2022年一注结构基础考试笔记演示教学

1、此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 上午篇：一、高等数学共 24 题1.1 函数与极限1、数列极限的定义,xn-a ,记作 limx n=a；2、数列极限的性质1）数列收敛,就极限唯独；2）数列收敛就有界,无界就发散；3）数列与极限同号 保号性；4）数列收敛于 a,就其子数列也收敛于 的；特例是 1 、-1、1、-1、-1n+1；a；5）有界肯定收敛,发散肯定无界都是错3、函数极限的定义,fx-A ； fx 在点 x0有无极限与 fx 在点 x0有无定义无关；fx 在点 x0 极限存在的充要条件是左右极限存在且相等；4、函数极限的性质1）极限如存在,就唯独；2）假如极限为A,就必有 fx

2、 M局部有界性 ；3）函数与极限同号 保号性 ；4）假如极限 limfx 存在,x n 为 fx 定义域收敛于 x0 的数列,就fx n必收敛,且 limfx n= limfx ；5、无穷小与无穷大1）极限为 0 是无穷小；fx M 是无穷大；无穷小与无穷大互为倒数；2）无穷小的运算,有限个无穷小的和、积为无穷小；常数与无穷小的积为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小；6、极限的运算法就, 1）函数数列和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；2）limcfx=c.limfx ；3）limfx n= limfx n；4）limfx=a ,limgx=b ,假如 limfx limgx ,就

3、 ab；5）复合函数, limgx=u 0,limfu=A ,u=gx,就 lim xx0fgx=lim uu0fu=A ；7、极限存在准就,两个重要极限1）夹逼定理, gxfx hx,假如 limgx=limhx=A ,就 limfx=A ；数列极限也有同性；2）lim x0sinx/x=1；limxsinx/x=0 ；lim x0cosx=1；lim x0log a1+x/x=1/lna ；3）单调有界数列必有极限；limx1+1/n n+1=e；lim x1+1/1+n n=e；4）lim x1+1/x x=e；lim x01+x 1/x=e；lim x1-1/x x =1/e；lim

4、x0a x-1/x=lna；8、无穷小的比较lim / =m,m=0, 是 的高阶无穷小；m=, 是 的低阶无穷小；m=c 0, 是 的同阶无穷小； m=1, 是 的等价无穷小；lim /k=c 0, 是 的 k 阶无穷小；9、近视运算的等价代换（只适用于乘除运算,忌用加减）sinxx；tanxx；arcsinxx；arctanxx；1-cosx1/2x2；ln1+xx ；ex-1x；1+x1/n-11/nx；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除1+x2 1/n-11/nx2；10、函数连续性与间断点1）连续的定义, limfx 0+ x- fx 0=0；另一种表达是 lim

5、fx= fx 0；连续 极限；2）间断点的三种情形, fx 在点 x0 没有意义；在 x0 有定义,但极限不存在；在 x0有定义,极限存在,但 limfx fx 0；3）无穷间断点；振荡间断点；可去间断点 一类间断点,剩余的为其次类间断点；11、连续函数的运算与初等函数的连续性上述第种情形 ；跳动间断点；极限存在属第1）如 gx、fx 在点 x0连续,就它们的和、差、积、商在点 x0连续；2）fx在区间 Ix 上单调连续变化,就其反函数 f-1y在相应区间 Iy 上单调连续变化；3）复合函数, lim xx0fgx=lim uu0fu=fu 0,条件： lim xx0gx=u0,fx 在 u0

6、 连续；或可表述为 lim xx0fgx=flim xx0gx ；4）gx在 x0 连续,且 gx0=u0,fx 在 u0 连续,就复合函数 5）初等函数在定义域内都是连续的；12、闭区间上连续函数的性质 1）有界与最值,在闭区间上连续函数有界,就肯定有最值；fgx 在 x0 连续；2）零点定理,fx 在闭区间 a,b连续,且 fa.fb0,就在开区间 a,b至少有一点使 f =0；3）介值定理, fx 在a,b连续,且 fa=A ,fb=B,就在 a,b至少有点 f =CA CB；13、多元函数的极限与连续性；1.2 导数与微分1、导数的定义 f x0=lim x0fx 0+ x- fx 0

