浅谈微积分学在中学数学教学中的应用

1、-. z.- - - z -题 目 浅谈微积分学在中学数学教学中的应用 学生 何凯茜 * 1109014004 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业数教1101班 指导教师 权双燕 完成地点 理工学院 2015 年6 月 12 日浅谈微积分学在中学数学教学中的应用：何凯茜理工学院 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 数教1101班, 723000指导教师：权双燕摘要微积分学在中学数学中扮演着非常重要的角色,其理论贯穿初等数学,并且延伸至高等数学.在遇到初等数学难以解决的问题时,微积分会是一件十分称手的兵刃.本文归纳总结了微积分在函数极值与最值、函数单调性、不等式与

2、恒等式的证明、绘制函数图像、求平面图形的面积以及求切线方程等方面的应用.关键词初等数学;高等数学;导数;定积分引言我国从1961年将微积分的初步知识纳入我国中学数学中,微积分是高中数学课本中新增加的容,也是大学数学的重要根底课程,容包括导数和积分两个重要的概念以及它们的应用.在高中阶段开设微积分的根底容,是高中教育与开展的要求1.初等数学是高等数学的根底,二者有着本质的联系,将高等数学的知识用于解决初等数学中遇到的问题,不仅可以使学生了解初等数学与高等数学的在联系,更能加深学生对于系统知识的串联.一些用初等数学知识解答起来特别难,特别复杂的题目,应用微积分知识后,大大的简化了解答问题的步骤,使

3、得学生学习与解题效率大大增加,同时也提高了教师的成就感,使得教师可以更有效的投入到教学工作中.文章将通过具体例题来论述微积分学在高中数学中的重要作用和应用2.数学可以更好的帮助人们探求客观世界的规律,并对现代社会量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断,同时为人们交流信息提供了一种有效、简洁的手段.数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值.3这无论是在根底教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的的所在.1初等数学与高等数学的联系高等数学是初等数学的延伸和开展,而初等数学却是高等数学的根底.从学习之初我们就知道,所有的知识都要从简到繁

4、,由低级到高级,所以我们应该是先学习和掌握初等数学,然后才能学习和应用高等数学.反之,在学习过高等数学的知识以后,我们再回过头来,回忆高中阶段遇到的对于当时难以解决的问题,就像是站在一处高地上,俯瞰四周广阔的平原一般,所有关系,所有性质,尽收眼底.例如在中学数学中恒等式的证明以及恒等变形过程十分繁杂,一不留神就会出错.如果题目再复杂一些,就更困难.使用微积分的知识,可以防止繁杂的工作.微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据4-5.再例如在初等数学中,我们经常用的一些定理、公理在课本里面都没有给出证明,只用其结论.而这些定理在高等数学中,利用微积分等知识就可以进展推理了.例如：祖恒定理

5、的证明.祖恒定理：夹在两个平行的平面之间的两个几何体,被平行与这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个平面的面积总相等,则这两个几何体的体积相等.我们可以用微积分的方法解决那些用其他数学方法难于处理的许多问题.高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进展应用,事实上,它无法用高中数学知识证明,而在高等数学中,用微积分的理论就可以很容易地给出它的理论证明.本文用微积分知识直接来处理初等数学中遇到的一些问题,目的是使初等数学难以解决的问题的步骤更加简洁3.2导数在中学数学解题中的应用导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用要求学生通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率,

6、通过理解导数概念,体会导数的思想及其涵;了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下根底3.微分在中学数学解题中的应用主要由导数的应用来表达.2.1用导数判断函数的单调性中学数学探讨函数的单调性时使用的是定义法1：函数,在*区间取,假设有,则函数在这一区间呈单调递增;假设有,则函数在这一区间呈单调递减.虽然定义法简单易懂,但如果函数表达式变得复杂一些,该方法就不再适用.此时运用微积分的方法进展判别,只需给求导,然后根据导函数值的正负,就可以很直观的判断原函数的单调性了6.例1 函数,求函数单调性.解 函数的定义域为,对函数求导令,得舍,.当表

7、1.1 函数随增减状况减极小值增所以函数在存在最小值,即;当,单调递减,其取值围是;当,单调递增,取值围是.2.2利用导数求函数极值、最值一般地,设函数在及其附近有定义11假设对于附近的点,都有,则是函数的一个极小值2假设对于附近的点,都有,则是函数的一个极大值极大值与极小值统称极值.例2 函数,其中.1假设函数存在零点,数的取值围.2当时,求函数的单调区间;并确定此时是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.解1因为函数存在零点,则有实根,则或者2当时,函数定义域为由,则或者;由,则或者;表2.1 函数随增减状况增极大值减极小值增所以在,上单调递增,在上单调递减.又知当并

