数字信号处理：dsp10 有限离散傅氏变换

1、数字信号处理7.有限离散傅氏变换(I) 8/11/20221马尽文 有限离散傅氏变换 快速傅氏变换算法（FFT） （Gooley & Tukey,1965） 数字信号处理信号处理理论实际应用与实践8/11/20222马尽文有限离散傅氏变换快速傅氏变换的原理用FFT进行褶积滤波循环褶积问题FFT在频谱分析中的应用有限离散哈特利变换和有限离散余弦变换8/11/20223马尽文7.1有限离散傅氏变换A.有限离散信号及其频谱 对于一个离散信号 ，其中 为抽样间隔，若在有限 范围之外全为0，即 满足 (其中 ， 为整数， ）我们就称 为有限离散 信号，简记为 我们称 为有限离散信号 的长度。8/11/2

2、0224马尽文7.1有限离散傅氏变换 对于有限离散信号 ，它的频谱为 这是以 为周期的函数。 的 步延迟信号 ，即有 以后考虑有限离散信号只在 内取值，这时信号的 长度为 -标准有限离散信号范式。8/11/20225马尽文7.1有限离散傅氏变换B.有限离散傅氏变换 设有限离散信号 为 它的频谱为 是以 为周期的函数。物理上仅需考虑频率范围 为 ，现在我们将讨论的范围变为 。（在理论上是等价的）取 上有限个离散点：8/11/20226马尽文7.1有限离散傅氏变换 频谱 在 上的值为 我们称 为有限离散频谱， 称为基频。 从前面可知 ? 为此，先证明一个等式：8/11/20227马尽文7.1有限离

3、散傅氏变换 当 时，上式左端显然等于 。当 时 按等比级数有 故上式成立，下面计算8/11/20228马尽文7.1有限离散傅氏变换 根据上面求和公式得 。因此有 其中 上面两式称为有限离散傅氏变换。有限离散信号 与 有限离散频谱 是1-1对应的。 为了使公式简单，我们可以令8/11/20229马尽文7.1有限离散傅氏变换 则有 其中 注意： 是离散信号 在频率点 上的频谱值，具有明确的物理意义。 由于 和 是一一对应的，所以， 和 的表达式是 唯一的。以 为例，若 能表示为8/11/202210马尽文7.1有限离散傅氏变换 则有 ，即 . 例 设 其中 ，求 的 点离散傅氏变换。 解：由于8/

4、11/202211马尽文7.1有限离散傅氏变换 按信号表示的唯一性， 的 点离散傅氏变换 为C.实信号的有限离散傅氏变换性质 由于在实际中出现的信号都是实信号，因此有必要讨论 实信号的有限离散傅氏变换的性质。 设 是实信号，有限离散频谱为 ，则 具有如下性质8/11/202212马尽文7.1有限离散傅氏变换 反之，若上述共轭性成立，相对应的信号 一定是实的 为实信号.8/11/202213马尽文7.1有限离散傅氏变换D.有限离散频谱所引起的假信号问题 设离散信号 的频谱为 频率 的 可从 得到，即8/11/202214马尽文 那么 和 究竟有什么关系呢？7.1有限离散傅氏变换 有限离散频谱定理

5、1：设离散信号 及其频谱 为 一般的离散信号与频谱，则有 证明：由于 则有8/11/202215马尽文7.1有限离散傅氏变换 即 与 在 是不相同。实际上， 是 将 按周期 ，即 拆开，并折叠后形成 ， 称为折叠周期。 有限离散频谱定理2：设 ， ， ， 与 有限离散频谱定理1中的意义相同， 的频谱为 则有8/11/202216马尽文7.1有限离散傅氏变换 证明：根据定理1，(1)式自然成立。从(1)可得(2)。并且8/11/202217马尽文7.1有限离散傅氏变换 因此， 所以8/11/202218马尽文7.1有限离散傅氏变换 注意：1）当 ，且 ，则当 充分大时， 与 ， 与 都可 以任意接近，进行近似替代。 2）若 且 时， ，即信号是有限 的，则 ， 。 3）由于频谱 以 为