7、/ x；或 f x0=lim xx0fx- fx 0/ x- x 0；2、常用导数求解,C =0；xu =uxu-1；sinx =cosx；cosx =-sinx；tanx =sec2x；cotx =-csc2x；secx = secx.tanx；cscx =-cscx.cotx；ax =axlna；ex =ex；logax =1/xlna；lnx =1/x；arcsinx =1/1-x 2；arccosx =-1/1-x 2；arctanx =1/ 1+x 2；arccotx =-1/ 1+x 2 3、导数的几何意义,表示 fx 在点 x0, fx0处切线的斜率；单侧导数；切线方程： y-y

8、 0=f x0.x-x0；法线方程： y-y 0=-1/f x0.x-x 0；4、可导 连续； 可导函数必是连续的,连续就不肯定可导（折线变化的函数）；5、求导法就, u v = u v ；u.v = u .v+ u.v ；u/v = u .v-u.v /v 2；cu =c.u ；反函数求导, f-1x = 1/f y；复合函数求导；6、高阶导数,常用的有 e x n= e x； sinxn=sinx+n. /2 ； cosx n=cosx+n. /2 ；ln1+xn=-1n-1n-1./1+xn；0.=1；xnn=n.；xnn+1=0；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除

9、7、隐函数求导,注 意 y 是关于x 的函数 y=yx,dy/dx=-F x/Fy； z/ x=-Fx/Fz； z/ y=-Fy/Fz；参数函数求导, x、 y 对 t 求导；8、微分的定义, y= fx 0+ x- fx 0=A. x+0 x,既 dy=A. x；9、微分的几何意义,表示 fx 在切线上点的纵坐标的相应增量；10、微分的运算,与导数对应；11、微分的中值定理与函数的性态 1）费马定理,如 fx 在a,b内有一点 x0取最值（极值）,就 f x0=0；2）罗尔定理,如 fx 在a,b上连续,在 a,b内可导且 fa=fb ,就必有一点使 f =0；3）拉格拉日中值定理,如 fx

10、 在a,b上连续,在a,b内可导,就必有点 f =fb-fa/b-a ；4）如在区间 f x=0,就 fx=C （常数）；5）柯西中值定理, fx 、gx在a,b上连续,在 a,b内可导,就至少有一点使得 fb-fa/ gb-ga=f /g ；12、洛必达法就,解决 0/0,/型求极限问题； lim xafx/gx=lim xaf x/g x ；使用 条件是 g x 0,lim xaf x/g x 存在或无穷大；其他求极限的方法：对数极限法,可将00、0、1转化为 0.型,从而再变为0/0, /型,利用洛必达法就求解； “ -” 型可用通分化商求解；13、函数的单调区间与极值 1）fx 在a,

11、b上连续 ,在a,b内可导 ,就 f x0,fx 单增；f x0,fx 单减；f x=0 为驻点；2）fx连续,在除 x 0 点外可导,就可通过x0 左右两侧 f x的符号判定 x0 是极大值、微小值；f x不变号,就 x0 不是极值点； 极值点必是驻点；导数不存在的点也可能是极值点；3）fx在 x0点二阶可导,且 f x0=0,f ”x0 0,就 f ”x00,x0 为极大值； f ”x00,x0 为微小值；极值与最值的区分：极值用坐标点表示,最值是一个单纯的数字；14、曲线的凹凸性与拐点1）fx 在a,b上连续,如有 fx 1+x2/2fx 1+ fx 2/2,或 f ”x0,就 fx 在

