chp3-第三章：量子力学导论

1、近代物理基础-原子物理学主讲教师：任国仲第一节 玻尔理论的困难第二节 波粒二象性第三节 不确定关系第四节 波函数及其统计解释第五节 薛定谔方程经典物理无法解释的实验现象一、黑体辐射的规律二、光电效应寻找以太的零结果？热辐射的紫外灾难物理世界上空的两朵乌云第一节：玻尔模型的困难第三章：量子力学导论光谱与玻尔模型第一节：玻尔模型的困难第三章：量子力学导论玻尔理论的成功之处1、量子态，定态得到实验验证；2、解释了氢光谱问题；3、理论上得到里德堡常量；4、解释了类氢离子光谱；5、元素周期律；6、同位素的而发现玻尔理论的困难1、简单程度仅次于氢的氦光谱无法解释；2、对于光谱线的强度无能为力；3、光谱中的

2、精细结构无能为力；4、原子如何组成分子、液体和固体无法说明第一节：玻尔模型的困难2定态之间跃迁过程中，发射和吸收辐射的原因不清楚，对过程的描写十分含糊！玻尔理论中难以解决的内在矛盾1氢原子中核与电子之间的静电作用是有效的，但是定态的发射电磁波的能力为何消失了？第一节：玻尔模型的困难卢瑟福的质疑当电子从一个能态跳到另一个能态时，您必须假设电子事先就知道它要往哪里去！陷入逻辑的恶性循环！我去过吗？薛定谔的非难糟糕的跃迁！电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，按照相对论，它的速度不能无限大，不能超过光速！那么跃迁必须经历一定的时间，在这段时间里，电子离开E1未到达E2，那么电子处于什么状态？这是那个糟糕

3、的跃迁无法回答的！玻尔这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决第一节：玻尔模型的困难把微观粒子看做经典力学中的质点玻尔理论困难的根源把经典力学的规律用于微观粒子根本解决途径：用全量子的观点看世界！第二节：波粒两象性在经典物理学中波和粒子是完全不同的两个概念。是自然界中仅有的两种能量传递的方式。是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。是就是是，否就是否，无法用波和粒子描述同一事物。粒子的特性：定域性，占据一定的空间，有确定的质量、动量和电荷粒子和粒子之间是分离的。粒子的运动有确定的轨道。波的特性：广延性，周期性,迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。粒子完全定域性波长频率特征量第二节：波粒两象性波质

4、量动量电荷特征量1、粒子总可以看成是质点2、根据牛顿力学，有严格的因果律1、频率和波长原则上可严格确定，拍方法。条件是波不能被约束2、波的本质特征：叠加性对于光的认知：1672年，牛顿，光的微粒说1678年，惠更斯，光的波动说十九世纪初，菲涅耳、夫琅和费和杨氏证实波动说1905年，爱因斯坦，光量子粒子波光的波粒而象性徳布罗意的反思：整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于“粒子”的图象想的太多，而过分地忽略了波的图象呢？第二节：波粒两象性光的波粒二象性光是一种电磁波已被我们充分认识，并被干涉、衍射

5、、偏振等实验和麦克斯韦理论完全证明。光在传播时显示波动性。光的波动性:光的粒子性：光电效应和康普顿效应等证明光的粒子性。光在与物质作用，转移能量时显显示粒子性。光是粒子性和波动性的矛盾统一体传播波动性能量传递粒子性光既可以显示波的特性，又能显示粒子的特性注意：在任何特定的事例中，光要么显示波性，要么显示粒子性，两者绝不会同时出现！ “整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而过分忽略了波的图象？” “所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二象性，任何物质粒子都伴随着波，而且不可能将物体的运动和

6、波的传播分开。1、德布罗意假说 (L.De Broglie)德布罗意第二节：波粒两象性de Broglie将Einstein的光量子概念推广，提出了物质波的概念(1924年) 所有的波都具有粒子性所有的粒子都具有波动性不能将物质的运动和波的传播分开。能量为E，动量为P的粒子，伴随的波的波长和频率为：德布罗意关系式：质能方程近代物理中的两个最重要的关系第二节：波粒两象性粒子性波动性能量质量表面上完全不同的物理量之间找到内在联系，不能不说是物理学的一大胜利普朗克常数的意义1、量子化的 量度2、波和粒子的桥梁量子论中两个基本的概念量子化波粒二象性必然有内在的联系任何表达式中，只要有普朗克常量的出现，

