭圆。的标准方程为+/=. a 24 .(H)由(I )得Q(-2,0).设4国,),3(巧,火)(i )当直线/垂直于x轴时，直线/的方程为l=-丫 56或46由，？ 解得:厂 7.即4色止)，5(2-3)(不妨设点A在X轴上方). 5 55 5那么直线AQ的斜率kAQ=,直线BQ的斜率k8Q = -1.因

9、为七.左刈=一1，所以。A2，BQ所以ZAQB = -.(ii)当直线/与犬轴不垂直时，由题意可设直线的方程为 =攵。+9)(攵。0).6y = k(X + -由1 25 消去 得：(25 +100%2)尤2 +240%2% + 144攵2100 = 0 .240廿 TOC o 1-5 h z X +=因为点(-20)在椭圆。的内部，显然A0.0）的一个焦点坐标为（1,0）,且长轴长是短轴长的正倍. cT b（I）求椭圆。的方程；（II）设。为坐标原点，椭圆。与直线 =丘+ 1相交于两个不同的点A5,线段的中点为尸，假设直线OP的斜率为-1,求OAB的面积.LY2【解析】（【）由题意得C =

10、1,Q = 后,又2=1,所以房=1,。2=2 ,所以椭圆的方程为二十尸=1.（II ）设 A（0,l）, Bxx, y） , P（殉,%）,联立卜2+2y2=2,消去y得Q + 2M）f+4:0（*）,y = kx + 解得 = 0或% =解得 = 0或% =4k1 + 2/4k1 + 2攵 2所以8(1 + 2廿因为直线OP的斜率为-1,所以_L = 1 2k TOC o 1-5 h z 112解得左=：（满足（*）式判别式大于零）.又O到直线/:y = x + l的距离为定, |AB|=Jx：+(y 1)2 =26,所以Q4B 的面积为 _Lx2 石 x2 = 2.32 3，5 322【

11、练4】（）椭圆C：5+斗=1（。/7。）的离心率为大，右焦点为尸，右顶点A在 ab，2圆 F： （x-l）2 + y2=r2（r0）.（I ）求椭圆。和圆尸的方程；(II)过点A的直线/与椭圆C交于另一点8,与圆月交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线/,使 点2恰好为线段A8的中点，假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，说明理由.r 1【答案】(I)由题意可得c = l,又由题意可得一二,所以 =2,所以2=/=3, a 222所以椭圆C的方程为土 +匕=1.所以椭圆C的右顶点A(2,o),43代入圆月的方程，可得产=1,所以圆月的方程为(x - I, + J? = 1 .(II)法

12、1：假设存在直线/： y = A(x 2) (ZwO)满足条件，y = k(x-2由q f y2得(4左2+3)必16左2+16左2 12 = 0、了十7一16k2_6k设3&,y),那么2 +芯=普，可得中点1 11 止+34左2+3 41+3由点P在圆尸上可得(1)2 + ()2 = 1化简整理得&2 = 04k2+34F+3又因为左。0,所以不存在满足条件的直线/.(II)法2：假设存在直线/满足题意.由(I )可得。4是圆尸的直径，所以OPLA瓦 由点尸是A3中点，可得|。5|=|。4|=2.22设点那么由题意可得U +又因为直线/的斜率不为0,所以为24,22所以 |03|2 =与2

13、 + 弘2 =Xj2+3(1-) = 3 + 人0)的离心率为半，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之 和为6.(I )求椭圆。的方程；(II)设直线/:y = 2与椭圆。交与两点，点尸(0。), M|PA| = |PB| ,求直线/的方程.【解析】(I )由2a = 6, =?解得q = 3, c = & ,a 3 TOC o 1-5 h z 22所以 2=/，=3,所以椭圆。的方程为 + = 1. 9322工+匕=1(II)由 93 得,(1 + 3%2)12履+ 3 = 0,y = kx-2直线与椭圆有两个不同的交点，所以A = 144k212（1 + 3/）。，解得攵2L9、2k3设

14、5(%2，丁2)，那么与 +=T，=：7,-1 + 3/-1+3M计算K +为=%（为+超）-4 =攵计算K +为=%（为+超）-4 =攵12k1+3攵 2-4 =所以A 8中点坐标为（6k 21 + 3/ 1 + 3/），因为川=卢同，所以庄，AB, kpEKB -，所以1+,广k = T,jK1 + 3/解得攵=1,经检验，符合题意，所以直线/的方程为了一一2 = 0或x+y + 2 = 0.【练6】（）椭圆。两焦点坐标分别为耳（血,0）,鸟（血,0）, 一个顶点为4。厂1）.（1）求椭圆C的标准方程；假设存在,（II）是否存在斜率为以左wO）的直线/,使直线/与椭圆。交于不同的两点M,N

15、,满足|AM| = |AN|.求出左的取值范围；假设不存在，说明理由.X2【答案】（I）设椭圆方程为二CT=1（人0）.那么依题意c = J5,丫2所以/二从+廿二？。于是椭圆。的方程为土+ 9=13（II）存在这样的直线/. 依题意，直线/的斜率存在设直线/的方程为=履+加，那么 TOC o 1-5 h z 卜22 1H V =1o 00由1 3得（3/+1）%2+6奶吠+ 3机2一3 = 0y = kx + m因为 = 36k2m2 - 4（3左2 +1）（3 3） 0 得女2 苏 +1 06kmx + x9 =设（%,%）,入（尤2，%），线段跖V中点为尸（%,%），贝4123k2+13

16、m2-3=；1 2 3k2+1十 日3km7m于是 )=彳，= o() + m -3k2+13+1因为= |V|,所以AP_LM7V.假设加=0,那么直线/过原点，P（0,0）,不合题意. TOC o 1-5 h z +1 ji假设根wO,由攵wO得，k = 7 ,整理得2机=3公+1由知，女2,所以1女1又ZwO,所以左（LO）U（O）.【练7】（）椭圆G:=+ = 1（。0力0）过点41,逅）和点5（0,1）. cr b-3（I）求椭圆G的方程，（H）设过点G与直线丁 = % +加相交于不同的两点M, N,是否存在实数相，使得忸叫=忸叫？和点 8(0, -1),假设存在，求出实数团；假设不

17、存在，请说明理由.22【解析】所以 =1,（1）因为椭圆G:0 + = l（ab0）过点V2，得/=3.所以椭圆G的方程为土+）/=1.3（2）假设存在实数z的满足题设,y = x + m,由 。，即“。，BP020, P m2 4Z:2+3（1）由韦达定理得:8mk _ 4m2 -124mk23 + 4/4mk23 + 4/3m+ m =r3+ 4攵 23 + 4攵2为2 3 + 4女2 mil4mk7人x() = -TTT，X) = 3) +m = 3 + 4Z-3m直线AG的斜率为：Kag =3 + 4=24 根4mk _j_ - -32mk-3-4Z:23 + 4 攵 2 824A773 + 42由直线AG和直线MN垂直可得： 包*1,即m=-匕巴32 欣一3 48代入（1）式，可得（）2_L,那么%好或 +攵2=。y- 二 x由