12、a,b是凹曲 线；如有 fx 1+x2/2fx 1+ fx 2/2,或 f ”x0,就 fx 在a,b是凸曲线；2）fx在a,b上连续,如在 C 点 f ”c符号相反,就 C 点为拐点；拐点可以是不行导点,反应曲线凹凸变化的转折点；15、偏导数,高级导数1）对于多元函数,各偏导数在某点都存在 2）拉普拉斯方程；也不能保证 函数在该点连续；3）二级偏导数连续,2z/ x y=2z/ y x；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除16、全微分, dz= z/ x.dx + z/ y.dy；全微分存在各偏导数存在；17、方向导数, f/ L x0,y0=fx.x 0,y0cos +f

13、y.x 0,y0cos , fx,fy 为偏导数,方向余弦, cos ,cos ,为非零向量与坐标轴夹角的余弦；18、多元函数微分的几何应用 1）曲线的切线与法平面 给定曲线参数方程 x= t,y= t,z= t ,cos2 +cos2 +cos2 =1；切线方程： x-x 0/ t0=y-y 0/ t0 =z-z0/ t0,t= t0,对应点 x0,y0,z0；法平面方程： t0.x-x 0+ t0.y-y 0+ t0.z-z0=0；2）曲面的切平面与法线 给定曲面的隐式方程 Fx,y,z=0,切平面方程： Fxx0,y0,z0 x-x 0+Fyx0,y0,z0y-y0+Fzx0,y0,z0

14、z-z0=0,法线方程： x-x 0/ Fxx0,y0,z0=y-y 0/Fyx0,y0,z0=z-z0/Fzx 0,y0,z0；1.3 不定积分与定积分 1、不定积分的概念与性质1）原函数加常数项称为导函数的不定积分,fxdx=Fx+C ；积分运算与微分是互逆的,dcosx=-sinxdx, dcosx=cosx+C；2）性质：fx+gxdx= fxdx+ gxdx； kfxdx=k fxdx ；2、换元积分法 1）凑微分法,f x xdx=F x+C= fudu ,u= x；常用的三角函数公式：倒数关系： tan cot =1；sin csc =1；cos sec =1 商的关系： sin

15、 /cos =sec/csc=tan ；cos/sin =csc/sec=cot；平方关系： sin 2+cos2=1；1+tan 2=sec2；1+cot2=csc2；两角和公式： sinA+B=sinAcosB+cosAsinB ；sinA-B=sinAcosB-sinBcosA ；cosA+B=cosAcosB-sinAsinB ；cosA-B=cosAcosB+sinAsinB；tanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB ；tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB ；cotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotA ；cotA-B=cotAcotB+1/

16、cotB-cotA ；倍角公式： tan2A=2tanA/1-tanA2 ；sin2A=2sinA cosA；cos2a=cosa2-sina2=2cosa2 -1=1-2sina2；半角公式： 1-cosA=2sinA/22 ；1+cosA=2cosA/22；1-cosA/1+cosA=tanA/22 ；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除1+cosA/1-cosA=cotA/22 ；tanA/2=cscA-cotA ；和差化积： 2sinAcosB=sinA+B+sinA-B ；2cosAsinB=sinA+B-sinA-B ；2cosAcosB=cosA+B-sinA-

17、B ；-2sinAsinB=cosA+B-cosA-B ；sinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2 ；cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2 ；tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB ；万能公式： sin =2tan /2/1+tan /22；cos =1-tan /22/1+tan /22 ；tan =2tan /2/1-tan /22；2）其次类换元法 , fxdx= f t tdt,设 x 为 t 的函数 ,求得结果后将 t 换算成 x 回带 ；3、分部积分法,udv=uv- vdu；u、v 的选取要适当,便利求解；4、有理函数积分,将有理分式化

18、为和的形式,分别积分；可化为有理函数的积分；5、定积分,表示围区面积 A=abfxdx ；a=b时,abfxdx=0；ab 时,abfxdx=- bafxdx ；6、定积分性质, 1）abfx gxdx= abfxdx abgxdx；2）abkfxdx=k abfxdx ；3）abfxdx= acfxdx+ cbfxdx ,acb；4）ab1dx=b-a；5）fx0,abfxdx 0；fx gx,abfxdx abgxdx； abfxdx ab fx dx；6）mb-aabfxdx Mb-a,m、M 分别为最小值和最大值；7）中值定理, fx 在a,b上连续,就至少存在一点使得abfxdx=f

