解题方法及提分突破训练因式分解法专题

1、解题方法及提分突破训练:式分解法专题中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算，求值，化简，论证.解代数式问题的关 键是通过代数运算，把代数作恒等变形.代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解.它贯 穿、渗透在各种代数式问题之中.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的.它为以后学习分式运算、解 方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础所以因式分解是中学代数 教材的一个重要内容.它具有广泛的基础知识的功能.由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径 多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、 培养能力

2、、深化学生逆向思维的良好载体.正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功 能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点.真题链接(2011浙江杭州，12,4)当尤=-7时，代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为(2011山东威海，16,3分)分解因式：16 83 力+ 3 )2=.( 2011 广东广州市，19，10 分)分解因式 8(x2 - 2y2) - x(7x + y) + xy .(2011浙江湖州，18，6)8因式分解：。3一9a(2012年山东泰安模拟)因式分解：9粗一x = 如果a = 2，ay= 3，贝U a 2X+3y =(2012年北京市顺义区一诊考试)分

3、解因式：5尤3一10尤2y + 5xy2 =二名词释义因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础， 它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商 就是另一个因式运用公

4、式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因 式的方法叫做运用公式法.平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=（a+b）（a-b） 完全平方公式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 （或者差）的平方.字母表达式：a22ab+b2=（ab）2立方和与立方差公式：两个数的立方和（或者差）等于这两个数的和（或者差）乘以它们的平方 和与它们积的差（或者和）.十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解.对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2 + bx + c，用十字相乘法分解因式的

5、关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2 + a2c1=b .三典题示例、提公因式法.：ma+mb+mc=m 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公 式，例如： (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(ab)2 = a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2 ；(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：a2+b2+c2+2a

6、b+2bc+2ca=(a+b+c)2 ;a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是AABC的三边，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca 测AAC的形状是()A.直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a 一 b)2 + (b 一 c)2 + (c 一 a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.分组后能直接提公因式例1、分解因式 :am + an

7、 + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两 项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式！= (m + n)(a + b)例 2、分解因式：2ax - 10ay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax - 10ay) + (5by - bx)=2a (x - 5 y) - b( x - 5 y)=(

8、x - 5y)(2a - b)分组后能直接运用公式例3、分解因式 :x 2 一 y 2 + ax + ay解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5by)=x(2a - b) - 5 y (2a - b)=(2a - b)(x - 5y)分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a( x + y)=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：a2 2ab + b2 c2解：原式=(

9、a2 2ab + b2) c2=(a b)2 c 2= (a - b - c)(a - b + c)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;常数项是两个数的乘积；一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0v a 0而且是一个完 全平方数。于是 = 9-8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2 + 5x + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2x3=(-2)x(-3)=1x6=(-1)x(-6)从中可以发现

10、只有2x3的分解适合 即2+3=5。X12解：x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 x 313=(x + 2)( x + 3)1x2+1 x3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一 次项的系数。例6、分解因式：x2 -7x + 6解：原式=x2 + (-1) + (-6)x + (-1)(-6)1 二二-1=(x 1)( x 6)1-6(-1 ) + ( -6 ) = -7二次项系数不为1的二次三项式ax 2 + bx + c条件:(1 ) a = a1 a2“1 c 1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l

11、 bookmark48 o Current Document (2 ) c = c ca c(3 ) b = a c + a cb = a c + a c HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 1 22 11 22 1分解结果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例7、分解因式：3x2 - 11x +10分析：1 .Ixl-23-5(-6 ) + (-5 ) = -11解：3x2 - 11x +10 = (x - 2)(3x - 5)二次项系数为1的二次多项式例8、分解因式：a2 8ab - 128b2分析：将b

12、看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 A8b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 - 8ab - 128b2 = a 2 + 8b + (-16b)a + 8b x (-16b)=(a + 8b)(a - 16b)二次项系数不为1的二次多项式例 9、2 x 2 一 7 xy + 6 y 2例 10、x 2 y 2 一 3 xy + 2把巧看作一个整体1C-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式=(x - 2 y )(2 x - 3 y)解：原式=3-1)( - 2)五、换元法。例 13、分解因式(1 ) 2

13、005x2 - (20052 -1)x- 2005(2 ) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1 )设 2005= a，则原式=ax2 - (a2 -1) x - a=(ax +1)( x - a)=(2005 x +1)( x - 2005)(2)型如abcd + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，贝 Ix 2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x

14、 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2例 14、分解因式（1 ） 2x4 - x3 - 6x2 - x + 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1 ,并且系数成“轴对称。这种多项式属于“等距离多项式” 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。 TOC o 1-5 h z 解：原式=x2 (2 x2 x 6 + ) = x2 b(x2 + ) (x + ) 6 x x 2x 2 x、1,1-设 x + t，则 x2 + t2 2xx2原式=x2 (12 2) t 6】=x212 t - 10 )=x 2(2t - 5)l + 2

