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文档简介

1、第七章、 Plya定理 1937年，美国数学家Plya G. 以关于群图和化学化合物的组合计算方法为题，发表了长达110页的著名论文。这篇论文推广了Burnside 引理，给出了普遍适用的一般计数方法Plya计数定理。目前，Plya定理已成为组合数学中强有力的计数工具。同时，这一定理在化学和生物学中也有重要的作用。例7.2.2（正方形对称群）考察使正多边形回到原来位置的所有可能的逆时针旋转和翻转动作，可以得到一个群，称为二面体群。 214AA3BB第一类：旋转对称关系 旋转0 旋转90 旋转180 旋转270 第二类：反射对称关系 以AA为轴翻转180 以BB为轴翻转180 以13为轴翻转18

2、0 以24为轴翻转180 8个置换p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8在置换的乘法下做成4次对称群的一个子群，即为8元置换群。定理7.4.1(Plya定理) 设Q是n个对象的一个置换群，用m种颜色涂染这 n个对象，一个对象涂任意一种颜色，则在Q作用下不等价的方案数为: 为将置换q表示成不相杂的轮换的个数，其中包括单轮换例7.3.10对正方形的4个小格用两种颜色着色,可得多少种不同的图像?其中经过旋转后能吻合的两种方案只能算一种. 4132(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解法1：枚举法解法2： 直接应用Plya定理第一类：旋转对称关系 第二类：反射对称关系 因此Q= p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8 待涂色的对象有四个，因此n=4,两种颜色，m=2，|Q|=8;根据定理7.4.1,涂色方案数例7.4.1 用红，黄，蓝三色对等边三角形的顶点染色，

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