19、 b-a；7、牛顿莱布尼兹公式,abfxdx=Fx ab= FbFa；8、定积分换元法,abfxdx= f t tdt,不需反代,直接运算；9、偶函数-a afxdx=2 0 afxdx ,奇函数-a afxdx=0,条件是连续函数；10、0 /2fsinxdx= 0 /2fcosxdx；0 xfsinxdx= /2 0 fsinxdx ；11、定积分分部积分法,a budv=uv a ba bvdu；12、定积分的应用1）求曲线 y=fx 与曲线 y=gx围成的平面图形面积, A=abfx- gxdx ,a,b 为 x 的取值范畴,对应 y 函数由上减下；当对 y 积分有利时,可换成 x 的

20、函数对 dy 积分；极坐标求法,曲线 = , 变化范畴 , ,A= 1/2 2d ；2）求曲线 y=fx 绕 x 轴旋转体体积, v=ab fx 2dx ；3）求平面曲线弧长,直角坐标弧长 x=x ,y=fx ,s=ab1+y2 dx；参数方程弧长, x= t,y= t ,s= 2t+ 2 tdt ；极坐标弧长 = ,x= cos ,y= sin ,s= 2 + 2 d ；13、重积分,二重积分表示以积分区域D平面为底,曲面 z=fx,y 为顶的柱体体积；1）二重积分性质, DAfx,y+Bgx,yd =A Dfx,yd +B Dgx,yd ；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站

21、删除可加性, Dfx,yd = D1fx,yd + D2fx,yd ,D=D 1+D2； D1d =D 的面积； fx,y gx,y, Dfx,yd Dgx,yd ；m Dfx,yd M , m、M 分别为 fx,y 在闭区间 D 上的最小值和最大值；中值定理, Dfx,yd =f , . ；三重积分具有以上类似的性质；2）二重积分运算法,直角坐标法： Dfx,yd =abdx 1 2fx,ydy ,x 从 a 到 b 变化,对应函数 y 从 1到 2 变化,实质转化为定积分的运算；极坐标法： Dfx,ydxdy= Df cos , sin .d d = d 1 2f cos , sin .d

22、 , x= cos ,y= sin ,dxdy= .d d ； 从 到 变化,对应函数 从 1 到 2 变化；3）三重积分表示密度 fx,y,z与质量 M= fx,y,zdv 的关系；三重积分运算,直角坐标： fx,y,zdv=a bdxy1 y2dyz1 z2fx,y,zdz,积分区域 是空间体, xa,b、yy1,y2均属于 在平面 xoy 投影 Dxy,对应 z 的变化为 z1z2；柱面坐标： fx,y,zdxdydz= F , ,z d d dz,F , ,z= f cos , sin ,z； 0,2 ,表示过 z 轴的半平面； 0,+,表示以 z 轴为轴的圆柱面； z-, +,表示与

23、平面 xoy 平行的平面；球面坐标：fx,y,zdxdydz=F , , 2sind dd ,F , =f sincos , sinsin , cos； 0,2 ,表示过 z 轴的半平面； 0, ,表示顶点为原点,以 z 轴为轴的圆锥面； 0,+,表示球心为原点的球面；1.4 曲线积分1、对弧长的曲线积分性质1）L1+L2fx,yds=L1fx,yds+L2fx,yds；2）L Afx,y+Bgx,yds=A Lfx,yds+BLgx,yds；3）fx,y gx,y,Lfx,ydsLgx,yds； Lfx,yds L fx,y ds；2、对弧长的曲线积分运算法,将ds转化为 2t+ 2tdt,