7、就必然意味着这一表达式的量子力学特征德布罗意关系式的实验验证戴维孙革末实验 德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象（如图）电子衍射的工作原理探测器电子束电子枪镍单晶d= asinaAtomic planes布喇格面-产生衍射-衍射极大发生条件d= asinaAtomic planes出射波束衍射极大出现的条件布喇格公式物质波的波长：当粒子能量不高，不考虑相对论效应有：对于电子有：带入布喇格公式出现衍射极大，与实验符合，稍有差别电子进入晶体后速度变快，能量升

8、高戴革的电子衍射实验有利地证明了电子的波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中性原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具有波动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。且波长都由 =h/p 确定，进一步证实了德布罗意假设的真实性。 很小， 当p = mv很大时， 宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系式不适用。戴维森(左)和盖尔曼在被贝尔实验室，电子衍射在这里首次发现电子源感光屏（1）两种错误的看法1. 波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只

9、要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。波动粒子两重性矛盾的分析2. 粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波

10、描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中

11、1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2有

12、确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。量子力学中具有波粒两重性的粒子1、轨道角动量的量子化电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则必须以驻波的形式存在量子态波粒二象性的必然结果驻波的特征：行波：能量定向传播驻波：不传播能量电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则必须以驻波的形式存在否则，会由于波的相干叠加而消失形成驻波的条件是轨道周长是电子波长的整数倍2r =n =n (h/p)=nh /(m v)m vr = nh /2角动量P =mvr =nh/2 Bohr模型的第三个假

13、设当电子绕核一周后，这个波的相位应该不变，否则，电子波必然毁灭。换言之，电子稳定运动，则电子绕核一周的周长，必须是其相应波长的整数倍！例氢原子的第一玻尔轨道半径满足驻波条件满足驻波条件粒子被限制在刚性匣子中运动，不能穿透出来该粒子在匣中能够永远存在下去的条件是：粒子在其中以驻波的形式存在匣子壁是驻波的波节匣子的长度是半波长的整数倍束缚粒子的能量是量子化的刚性匣子中的粒子-受限物质波的能量量子化从徳布罗意的观点看，玻尔的原子模型实际上就是一个徳布罗意波被关闭在一个库仑势场中的情况其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点轨道的周长为匣子长度的2倍能量的最小值如果将匣子等效为库仑势场波粒

14、二象性是量子力学的基础经典粒子：可以同时有确定的位置、速度、动量、能量经典波：在空间扩展，没有确定的位置波粒二象性：不可能同时具有确定的位置和动量。Werner Karl Heisenberg19011976 1925年建立了量子理论第一个数学描述矩阵力学1927年阐述了著名的不确定关系 第三节：不确定关系不确定关系式的几种表示分量形式：海森堡严格推出：粗略的表示：3、物理意义(1)也就是说，当粒子的位置X完全确定(X 0),那么粒子的动量PX，的数值就完全不确定（ Px )；反之，当粒子处于一个动量Px完全确定的状态时（ Px),则粒子的坐标X就完全不确定，即不可能把粒子固定住。(2)不确定

15、关系完全是由于微观粒子的波粒二象性所决定的，与所用仪器的精密程度无关；与测量技术无关。事实上因为波粒二象性，使得粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。(3)测不准关系给出了经典理论适用的界限。(4)我们无法用轨道的概念来描述微观粒子的运动。空间位置与动量的不确定关系能量与时间的不确定关系第三节：不确定关系若一粒子在能量状态E只能停留t时间，那么，在这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散 ；只有当粒子的停留时间为无限长时（稳态或定态），它的能量状态才完全确定第三节：不确定关系不确定关系中，一个关键的量是普朗克常量h，它是一个小量，因而，不确定关系在宏观世界并不能得到直接的体现但是