8、趋近于时,;并趋近于时,;而,所以存在最小值.2.3导数在不等式的证明中的应用证明不等式的方法有很多,没有哪一个是固定解法,常用的方法有恒等变形和数学归纳法,缺点是这些方法操作复杂,运算量较大.此时选择运用微积分知识,将不等式问题转化为函数问题,套用单调性和最值进展解答会简单的多7-8.例3 设是自然对数的底,是圆周率,求证：.证明 因为函数单调递增,故等价于,即.即,令,则.因此,当时,于是在单调递减,从而,即,原命题得证.2.4导数在组合恒等式中的应用例4证明组合恒等式.证明 显然恒等式左边可以写成,与比照,则现在将二项式定理两侧同乘后再求导数,变形为两边再同乘后求导得令,即得在此证明结果

9、中,最后假设对取不同的值,可推得假设干种不同形式的组合数恒等式.例如,取或,则可分别获得通过以上例题,可以明显看到利用导数证明组合数恒等式,不仅思路清晰、简单明了,而且模式比拟固定,易被学生掌握,可使众多看起来复杂的一些组合数恒等式的证明问题迎刃而解9-10.2.5求曲线的切线几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上*一点的直线.更准确地说,当切线经过曲线上的*点即切点时,切线的方向与曲线上该点的方向是一样的,此时,切线在切点附近的局部最接近曲线在切点附近的局部无限逼近思想.但是在复杂的曲线中,作图都是一件困难的事情,单凭定义找出曲线的切线更是难上加难.这个时候微积分就变成了救世主11.例5 求

10、曲线上点处的切线过程.解 首先求出函数在处的导数,函数是函数与的差,由导数公式表分别得出根据函数差的求导法则可得将代入导函数得,即曲线上点处的切线斜率为4,从而其切线方程为2.6讨论数列最大项 例6 数列的通项求数列的最大项.解 作辅助函数,则.令,则;令,则或者.在区间上是增函数,在区间上是减函数.因此,当时,函数取最大值.对,所以数列的最大项为.2.7利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等高中课本引入导数时,是以速度变化率和人服用退烧药后体温变化为例的.对于导数的物理意义并有人给予统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义.例如,匀速直线运动路程函数对时间的导数就是速度;

11、瞬时速度对时间的导数就是加速度;通过导体*截面的电量对时间的导数就是电流强度.下面我们看一个具体的例题. 例7 物体的运动规律为米,求这个物体在秒时的速度. 解 由导数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将代入上式,得.3定积分在中学数学解题中的应用定积分是新课标中新加的容,需要掌握的容如下：1通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的根本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下根底;2通过实例,直观了解微积分根本定理的含义;3了解微积分的文化价值3定积分在实践中具有广泛的应用.所以在学以致用的前提下教学,更能够激发学

12、生的学习欲望.3.1利用定积分求曲边图形面积初等数学阶段要求计算的曲边图形面积一般都是由两条或三条函数图像构成的,之前所学习的函数的解法放在这里根本起不到什么作用,所以在计算时我们可以运用定积分的方法来进展运算.其根本理论如下12：1如果函数和在上可积,并且满足则介于直线和曲线之间的图形面积可以表示为定积分：2如果函数和在上可积,并且满足则介于直线和曲线之间的图形面积可以表示为定积分：3正确写出曲边图形所对应的正确积分表达式是重难点,因为积分值可正可负,但是图形面积却一定是正值.因此,一定要遵守一条重要理论,就是一边恒在一边上,要么是作积分变量,要么是作积分变量.即：当作为积分变量时,当作为积

13、分变量时,具体步骤：第一步,画出图形;第二步,确定曲边图形围,通过解方程组求出交点横坐标,定出积分上、下极限;第三步,确定被积函数,特别要注意区别被积函数的上、下位置,牢记一边恒在一边上;第四步,写出曲边图形面积的积分表达式;第五步,运用积分根本公式来计算定积分,求出曲边图形的面积例8 求抛物线与直线所围成图形的面积.解 第一步：画图,如图3.1图3.1 两函数相交所构成的图像第二步：求交点：将与联立,解得交点为第三步：写积分：由图像可知,假设以作为积分变量,则在整个积分区间上曲边图形各边不是都满足一边恒在一边上.因此,选取以作为积分变量,在上,恒有,则直线与曲线所围成的图形如图面积：第四步：