24、实质转化为定积分运算；曲线弧L 的参数方程：x=t,y= t,Lfx,yds= f t, t 2t+ 2tdt； ；特别地, y= x时,Lfx,yds=abfx, x1+ 2xdx；x= y时,Lfx,yds=cdf y,y 1+ 2ydy；对于空间曲线 , x= t,y= t,z= t,就有： fx,y,zds= f t, t, t 2t+ 2t+ 2tdt, ；3、对坐标的曲线积分,具有与对弧长曲线积分类似的性质；积分方向相反就结果相反；必需留意积分弧段的方向,LPx,ydx+Qx,ydy= P t, t t+Q t, t tdt ,x= t,y= t,只供学习沟通用此文档来源于网络,如

25、有侵权请联系网站删除 对应有向曲线弧 L 的起点, 对应 L 的终点, 不肯定小于 ；特别地, y= x时,LPx,ydx+Qx,ydy= abPx, x+Qx, x xdx ；曲线积分的弧线函数 L 与被积函数 fx,y 是代入关系,而重积分运算时的积分区域与被积函数无关,只确定积分的上下限；4、格林公式,将曲线积分转化为二重积分；LPdx+Qdy= D Q/ x- P/ ydxdy,L 是 D的取正向边界曲线；所谓正向是指D 的内测始终在曲线L 的左侧,闭区间 D 由 L 围成；1）面积公式, P=-y,Q=x, D Q/ x- P/ ydxdy=2 DdxdyD 的面积 ,A=1/2Lx

26、dy-ydx ；2）平面曲线积分与路径无关的充要条件,LPdx+Qdy=0 Q/ x= P/ y；1.5 空间解析几何与向量代数1、向量的概念1）向量的相等,平行 特例共线 ,共面；零向量, 负向量；向量的模, 方向角, 方向余弦 ；2）平行定理： a 0,a b b= a, 唯独；3）向量的加减法符合交换律和结合律；乘除法符合结合律和安排律；2、数量积,向量积数量积的运算结果是一个数；向量积的运算结果是一个向量；1）数量积 a.b= a . b cos = a .Prjab= b .Prjba（投影）；Prjba 表示向量 a 在向量 b 的投影；推论 a.a= a2；a.b=0 ab（co

27、s /2=0）；2）数量积运算符合交换律和结合律,安排率；3）数量积坐标表示式 a.b=axbx+ ayby+ azbz；cos =a.b/ a . b =axbx+ ayby+ azbz/ ax 2+ay 2+az 2.bx 2+by 2+bz 2；4）向量 c 的模 c = a . b sin ；推论 a a=0（sin0=0）；a b=0 a b；5）向量积运算符合结合律,安排率,以及 a b=-b a；6）向量积坐标表示式 a b= i j k =aybzazbyi+ azbxaxbzj+axbyaybxk；ax ay azbx by bz （a b 与 a 和 b 都垂直；）3、空间

28、曲面1）球面方程 x-x0 2+y-y0 2+z-z0 2=R 2,（x0,y0,z0）是球心；2）旋转曲面 f= x 2+y 2,z=0（绕 z 轴）；f=y , x 2+z 2=0（绕 y 轴）；圆锥面 z= x2+y 2cot 或 z 2=cot 2x 2+y 2；旋转单、双叶双曲面 x2+y 2/a 2- z 2/c 2=1（绕 z 轴）；x 2/a 2-y 2+z 2/c 2=1（绕 x 轴）；3柱面,只含两个坐标的平面方程,在空间直角坐标系里表示母线平行于另一个坐标轴；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除4）二次曲面（三元二次方程） ,有 9 种；椭圆锥面 x2/

29、a2+y2/b2=z2；椭球面 x2/a2+y2/b2+z2/c2=1；单叶双曲面 x2/a2+y2/b2-z2/c2=1；双叶双曲面 x2/a2-y2/b2-z2/c2=1；椭圆抛物面 x2/a2+y2/b2=z；双曲抛物面 x2/a2-y2/b2=z；椭圆柱面 x2/a2+y2/b2=1；双曲柱面 x2/a2-y2/b2=1；抛物柱面 x2=ay；4、空间曲线（两个曲面的交线）1）一般方程是两个曲面的方程组；参数方程；特例螺旋线；2）空间曲线在坐标面上的投影,消去方程组中某变量,再使该坐标为 0,联立；5、平面1）点法式方程 Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0,原理是数量积 ；法向量