16、h不为零！从而使得不确定关系在微观世界成为一个重要规律例1、玻尔半径：玻尔第一速度：则动量：如果轨道确定，这p1完全不确定，轨道的概念也就失去了意义如果电子在a1范围内运动即：则例2、10g的小球若小球的瞬时不确定度为：已经足够精确！则不确定关系在宏观世界的效果好像在微观世界里当h0是的效果幸好h很小！量子物理经典物理相应原理的体现原子范畴内的现象与宏观范畴内的现象可以各自遵循本范畴内的规律，但当微观范畴内的规律延伸到经典范畴时，它所得到的结果应该与经典规律得到的一致不确定关系与能级的自然宽度光谱线系能级跃迁对应原则上是一条线电子发生跃迁，说明电子在该初始能级的寿命t不能无穷大由E不能为零电子

17、处于某一个能级，其能量不能为确定值，否则E0则t 不能发生跃迁粒子在某一状态的能量与粒子在该状态的寿命是无法同时确定的原子激发态能级总是有一定分布宽度的称为自然宽度跃迁过程能级和谱线的自然宽度不确定关系已经渗透到微观世界的各个领域注意：不确定关系并不是给物理学带来了不精确性，相反：不确定关系带来的正是微观世界的精确性粒子被限制在x范围内运动核外电子电子不能落入核内平均动量束缚粒子的最小平均动能？思考！只要粒子被束缚，则粒子的动能不能为零，如动能为零则动量为零x为无穷大以上结论是从不确定关系得到的，与具体的束缚形式无关！r变小，即r变小， p变大，平均动能变大，如果r从原子尺度变到核的尺度，电子

18、的能量有10eV增大到1GeV，电子无处获得这么高的能量不确定关系是波粒二象性的必然结果不确定关系是微观粒子波粒二象性的数学表达玻尔对波粒二象性哲学上的概括互补原理互补原理1、波与粒子是互斥的波性和粒子性绝不会在同一个测量中出现，波和粒子这两种经典的概念在描述微观现象时是互斥的2、波与粒子是互补的或称并协的波性和粒子性不能同时存在，他们就不会在同一个实验中直接冲突，但这两个概念在描述微观现象和解释实验时又都是不可缺少的，企图抛弃哪一个都不行，在这种意义上他们是互补的！玻尔说：一些经典概念的应用不可避免地将排除另一些经典概念的应用，而这“另一些经典概念”在另一些条件下又是描述现象所不可缺少的。必

19、须而且只需将所有这些既互斥又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的详尽无遗的描述。波粒二象性中波与粒子的互补就如同认识硬币的两面！不确定关系和互补原理必然导致“微观理论是统计性的”的观念。它与经典物理中的决定性观念截然不同。互补原理与不确定关系是量子力学哥本哈根学派解释的两大理论支柱！哥本哈根学派20世纪20年代玻尔发起成立，成立时的成员有：波恩、海森堡、泡利、狄拉克等学派的实体机构：丹麦哥本哈根大学哥本哈根理论物理研究所，培养出了十几为诺贝尔奖获得者被物理学家誉为：物理学界的朝圣地；量子力学的诞生地该学派最强劲的对手爱因斯坦第四节：波函数及其统计解释经典物理中的“决定性观念”或者“严格

20、的因果律”在宏观现象中是成功的！玻尔海森堡对于微观粒子，我们不能同时确定物理的位置和动量，他们的可确定程度不能比海森堡不确定关系所允许的更准确！结果：我们只能预言这些粒子的可能行为！几率性的观点在量子物理学中是基本的观点决定论必须抛弃！量子力学哥本哈根解释的核心内容：粒子的波粒二象性不确定中的确定内容几率！不确定的来源！统计性波粒子例统计解释的实例电磁波的能量流单位时间通过单位面积的能量大小电磁波的能量流正比于波的电场强度的平方，即：从粒子的观点看：电磁波的能量流等于：N为光子通量：单位时间穿过垂直于传播方向单位面积的光子数考虑一束非常弱的紫外光每个光子的能量：光强为：这时N为：既然光子是量子