14、算面积：直线与曲线所围成曲边图形的面积如上图所示：另解：假设以作为积分变量,在整个积分区间上虽然图形的边不都满足一边恒在一边上,但是,结合图像,我们可以对以作为积分变量的积分区间进展拆分：和,则有：在上,恒有,则直线与曲线所围成的曲边图形面积：在上,恒有,则直线与曲线、所围成的曲边图形面积：因此得曲边图形面积：根据根本理论,为了满足不等关系一边恒在一边上,适中选取积分变量,会使得计算变的简洁;不过拆分区间,然后分块检验一边恒在一边上,分区间求解也是行的通的4-6.3.2定积分在不等式证明中的应用例9假设,求证：证明 不等式链的左边是通项为的数列的前项之和,右边通项为的数列的前项之和,中间的可当

15、作是*数列的前项的和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.构造函数因为,作的图像图3.2,由图知图3.2 函数图像在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,即而,故不等式成立,从而所证不等式成立.3.3定积分在因式分解中的应用定积分在因式分解中的步骤为：第一步,构造函数.一般讲被分解因式中的*一个字母看作变量,其它字母看作常量;第二步,根据构造的函数进展求导,确定导函数与原函数存在公因式;第三步,将构造函数写成定积分的方式求解13.例10 分解因式：解 将作为变量,作为常量,构造函数,得,对求导,有当时,与有公因式.故可以利用

16、定积分进展因式分解：即：4微积分在函数作图中的应用中学课本中介绍绘制函数图像时大多采用的是描点作图的方法,但是描点法作图时存在很多缺乏之处.譬如描点数量少会导致函数图像走势不准确,对于关键点的判断也不准确.学习了导数及其应用后,作图时能够精准地表达出图像的极值点和增减性,使得函数图像更准确14.例11 函数的图像正确形状是图4.1,用描点法作图得到的是图4.2这样的错误图像. 图4.1 正确图像图4.2错误图像5 小结通过总结了微积分在中学数学中的这些应用,可以看出如果用初等数学的知识解决*些特殊问题的话,不免会繁琐无比,但只要巧妙得把高等数学中的思想和方法应用到初等数学中就会产生奇妙的结果,

17、一些题目的本来繁杂的思考计算步骤就可以省略掉,变得既简单又明了. 数学是一门学问,其中高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系,微积分则扮演着重要的角色,它不但能解决初等数学中的诸多问题,而且成为高等数学开展的根底.用微积分的知识解决初等数学中的问题,有居高临下的作用.微积分在初等数学中的应用远不止这些,在其他方面也有广泛的应用.微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的局部,它对中学数学有重要的指导作用.参考文献1士键，王尚志,普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2M.人民教育课程教材研究所.：师大学.2009.2霞,微积分与中学数学的关联M.师大学教育硕士专业学位论文.2012.0

18、3.3高中数学课程标准J.2000.6:前言4党光,对高中数学微积分的理解及教学建议J.教学实践.2012.2(4):71-725王金梅,数学史在高中数学教学中的应用研究M.大学硕士学位论文.2011.6蔚,舒江,浅谈微积分在中学数学解题中的应用J.数理化教学研究.2007.5(3)：647王茜,微积分在高考数学试题中的应用J.中学数学.2013.3(6):11-128匡继昌,如何给中学生教授微积分J.数学通报.2006.5(2):3-59俞,高中新课标函数与微积分有关容的处理研究课程教材、教法J.课程教材教法,2010.1(30):60-62.10郭延庆,微积分在中学数学中的指导作用J.*教

19、育学院学报.1989.1(8):89-91.11于素洁,高中微积分教学研究J.2008:16-22.12陆群峰,导数在中学数学中的应用J.学科教学.2008.3(1):10213White, P&Mitchelmore, M.1996, Conceptual knowledge introductory calculus. Journal for Reseacrh in Mathmatics Education,2001.2(27):79-95.14Boarn, E&Avital, S 1986. Rate of change over interval as a ProPerty of functions an algebraic and numerical approach. International Jounral of Mathmatics education in Science&Technology,1993. 17 (1):71-77.Introductiontotheapplicationofthecalculus in mathematics teaching of middle sc