30、n=A,B,C,平面点M 0 x0,y0,z0；三点如何确定一个平面？2）一般方程 三元一次 Ax+By+Cz+D=0 ,有诸多特例： 过原点、平行于坐标轴和坐标平面；3）截距式方程 x/a+y/b+z/c=1,a、b、c 依次在坐标轴上的截距；4）两平面的夹角 cos = A1A 2+ B1B2+C1C2/A 12+ B12+C12.A 22+ B22+ C22；两平面垂直： A 1A 2+ B1B2+C1C2=0；两平面平行或重合： A 1/A 2=B1/B2=C1/C2；6、空间直线1）一般方程是两个平面的方程组；2）参数方程 x-x 0/m=y-y 0/n=z-z0/p=t,方向向量

31、s=m,n,p,直线上一点 x0,y0,z0；3）两直线的夹角 cos = m1m2+ n1n2+p1p2/ m12+ n12+p12.m22+ n22+ p22；两直线垂直： m1m2+ n1n2+p1p2=0；两平面平行或重合： m1/m2=n1/n2=p1/p2；4）直线与平面的夹角,直线方向向量m,n,p,平面法向量 n=A,B,C,sin = Am+Bn+Cp /A2+ B2+C2.m 2+ n 2+ p 2；直线与平面垂直： A/m=B/n=C/p ；直线与平面平行或重合：1.6 无穷级数1、常数项无穷级数,表达式n1Un =u1+u2+ +un+ ,Am+Bn+Cp=0；1）常数

32、项级数的部分和数列 s n ,s1=u1,s2=u1+u2,sn=u1+u2+ +un,如s n 极限存在为和 s,就无穷级数 Un 收敛；如 sn 没有极限,就无穷级数Un 发散；等差数列 1+2+3+ +n=nn+1/2,发散；n/1-q, q 1,收敛； q 1,发散；等比数列 a+aq+aq2+aq 3+ +aq n-1=a1-q 2）收敛级数的性质 如级数 Un 收敛于和 s,就级数 kUn 收敛于和 ks；如级数 Un、Vn 分别收敛于 只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除s、 ,就级数 Un Vn收敛于 s ；增减级数的有限项,不转变级数的收敛性；对级数的项任意

33、加括号,不转变级数的敛散性；但是收敛级数去掉括号就可能转变性状；如级数 Un 收敛它的一般项 通式 极限 lim nun=0；lim nun 0级数 Un 发散；特例： 调和级数 1+1/2+1/3+ +1/n+ , lim nun=0,但发散； 级数 n11/n2收敛；2、常数项级数审敛法1）正项级数 各项均是正数或零 及其审敛法正项级数 Un 收敛 部分和数列 s n 有界；对比常数项级数的定义,定理也成立；比较法,正项级数 Un、Vn,UnVn,Vn 收敛Un 收敛, Un 发散Vn发散； P 级数 1+1/2p+1/3p + +1/np + ,p1,收敛； p1,发散；比较极限法,正项

34、级数Un、 Vn,如 lim nun/vn=a0, Vn 收敛Un 收敛,Vn 发散Un 发散；比值法,正项级数 Un,如 lim nun+1/un=a,a1,收敛； a1 或 ,发散； a=1,不定；根植法,正项级数 Un,lim nun1/n=a,a1,收敛； a1 或,发散； a=1,不定；极限法 ,正项级数 Un,如 lim nnun=a0 或 ,发散；如 p1,lim nnpun=a0,收敛；2）交叉级数及其审敛法如交叉级数 -1 n-1Un 满意条件： unun+1,lim nun=0,就级数收敛；3）确定收敛与条件收敛如级数 Un 收敛,就称级数 Un 确定收敛；如级数 Un 收

