【16、22专用】等差数列的前n项和（一）

1、 2.3.1 等差数列的前n项和高二【16、22】专用吴川一中 陈智敏高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”. 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1 2 3 99 100高斯的算法计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二

2、个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.问题分析已知等差数列 an

3、的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？已知等差数列 an 的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn . 各项组成新的等差数列倒序相加法求和公式等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；不含d可知三求一公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.na1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2

4、）a1=100，d=2，n=50练一练5002550例1、计算（1） 5+6+7+79+80（2） 1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n-n例题讲解n23230提示：n=76法二：例题讲解 例2、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投

5、入是多少？分析：找关键句；求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列an，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片570块.例题讲解例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10310，S201220，将它们代入

6、公式可得所以例题讲解例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解： 两式相减得课堂练习答案: 27练习1、练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？答案: n=9，或n=-3（舍去）仍是知三求一课堂小结 1等差数列前n项和的公式； 2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)；上页下页（两个）上页下页课后作业P45 练习 1.P46 习题2.3 A组 1、2.补充作业【趣味数学】趣味数学 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方

7、厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 同学们！再见！2013-09-26课前回顾 1等差数列前n项和的公式； 2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)；上页下页（两个）【解】根据Sna1a2an与Sn1a1a2an1(n2)，可知当n2时，anSnSn1例1例题讲解 若数列an的前n项和Sn32n，求an.变式训练已知Sn求an利用数列前n项和Sn，求通项公式第一步：当n1时，anSnSn1；第二步：检验n1时，a1S1是否适合上式，若适合，则数列an的通项公式是anSnSn1；若不适合，则数列an的通项公式是总结思考 一般地，如果一个数列an的前n项和为S

8、n=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：当n1时，当n=1时，a1=S1=p+q+r又当n=1时，a1=2p-p+q=p+q 当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p0)an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q判断以下命题是否为真命题，若为假命题请修缮一下条件，使之成为真命题.若数列an的前n项和为关于n的二次函数，则该数列为等差数列.2.若数列an为等差数列，则该数列的前n项和为

9、关于n 的二次函数.探索 己知等差数列 5, 4 , 3 , 的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , 的公差为 ,所以sn= 25+(n-1)( ) = = ( n- )2+ 例2例题讲解 在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值【思路点拨】建立Sn关于n的二次函数式，利用二次函数求最小值，也可确定an0，an10时的n值，从而确定最大值变式训练总结课堂练习1、已知数列an中Sn=2n2+3n， 求证：an是 等差数列.2、（1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n， 求an.3、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。的前n项和为 ,当n为何值时， 最大。数列 的通项公式 ； 已知 求：6、设等差数列4、等差数列an中，首项a1，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？5、等差数列an的首项a1 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？课堂练习课堂小结1.已知Sn求an上页下页2.等差数列前项和的最值问题 上页下页课后作业P45 练习