高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.1直线与方程

1、PAGE PAGE 12 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程一、直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角相关链接2已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。例题解析例已知直线的斜率k=-cos(R).求直线的倾斜角的取值范围。思路解析：cos的范围斜率k的范围tan的范围倾斜角的取值范围。解答：（二）直线的斜率及应用相关链接1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式

2、中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知若，则有A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。例题解析例设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。解答：（三）两条直线的平行与垂直例已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。（1）MOP=OPN（O是坐标原点）；（2）MPN是直角。思路解析：MOP=OPNOM/PN，MPN

3、是直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。解答：注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。（2）注意转化与化归思想的应用。（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。二、直线的方程（一）直线方程的求法相关链接1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。用待定系数

4、法求直线方程的步骤：（1）设所求直线方程的某种形式；（2）由条件建立所求参数的方程（组）；（3）解这个方程（组）求参数；（4）把所求的参数值代入所设直线方程。2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。例题解析例求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。思路解析：对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。解答：当a=3,b0时，设所求直线方程为，即（二）用一般式方程判定

5、直线的位置关系相关链接两条直线位置关系的判定已知直线，则（1）（2）（3）（4）例题解析例已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）时，求的值。思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。解答：（1）方法一：方法二：（2）方法一：由方法二：（三）直线方程的应用相关链接利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。注：

6、（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。例题解析例如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。（1）当AOB的面积最小时，求直线的方程；（2）当PAPB取最小值时，求直线的方程。思路解析：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式。由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：点斜式：设的方程为，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；截距式：设的方程为，将点（2，1）代入得出a与b的

7、关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件；根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决。解答：（1）方法一：设的方程为，则方法二：设所求直线方程为，由已知得，于是。当且仅当，即时，取最大值，此时取最小值4。故所求的直线的方程为，即。方法三：设所求直线方程为，由已知得（2）方法一：方法二：注：解析法解决实际问题，就是在实际问题中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决。三、直线的交点坐标与距离公式（一）有关距离问题相关链接1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。2、点到几种特殊直线的距

8、离（1）点到x轴的距离。（2）点到y轴的距离.（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.3、两点间的距离的求法设点A(xA,yA),B(xB,yB)，特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB|ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.4、点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.5、两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。

9、例题解析例已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【方法诠释】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；(2)由点P(x0,y0)满足条件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件.解析：(1)l2为2x-y-=0,l1与l2的距离为a0,a

10、=3.(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+c=0上且,即或2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若P点满足条件，由点到直线的距离公式有：即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P在第一象限，3x0+2=0不可能.联立方程和x0-2y0+4=0,解得 (舍去)，由存在P()同时满足条件.（二）有关对称问题相关链接常见的对称问题：（1）中心对称若点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标

11、公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称点关于直线的对称若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段MN的中点在对称轴上，而且连接MN的直线垂直于对称轴上，由方程组可得到点M关于对称的点N的坐标(x2,y2)（其中A0，）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。（3）对称问题的类型点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称.以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于

12、直线对称.（4）对称问题的具体应用在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求；当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决.在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决.例题解析例求直线关于直线对称的直线的方程。思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。解答：方法一：由知直线与的交点坐标为（-2，-1），设直线的方程为y+1

13、=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线、的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得，直线的方程为x-2y=0.方法二：设所求直线上一点为P（x,y）,则在直线上必存在一点与点P关于直线对称。由题设：直线与直线垂直，且线段的中点在直线上。代入直线得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.（三）解析法（坐标法）应用例（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。思路解析： 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出|PM|和|PN|的长度。解答：过点A作AOBC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的直角坐标，1分设B（-a,0），C（a