35、敛,而Un 发散,就称级数 Un 条件收敛；Un 收敛Un 收敛；两个确定收敛的级数的乘积 柯西乘积也是确定收敛的；3、幂级数（函数项级数） ,表达式 anx n=a0+a1x+ a2x 2 + anx n + ,n 01） anx n,如 x=x0 0 收敛,就 x x0 的 x 使 anx n 确定收敛；如 x=x0 发散,就 x x0 的 x 使 anx n发散；2）如 lim n an+1/ an =a,就收敛半径 R 的值 a 0,R=1/a；a=0,R=+；a=+,R=0；4、泰勒级数, fx0+f x0 x-x0+f x0/2.x-x0 2+ +f nx0/n.x-x 0 n+

36、,当 x=x0 时,为麦克劳林级数； fx 能展成泰勒级数的充要条件是泰勒公式中的余项 Rnx的极限 lim nRnx=0,Rnx=f n+1 /n+1.x-x 0 n+1；1）函数 fx 绽开成幂级数的步骤： 求出 fx 的各级导数； 运算其各级导数在 x=0 的值；写出幂级数 f0+f 0 x+f 0/2.x2+ +fn0/n.xn+ ,并运算出收敛半径 R；运算只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除余项 Rnx在-R, R的极限是否为0,为 0 时即可绽开为fx=f0+f 0 x+f 0/2.x2+fn0/n.xn+ ；2）各种特别函数的绽开式ex=1+x+x2/2.+

37、+xn/n.+ ； sinx=xx3/3.+x5/5. +-1n-1x2n-1/2n-1. ；cosx=1x2/2.+x4/4. + -1nx2n/2n. ；nxn+1/n+1+ ；1/1x=1+x+x2+ +xn+ ； 1/1+x=1x+x2x3+ +-1nxn+ ；1/1+x2=1x2+x4 +-1nx 2n+ ； ln1+x=x x2/2+x3/3 +-15、傅里叶级数, fx=a 0/2+ancos nx+bnsin nx,为三角函数；n11）函数 fx为周期 2 的函数,假如同时满意一个周期内连续或有限个第一类间断点,一个周期内至多只有有限个极值点,就fx 的傅里叶级数收敛,且在fx

38、 的连续点 x0,级数收敛于 fx 0；在 fx 的间断点 x0,级数收敛于 1/2fx 0-+fx 0+；1.7 微分方程,等式中含有未知函数的导数；微分方程的解为函数； 通解：解中含有任意常数 独立,不能合并 的个数与方程阶数相同；1、可分别变量方程, gydy=fxdx ,两端积分求解；2、一阶线性微分方程, dy/dx+Pxy=Qx ,解为对应齐次方程 Qx0通解与非齐次方程一个特解的和；3、可降阶的高阶微分方程,1）y n=fx ,积分求解；2）y=fx, y ,令 y =p,化为 p =fx, p,积分求 p,再积分求解；3）y=fy, y ,令 y =p,化为 p.dp/dy=f

39、y, p,积分求 p,再积分求解；4、常系数线性微分方程；两函数的比值为常数,称之为线性相关,否就就是线性无关；1）二阶常系数齐次方程,y+py +qy=0,解写出特点方程 r2+pr+q=0,求出两根 r1,r2,写出通解,两个不等实根 r1,r2,通解 y=C1e r1x+C2e r2x；一个等实根 r1=r2,通解y=C1+C2e r1x；一对共轭复根 r1,2= i ,通解 y=e axC1cos x+C2sin x；2）二阶线性微分方程解的结构y1x,y2x是二阶齐次方程y+pxy +qxy=0 的两个解,就y=C1y1x+C2y2x也是原方程的解；如 y1x,y2x是线性无关的特解

40、,就y=C1y1x+C 2y2x 是原方程的通解；二阶非齐次方程 y+pxy +qxy=fx ,y*x是其特解, Yx 是对应齐次方程的通解,就 y=Yx+y *x是原方程的通解；二阶非齐次方程 y+pxy+qxy=f1x+f2x,y1*x、y2*x分别是方程 y+pxy+qxy=f1x、只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除y+pxy +qxy=f 2x的特解,就 y1*x+y 2*x是原方程的特解；1.8 概率与数理统计1、大事的关系及运算1）子大事 AB,从属；和大事 AB,并集；差大事 AB,差集；积大事 AB,交集；互斥大事 互不相容 AB ,分别；互逆大事 A B=