21、化的，这里出现非整数只能表明，N是个平均值，其中包含几率的概念；N在12附件变动，平均值是12.5.N是发现一个光子在单位时间穿过单位面积的几率的量度！N是发现一个光子在单位时间穿过单位面积的几率的量度！一定频率的光的强度光子的数目该处出现光子的几率在某处出现光子的几率与光波的电场强度的平方成正比，即：以上通过电磁波分析的结论同样适用于物质波电磁波其电场强度可表示为：相应的物质波在x方向一恒定线动量运动的粒子，其徳布罗意波可相应写为或者更一般地写为：其中：物质波也就是说，对于物质波，不仅有一个波长，而且还有一个振幅波函数光子光子密度的几率量度物质波在给定时间，在r处单位体积中发现粒子的几率爱因

22、斯坦光电效应波恩波函数的几率解释波恩指出：对应于空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的徳布罗意波确定的几率。若电子对应的波函数在空间某点为零，这就意味着在这点发现电子的几率为零！波恩波函数的几率解释并不是也不可能从什么地方导出来！几率解释是量子力学的基本原理之一，也可以说是一个基本假设波函数的统计诠释 德布罗意引入物质波，物质波需用波函数(rt)描述。物质波的波函数代表什么物理意义。1926年玻恩提出波函数的几率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。这个假设得到衍射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。首先指出，在量子力学中，

23、引入波函数是用来描述量子系统状态的，所以波函数就是态函数。玻恩又赋予波函数以统计诠释，按照玻恩的观点：波函数(x)是概率波振幅，简称概率幅；波函数的模方|(x)|2=是几率密度 (*代表复共轭)； |(x)|2dx是粒子出现在xx+dx间隔内的概率；粒子出现在x1 x2间隔内的概率是波函数几率幅的性质玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些基本性质：(1)波函数是单值连续有限粒子在某处的几率只能有一个值几率无突变不能无穷大(2)波函数满足归一化条件即全空间找到粒子的几率为1对于不归一的波函数如总可以乘以一个常数c使得归一c称为归一化常数或归一化等价？等价因为在空间两点x1和x2，的相对几

24、率为就几率分布而言，重要的是相对几率分布不难看出 与 (c为常数)所描述的相对几率分布是完全相同的它们描述的相对概率是一样的然而对于经典的波函数，这完全对应两种不同的状态波函数仍允许差一个 因子|(x,y,z,t)|2表示t时刻，(x,y,z)处单位体积内发现粒子的几率，因此又成为几率密度经典波函数与物质波函数的比较经典的波函数1、可测量有直接的物理意义2、和c 是完全不同的两个波物质波波函数1、不可测量无直接的物理意义2、 | |2才可测量有直接的物理意义3、和c 描述相同的概率分布波函数特性的实例电子的双缝干涉实验光机枪电子枪28只电子1000只电子1万只电子几百万只电子干涉的结果，使有些

25、地方强度增强，有些地方强度减弱强度等于电子数干涉相长：I=I0+I02I0=4I0，两个电子干涉后，变为4个电子干涉相消：I=I0+I02I0=0，两个电子干涉后，电子消失了，湮灭了这是说不通的！双缝干涉实验如果让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。而此时电子之间没有干涉所以干涉不是两个电子间相互作用的结果而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这种特性是由电子与双缝所决定的这种分布特性可以用几率描述电子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或光子出现几率小的地方，强度较弱双缝干涉表明1、干涉现象是所有微观粒子的共同特征，干涉的形成不是由微观粒子

26、之间的相互作用产生的，而是个别粒子属性的集体贡献！2、就单个粒子而言：通过哪个狭缝打在屏的哪个位置无法预知但是，对于大量粒子的行为（干涉图样）却是可以完全预卜的！单电子双缝干涉的疑问121缝的存在对于电子通过2应该没有影响，反之亦然！这样就不应该有电子干涉的发生！出现了单电子干涉，只能说明缝1和2同时起作用！似乎电子同时通过了缝1和缝2！电子有分身术吗？窥视电子12p1p2D1D2结果，当单个电子在屏上成像的时候，只有一个计数器有信号，证明电子没有分身术！但是同时干涉现象消失，屏上的感光如同经典粒子一样的结果撤掉窥视装置，干涉重新出现最终人们发现：观察效应使得干涉消失！态叠加原理为了解释双缝干

