高中数学讲义微专题100利用同构特点解决问题

1、高中数学二轮微专题高中数学二轮微专题关注公众号”品数学“，一起学数学吧!关注公众号”品数学“，一起学数学吧!微专题100利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：(1)在方程中的应用：如果方程/(a) = O和/(b) = O呈现同构特征，则力可视为方程/(工)=0的两个根(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函 数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式(3)在解析几何中的应用：如果4(凡,凹),3(电,)，2)满足的方程为同构式，则A8为方程所 表示曲线上的两点。特别的，若满足

2、的方程是直线方程，则该方程即为直线A8的方程在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(q,)与&_,一 1) 的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：f(x-1)5 + 2x + sin(x -1) = 3例1： (2015天津十二校联考)设满足/ 7,则x+y =(y-1) +2y+ sin(y -1) = 1( )A. 0B. 2C. 4D. 6思路：本题研究对象并非,而是(工一1),()，-1),进而可变形为(x -1)5 +2(x- l) + sin(x-1) = 1,现察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构(y-1)5 +2(y-l) + si

3、n(y-l) = -1视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解解：(x- I)5解：(x- I)5 +2x + sin(x-1) = 3s0:(y - 1) +2y+ sin(y -1) = 1(x-1)5 + 2(x-l) + sin(x-l) = 1 (y- I)5 + 2(y- l) + sin(y-1) = -1设,f(/) =， + 2/+sinf,可得/(1)为奇函数，由题意可得:/(x-l) = lbtv-i) = -imDTGT.x- = -(y-1)=x+ y = 2答案：B例2：若函数/(x) = d + ?在区间可上的值域为-

4、， (ba),则实数？的取2 2Ja-l + Ja-l + m =2y!h 1 + in =2思路：注意到“X)是增函数，从而得到a) = SjS) = L 即. 22个式子为的同构式，进而将同构式视为一个方程，而。为为该方程的两个根，的取值 只需要保证方程有两根即可解：:/(x)为增函数右一1 + m =2Jb 1 + in =2a,b为方程JE+m = )在l,+oo)上的两个根，即m = -有两个不同的根22令 I = 1 2 0) = x = r +1所以方程变形为：w = 1(r+l)-r = 1(/2-2r + l),结合图像可得：e 1/ e 1/ 君 答- -1 - 29O例3

5、：设a,bR,则|是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要又不必要条件思路：观察同回.可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数/(x) = x|x|,分析其x? x 0单调性e /(x) = x|x| = r 可得/(X)为增函数。所以f a / b ,即 -xxhaa bb,所以是充要条件答案：C例4:若0/ lnx2 - nxB. e -答案：A例 6：答案：A例 6：如果 cosd sin5ev7kin3e cos3e）,ee0,2;r）,那么 6 的取值范围是思路:本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin6,cos8的项分居在不等号两侧：c

6、os5 0 + 7 cos3 3 xeX1D. x2ex ln.v2 - Inx1 eX1 - Inx? eXl -Inx,设 f (x) = -Inxf (x) = ex - - = ,设=1,则有g (x) = (x+l)e* 0恒成立,所以.1 Xg(x)在(0,1)单调递增，所以g(0) = T0,从而存在与(0)，使得 g(耳)= 0，由单调性可判断出：X(o,x(j,g (工)v0 = / (x)0= f (x)0，所以/(x)在(0,1) 不单调，不等式不会恒成立B 选项：ex - eX1 lnx2 - In再=ex + lnx( * + In x2,设 /(x) = ex 4-

7、Inx 可知 f (x)单 调递增。所以应该/(内) 一 ,构造函数 /(X)= . f (x) = kX-,则 f (x) /(马)成立D选项：K6vxe2 =2015I- 2015 220152k7r 6 ： 冗 + 2kjr(k cZ),结合 60,2 乃)，可得 9e答案:例7：如图，设点P（Xo，）b）在直线X = ?（y W切7,072 + 10/1 + 5-20公=0,所以为方程/ + 10工+ 5-20公=0的两个不同根，进而利2 + 10 + 5-20 必=0用韦达定理即可得到2 + = -10解：由（1）得尸（2,0）,设直线/:y = k（x 2）,可得火（0,-2%），

8、设，（内,）,5（孙冉）可得：/ =（内，x+2Z）,而=（2 外,一切），由后=%而可得：j =厂=177 yI+2k=-Ay _ 2因为4在椭圆上，.x：+5y；=5,将代入可得：仔力 +5（言J =5 = 4万+20公=5（/1 + 1）2.22+10A + 5-202=0对于,RB = （x2y2 +2Z:）,BF =（2 x2,y2）, RB = fdBF同理可得：.,.”: + 10 + 5-20攵2=0为方程x2 + 0 x + 5-20k2 = 0的两个不同根例9 ：己知函数夕（%） =/一,“为正常数，若g（x） = lnx + 0（x）, X I 1xx2 e（0,2,X

9、Wx、,都有）例9 ：己知函数夕（%） =/一,“为正常数，若g（x） = lnx + 0（x）, X I 1xx2 e（0,2,X Wx、,都有）-1,求4 的取值范围.一且对任意思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令匕为，则不等式变形为8（）一?（内）内一，将相同变量放直一侧，可发现左右具备同构特点,所以将相同结构视为函数= g（x） + x ,从而由工2 X且力（超） 力（芭）可知只需（x）为增函数即可。从而只需不等式（x）NO恒成立即可，从而求出。的范围解：g（x） = lnx + ，不妨设王占，则恒成立不等式转化为:x + 1g（x2）-g（M）再一 42=式西）+而晨西）+再设 h (x) = g (x) + x = In x d只需(x)在(0,2单调递增即可+ X ,则由力（电）/?（%）恒成立和X可得:/7（X）2 0恒成立V /?(X)= - -? 4-1.x (x + 1)-即工(工+1丫 +仁上恒成立 X1- + 10 x (”所以只需（X+1）2 (x+,r+Xmin令 (x) = (x+ I)2 + (i -1).Ap(X)= 2(x +1) +2x(x+ l)(x + p(X)