2021-2022学年江苏省泰州市高一下学期期中数学试题【含答案】

1、2021-2022学年江苏省泰州市高一下学期期中数学试题一、单选题1设复数，则复数z的虚部是（）AiBC1DC【分析】应用复数的乘方、除法化简复数，即可得z的虚部.【详解】.所以复数z的虚部是1.故选：C2已知点，则与向量的方向相反的单位向量是（）ABCDA【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为.【详解】，与向量的方向相反的单位向量为.故选：A.3如图，在等腰梯形中，则（）ABCDA【分析】利用向量的三角形法则可求解.【详解】又，故选：A4公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为（）A1B

2、2C4D8C【分析】运用代入法，根据二倍角的正弦公式、余弦公式，结合同角的三角函数关系式、诱导公式进行求解即可.【详解】因为，所以由，因此，故选：C5已知非零向量，满足且，则与的夹角为（）ABCDB【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求与的夹角.【详解】由题设，所以，即，又，故.故选：B6已知内角，所对的边分别为，面积为.若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确

3、选项.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.7已知i为虚数单位，如果复数z满足，那么的最小值是（）A1BC2DA首先根据，结合复数模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据的几何意义，求得的最小值.【详解】设复数，在复平面内对应的点分别为，因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹为线段（包括端点），如图所示.问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值.因此作于，则与之间的距离即为所求的最小值，即.故选：A.本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8当

4、时，取得最大值，则（）A3BCDD【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切值即可.【详解】因为，故当取得最大值时，若，则，则.故选：D.二、多选题9已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称则下列说法一定正确的是（）A是实数B是纯虚数C是实数D是纯虚数ABC【分析】结合向量运算、向量的有关概念对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，设，则，其中.为实数，A选项正确.为纯虚数，B选项正确.为实数，C选项正确.，当时，不是纯虚数，D选项错误.故选：ABC10下列各式中，值为的是（）ABCDABC【分析】对于A、C，逆用二倍角公式化简判断；对于B，逆用两角和的正切

5、公式化简判断；对于D，用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断；【详解】解：对于A，故A正确；对于B，,，故B正确；对于C，故C正确；对于D，故D不正确；故选：ABC .11的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）ABCD外接圆的面积为ABD【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解.【详解】解：设的外接圆的半径为, 因为，所以，所以，则外接圆的面积为.因为，所以所以，所以. 所以ABD正确，C错误.故选：ABD12折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（

6、）AB若，则C若，则D的最小值为BCD【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.【详解】，A错误；由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.由知，设，则解得故，C正确.，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.故选：BCD.三、填空题13若（为虚数单位）是纯虚数，则实数_.【分析】利用复数的运算，求得，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，复数，又由复数为纯虚数，则，即，解得.本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和

7、复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14如果，是方程的两根，则_【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.【详解】由已知得，.故答案为.15设是平面内两个不共线的向量，若A、三点共线，则的最小值是_.4【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【详解】，若A、三点共线，设，即，是平面内两个不共线的向量，解得，即，则，当且仅当，即，即，时，取等号，故最小值为4.故4.16已知中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，若的面积为，则的取值范围为_.【分析】由三角形面积可得，由已知条件结合余弦定理

8、可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，则利用三角函数恒等变换公式可得，再利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】，由余弦定理可得，解得，.所以，.因此，.故四、解答题17在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角

9、，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.18已知(1)求的值；(2)已知，求的值.(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式化简已知条件可得，再由二倍角公式化为关于正余弦的齐次式，分子分母同除以化为切函数代入即可的解；（2）由方程求出，再由两角和的正切公式计算，根据角的范围求角即可.【详解】(1)因为，所以所以又因为=所以(2)因为，所以因为所以又因为，所以所以由，得所以19北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保舒适温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间

10、是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且，.(1)求氢能源环保电动步道的长；(2)若_；求花卉种植区域总面积.从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)(2)选：，花卉种植区域总面积为；选：，花卉种植区域总面积为.【分析】（1）由题干条件得到，由余弦定理求出AC的长；（2）选：利用正弦定理求出，利用正弦的和角公式求出，利用面积公式求出和，进而求出花卉种植区域总面积；选：利用余弦定理求出，利用面积公式求出和，进而求出花卉种植区域总面积.【详解】(1)因为，所以，因为，所以由余弦定理得：，因为，所以(2)选：；在AB

11、C中，由正弦定理得：，因为，所以，由（1）知：，代入上式得：，解得：，且，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为选：，在ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为20如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且；(1)求线段的长度，(2)设与相交于点，求的余弦值.(1)(2)【分析】（1）设，把作为基底，再根据题意将用基底表示出来，然后求出其模即可，（2）将用表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可【详解】(1)设，则，即.(2)因为，所以所以.因为所以.因为，所以21已知函数(1)求在上的单调递增区间；(2)求函数在上的所有

12、零点之和(1)和(2)【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）由题意可知，作出函数在上的图象，根据图象和函数的对称性，即可得到结果.【详解】(1)解： ，由，得，故的单调递增区间为当时，；当时，故在上的单调递增区间为和(2)解：，得，在上的图象如图所示，因为，所以在区间上，函数的图象与直线共有8个交点，即有8个零点，设这8个零点分别为，由，得，所以函数的图象关于直线对称，所以，故在上的所有零点之和为22同时定义在D上的函数，如果满足对任意恒成立，且具有相同的单调性，则乘积函数也是D上的单调函数已知函数(1)试判断函数在区间上的单调性，并求出其值域；(2)若函数在上满足不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知是关于x的方程的实数根，求的值(1)函数在上单调递增，值域为；(2)(3)【分析】（1）根据题意，判断在上单调递增，且，在上也单调递增，且即可求解；（2）原问题等价于恒成立，记， 求出函数的最小值即可得答案；（3）原问题等价于是关于x的方程的实数根，令，则上式等价于，根据单调递增，可得，所以满足原方程的一定满足，从而即可求解.【详解】(1)解：由