材料力学课件第九章第9章

1、1第 9 章 压杆稳定第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为F = A = 3.92 kN91 压杆稳定的概念 实际上,其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是与受压时变弯有关。当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.一、引言：9.1 压杆稳定的概念 在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。 稳定性 构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。不稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远

2、离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置9.1 压杆稳定的概念压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡。称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。压力等于临界力压杆的稳定性试验9.1 压杆稳定的概念 二、 弹性细长受压直杆的稳定性（1）当轴向力 P 较小时，其平衡形态为直线。此时如有一微小的侧向干扰力，压杆会产生微小的横向弯曲变形；一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直线平衡状态。（2）当轴向力P较大时，如有一微小的侧向干扰力，压杆产生弯曲变形；此时，原来的直线平衡状态是稳定的此时，原来的直线平衡状态是不稳定的当侧向力去掉后，杆不能回到原来的直线平衡状态。

3、而是处于曲线平衡状态。使杆件保持稳定平衡状态的最大压力临界压力7实际的受压杆件由于: 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更为快速的变大。8失稳破坏案例9三、稳定问题与强度问题的区别平衡状态应 力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值 sss变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题109-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，

4、按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。11 在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为:上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。12令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为(b)(c)此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量

5、。这种不确定性是由F = Fcr时杆可在任意微弯状态下(可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。13 将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w 0,杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0(c)14满足此条件的kl为或即 由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 klp 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。由klp有亦即15从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式： 此时杆

6、的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得注意到当x= l /2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于klp，亦即对应于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。16需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。179-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数 现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公

7、式。18 试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆失稳时的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面。例题 9-119根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x 横截面上的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程则为将上式改写为1. 建立压杆挠曲的近似微分方程例题 9-1解:20令 由(1)式得此微分方程的通解为一阶导数为 根据边界条件x=0，w =0由(3)式得Ak=0，注意到 不会等于零，故知A0。再利用边界条件x=0，w=0由(1)式得B=-d。将A=0， B=-d代入(1)式得2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力例题 9-121利用 x

8、= l 时 w = d 这一关系，由(4)式得出从式(4)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl = 0。满足此条件的kl的最小值为 kl = p/2，亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：亦即例题 9-122 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(4)便得到压杆失稳时的挠曲线方程为例题 9-123 试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆失稳时的挠曲线方程。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。例题 9-224 1. 杆端约束力分析 图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶矩MB，根

9、据平衡方程SMB 0可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy 。例题 9-2解:25杆的任意x截面上的弯矩为从而有挠曲线近似微分方程：2. 建立压杆挠曲线的近似微分方程例题 9-2上式等号右边的负号是因为对应于正值的w, w 是负而加的。26令 k2=Fcr /EI，将上式改写为亦即此微分方程的通解为其一阶导数为式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。3. 求临界力Fcr例题 9-227再利用边界条件x=l，w=0，由上式得 由边界条件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。将以上A和B的表达

10、式代入式(a)有例题 9-228由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为k l=4.49，亦即 ，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为亦即例题 9-229 4. 将 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。例题 9-230压杆的长度因数和相当长度lll0.7ll0.5l31 表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高

11、。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度，它表示压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m l。32 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。当杆端约束在各个平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销33对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销练习1 长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？解：xzFl1F 练习2 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1，长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。l1xyl2l2zy22126624解：在 xy平面内失稳时，z 为中性轴在 xz平面内失稳时，