《动力系统初步》教学大纲

1、 动力系统初步教学大纲前言动力系统初步课程是大学数学与应用数学专业高等教育的专业选修课程。动力系统的理论始于Poincare对数学中微分方程的理论研究，它主要研究微分方程解的性态及其结构。随着学科的发展，从物理学及其他各门自然科学、技术科学的实际问题中也相继产生动力系统的模型，动力系统已经成为纯粹数学的许多分支之一，是自然科学各部门及工程领域之间的一个重要的桥梁。设置本课程的目的是要求学生基本能够系统地理解、掌握动力系统的基本概念、基本理论和方法。为进一步学习动力系统理论打下基础。学习本课程的要求是：学习者应掌握动力系统的基本理论、概念和方法。先修课程要求：数学分析、线性代数、常微分方程、点集

2、拓扑学本课程计划40学时，2学分。选用教材：张锦炎，钱敏，微分动力系统导引，北京大学出版社，2000年。教学手段：课堂讲授为主，习题课、课外辅导为辅考核方法：考查教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学方法备注14第一章基本知识古典微分方程的一些结论；线性系统；讲课24微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价；第二章拓扑动力系统简介拓扑动力系统讲课34非游荡点集；动力系统的极小性；讲课44拓扑传递性；拓扑混合性；讲课+讨论54第三章结构稳定性与双曲性的初步讨论结构稳定性的概念；圆周上微分同胚的结构稳定性；讲课64环面上的微分方程的结构稳定性；环面上的双曲线性自同构的结构稳定性讲课74Smale马蹄定理

3、及其结构稳定性；讲课84第四章Hartman定理与稳定流形定理双曲奇点与双曲不动点；Hartman定理讲课94双曲不动点的稳定流形定理；讲课104双曲闭轨；复习。讲课+习题第一章基本知识一、学习目的通过本章的学习，理解常微分方程中与动力系统有关的重要结论，掌握双曲线性系统的有关性质，掌握微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价等有关概念。本章计划6学时。二、课程内容1古典常微分方程中的一些结论重要概念：常微分方程解的存在唯一性、稳定性；2线性系统重要概念：指数映射，线性向量场的双曲性及其分解定理；基本理论：双曲线性映射理论；3微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价基本理论：动力系统的概念，动力系统的拓扑共轭

4、与拓扑等价；三、重点、难点提示和教学手段（一）微分方程解的存在唯一性与稳定性；（二）双曲线性映射理论；（三）动力系统的有关概念；四、思考与练习双曲线性映射的分类？第二章拓扑动力系统简介一、学习目的理解拓扑动力系统的非游荡点集、极小性、传递性、混合性等基本概念，以及有关性质和结论。本章计划10学时。二、课程内容1拓扑动力系统基本理论：拓扑动力系统，符号动力系统，环面自同构，转移矩阵；2非游荡点集基本理论：周期点，不动点，极限集，非游荡集，不变集；3动力系统的极小性基本理论：极小动力系统、判定及其有关的性质；4拓扑传递性基本理论：拓扑传递映射性质及其判定；5拓扑混合性（2学时）基本理论：拓扑混合映

5、射性质及其判定；三、重点、难点提示和教学手段（一）非游荡集及其性质；（二）极小动力系统及其性质；（三）拓扑传递性、混合性理论。四、思考与练习1拓扑传递与拓扑混合之间的区别与联系？2用本章知识讨论符号动力系统的性质。第三章 结构稳定性与双曲性的初步讨论一、学习目的理解动力系统结构稳定性的概念、圆周上的微分同胚的结构稳定性、Smale马蹄定理与Smale马蹄的结构稳定性。了解环面上的动力系统的结构稳定性。本章计划学时12学时。二、课程内容1结构稳定性的概念基本理论：动力系统结构稳定性的概念；2圆周上的微分同胚的结构稳定性基本理论：圆周映射及其有关概念，环面上微分同胚的结构稳定性理论；3环面上的微分

6、方程的结构稳定性基本理论：旋转数，环面上微分方程的基本性质；4环面上的双曲线性自同构的结构稳定性基本理论：同调方程，环面上双曲线性映射的基本性质及其结构稳定性；5 Smale马蹄定理及Smale马蹄的结构稳定性基本理论：Conley-Moser条件，Smale马蹄定理，Henon映射，不变集的双曲结构，马蹄映射的结构稳定性；三、重点、难点提示和教学手段（一）圆周映射及其有关性质；（二）环面上的双曲线性映射；（三）马蹄映射，Henon映射，Conley-Moser条件；四、思考与练习1环面映射的双曲性、稳定性如何判定？2马蹄映射的不变集为什么是Cantor集？第四章Hartman定理与稳定流形定

7、理一、学习目的理解Hartman定理与双曲不动点的稳定流形定理。了解双曲闭轨的有关性质。本章计划12学时。二、课程内容1双曲奇点与双曲不动点基本理论：双曲奇点与双曲不动点概念，动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的性质；2Hartman定理基本理论：动力系统与其线性系统等价理论，Hartman-Grobman定理；3双曲不动点的稳定流形定理基本理论：动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的局部稳定、不稳定流形的建立；4双曲闭轨基本理论：管状流，双曲闭轨，结构稳定性，局部稳定、不稳定流形；三、重点、难点提示和教学手段（一）动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的线性化；（二）双曲奇点或双曲不动点、双曲闭轨的稳定、不稳定流形定理；四、思考与练习1Hartman-Grobman线性化定理的应用？2如何将双曲闭轨有关问题转化为双曲不动点的问题？阅读书目1张筑生，微分动力系统