15、 )= x 22 x + 2 5 丫 x +1 + 2)r 2 r1)x2 x + 5 x x + 2I x )Vx)G x2 5 x + 2=(x +1)2(2 x 1)( x 2)(2 + 2 x +1)(2 ) x 4 一 4 x 3 + x 2 + 4 x + 1.-,41、解：原式=x2 (x2 4 x +1 + + ) = x2x x 2设x-L = y，贝Ix2 +上=y2 + 2xx 2r , 1)4r 1)x2 +x+1Vx2)V x)原式=x 2( y2 4 y + 3) = x 2( y 1)( y 3)=x 2( x 1)( x 3) = C 2 x 1)( 2 3 x

16、 1) xx六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1 ） x3 3x2 + 4解法1拆项。解法2添项。原式=x3 +1 一 3x2 + 3=(x + 1)( x 2 x +1) 3( x +1)( x 1)=(x +1)( x 2 x +1 3 x + 3)=(x +1)( x 2 4 x + 4)原式=x3 3 x2 4 x + 4 x + 4= x (x 2 3 x 4) + (4 x + 4)=x( x +1)( x 一 4) + 4( x +1)=(x +1)( x 2 4 x + 4)=(x +1)( x 2)2=(x +1)( x 2)2(2 ) x9 + x6 + x3 3解

17、：原式=(x 9 1) + (x6 1) + (x3 1)=(x 3 1)( x 6 + x 3 + 1) + ( x 3 1)( x 3 + 1) + ( x 3 1)I x 人 x )=(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X 1)( X 2 + X + 1)( X 6 + 2 X 3 + 3)七、待定系数法。例 16、分解因式 X2 + Xy 6 y2 + x +13 y 6分析：原式的前3项X2 + xy 6y2可以分为(x + 3y)(X 2y)，则原多项式必定可分为(X + 3y + m)(X 一 2y + n)解：设 X 2 + xy 6

18、y 2 + x +13 y 6 = ( x + 3 y + m)( x 一 2 y + n)( x + 3 y + m)( x 一 2 y + n) = x 2 + xy 6 y 2 + (m + n) X + (3n 2m) y mnx 2 + xy 6 y 2 + x +13 y 6 = x 2 + xy 6 y 2 + (m + n) x + (3n 2m) y mn对比左右两边相同项的系数可得3n 2m = 13，解得m = 2mn = 6.原式=(X + 3 y 2)( x 2 y + 3)例17、( 1 )当m为何值时，多项式X2 y2 + mx + 5y 6能分解因式，并分解此多

19、项式。(2)如果 X 3+ax 2 + bx + 8有两个因式为X +1和X + 2，求a + b的值。(1 )分析：前两项可以分解为(x + y)( x y)，故此多项式分解的形式必为(X + y + a)(X 一 y + b)解：设 X2 y 2 + mx + 5y 6 = (x + y + a)(X 一 y + b)a)(x 一 y + b)比较对应的系数可得：b a = 5，解得： ab = 6a = 2b=3m = 1贝 1x 2 y 2 + mx + 5 y 6 = x 2 y 2 + (a + b) x + (b a) y + ab.当m = 1时，原多项式可以分解；当 m =

20、1 时，原式=(x + y - 2)3 - y + 3);当 m = -1 时，原式=(x + y + 2)(x - y - 3)(2)分析： x 3 + ax 2 + bx + 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因 式必为形如x + c的一次二项式。解：设 x 3+ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)贝 |x 3+ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 +3c) x + 2ca = 3 + c a = 7.b = 2 + 3c 解得(b = 14，2c = 8|c = 4 a + b =21经验之

21、谈：.因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式.如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式.如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法.如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法.因式分解要注意的几个问题：每个因式分解到不能再分为止.相同因式写成乘方的形式.因式分解的结果不要中括号.如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数.因

22、式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面.巩固强化（ 2012双柏县学业水平模拟考试）分解因式：X2-9=.2（ 2012年山东泰安模拟）因式分解：9粗一工= 如果ax = 2，ay = 3， 则 a 2 X+3 y = .（柳州市2012年中考数学模拟试题）分解因式2x2-4xy +2y2=.（ 2012广西贵港）因式分解：xy3 - 4xy=.（ 2012年浙江省杭州市一模）分解因式a3 - 6a2 + 9a =。（ 2012年浙江省金华市一模）分解因式：xy2 - x=.7.（2012年上海金山区中考模拟）分解因式：x2-xy =8 .（2011年上海市浦东新区中考预测）分解因式x3-9x =