27、涉实验，必须借助于量子力学的另一个基本原理态叠加原理态叠加原理的基本表述-四条规则根据波恩对波函数的统计解释：在微观世界中，一事件发生的几率P等于波函数的绝对值的平方：所以又称为几率幅量子事件发生某事件可以泛用从初态i到末态f的跃迁来表示，则发生这种跃迁的几率Wif可以表示为：即表示从初态i到末态f跃迁的几率幅，或几率振幅，相当于这几率幅 服从以下是个基本规则！规则一if如果发生在i与f态之间的跃迁，存在着几种物理上可区分的方式或途径，那么在if间的跃迁几率幅应是各种可能发生跃迁几率幅之和。该规则是几率幅叠加规则，是态叠加原理的一种表述方式，态叠加原理是量子力学概念体系的基础费曼称它为量子力学

28、的第一原理态叠加原理是量子力学的一条基本原理，至今无法从更基本的概念导出！规则二if1f2fn如果有n个彼此独立、互不相关的末态，我们如果要知道跃迁到任意一个末态的几率（要到达末态，无论是哪个都可以），那么跃迁几率等于到达各个末态跃迁几率之和。该规则又称几率相加率规则三ivf假如从i态到f态的跃迁必须经过某一中间态v，那么总的跃迁几率幅等于分段几率幅之乘积规则四ifIF假如有两个独立的微观粒子组成的体系，并且两粒子同时发生了两个跃迁，那么体系的跃迁几率幅等于个别粒子的几率幅的乘积。规则三和四并称为独立事件的几率相乘率初态：s中间态：1、2末态：x（屏）sx1、只开缝1，根据规则三单电子干涉实验

29、的解释电子在x处（屏）被记录的几率I1（x）为：sx2、只开缝2，类似有：3、双缝齐开，应用规则一态叠加原理有：1、只开缝1，根据规则三这时的跃迁几率为：可见：正是多出的两项：电子从初态到末态的两种可能的跃迁几率幅的干涉项引起了干涉图样！窥视电子干涉消失-自修！sx由以上的分析可以清楚地看出，对于出现干涉图样的解释是靠几率幅的线性叠加当双缝齐开时，即使对于一个电子，也要用两个几率幅之和去描写整个实验过程，也就是说对以任何一个孤立电子来说，双缝同时在起所用！物质波绝非经典的波，电子经过狭缝时出现的干涉与经典的图像毫无关系：它的起因是统计规律中的几率幅的相加率！而不是几率相加！单电子干涉是一个电子

30、的两个态的叠加干涉是电子自己与自己的干涉决不是多电子之间的干涉态叠加原理与波叠加原理之间的区别注在数学表达上完全相同！经典两经典波的叠加一般导致一个新的波，具有新的特征，如驻波量子两个量子波或两个几率幅1和 2的叠加这种叠加并不形成新的状态！的物理意义：不会有任何新的结果出现！量子力学中态的叠加导致叠加态下测量结果的不确定性出现几率确定双缝干涉实验光子通过其中一个狭缝到达接收屏通过狭缝1的光子在接收屏上有一个分布函数，即波函数，记为1；光强分布为I1= |1|1|通过狭缝1的光子的状态为1；通过狭缝2的光子的状态为2；大量光子，它们的状态要么为1 ；要么为2态叠加原理状态不确定大量光子的总状态

31、是上述两种状态的叠加=1+2从几率分布的角度看，一个光子的状态可以表示为=1+2即在每个光子经过狭缝前，无法确定它将通过哪一个狭缝或者说，各有一半的几率通过其中的一个狭缝干涉实际上是一个光子的两个本征态之间的干涉态叠加原理干涉项Schrdinger方程是量子力学的最基本方程不是经过严格的推导而获得的是用试探方法找到的或者说是“猜”到的自由粒子，或者单色平面波的波函数（复振幅）四、 Schrdinger方程波粒二重性的体现类似有：力学量算符自由粒子的Schrdinger方程自由粒子处于势场中的粒子Halmilton算符Halmilton量自由粒子力学量算符含时薛定谔方程对于定态势能场定态Schrdinger方程Halmi