41、 ,AB ,；2）大事运算满意交换律,结合律和安排率；2、概率运算, 不行能大事, 必定大事样本空间 ；P =0；P =1；1）互斥大事 PA+B=PA+PB ；独立大事 PAB=PA.PB ；任意大事 PAB=PA+PB PAB；PBA=PB PAB；PA=1PA；AB PBA=PBPA；2）概率 P=n/m,分子 n 表示全部显现的几率数,分母m 表示全部几率存在的范畴总数；Pm n=m.m-1.m-2 m-n+1；Cm n=m.m-1.m-2 m-n+1/n.n-1.n-2 1 ；3、一维随机变量分布,分别散型r 和非离散型 连续型 v 和其它 ；1）设 X 是r.v,概率 Fx=PXx

42、,X-,x,x-,+,称 Fx为 X 的分布函数,Fx0,1；分布函数有 4 个性质 略；重要公式： PaXb=FbFa；PXa=1 Fa；2）连续型随机变量 Fx=-xfxdx ,fx 为 Fx的概率密度；-+fxdx=1 ；3）常见的离散型分布有零 壹分布,二项分布,几何分布,泊松分布；4）常见的连续型分布有匀称分布,指数分布,正态分布： XN ,2,分布函数 Fx= x=x / ,查表求解；如 n 个随机变量 来自一个正态分布样本,就 XN ,1/n.2,统计量 T=X- /s.ntn-1t 分布；4、数字特点 1）期望均值,随机变量取值的中心,连续型 EX= -+xfxdx；离散型 E

43、X=gxkpk；运算：ECX=CEX；EX1+X2=EX1+EX2；如 X 与 Y 独立,就 EXY= EX.EY；零壹分布 EX=P；二项分布 EX=nP；泊松分布 EX= ；指数分布 EX=1/ ；匀称分布 EX=a+b/2 ；正态分布 EX= ；2）方差 反映了随机变量取值的平均分散程度DX=EX2EX2；运算；DC=0；DCX=C 2.DX ；DX+C=DX ；如 X 与 Y 独立,就 DX Y=DX+DY ；二项分布 DX=nP1-P；泊松分布 DX= ；指数分布 DX=1/ 2；正态分布 DX= 2；零 壹分布 DX=P1-P；匀称分布 DX=b-a2/2；5、参数估量只供学习沟通

44、用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 1）正态分布 XN , 2区间估量,置信区间 X- 0/n. 1- /2,X+ 0/n. 1- /2,区间长度为 2 0/n. 1- /2 ；6、假设检验犯第一类错误的概率P= 显著性水平 ；犯其次类错误的概率P= ；7、方差分析 8、一元回来分析 1.9 线性代数 1、行列式 1）行列式的性质, D=D 转置 ；互换其中两行 列D=-D ；其中两行 列完全相同或 成比例 D=0；某一行 列乘以 k,D=kD；某一行 列均为两数之和, D=D 1+D2；某 一行列乘以 k 对应加到另一行 列,值不变；2）行列式的绽开 如行列式 D 某一行除 aij

45、项外均为 0,就 D=aijA ij,代数余子式 A ij=-1i+jM ij；2、矩阵1）矩阵运算规律,加法满意交换律和结合律,A+-A=0 ,A-B=A+-B ；数乘满意安排率；相乘满意结合律和安排率, AB 为 A 的行 B 的列,只有位数相同时才能相乘,AB BA ；2）矩阵转置, A = A； A+B = A + B ；AB = B .A ； A = A ；3）方阵的行列式 A , A = A ； A = nA； AB = A . B ；4）可逆矩阵：如 AB=BA ,就 A 可逆, B=A-1；可逆矩阵 A 0 且 A-1=1/ A .A* ； A-1 =1/ A ；A-1-1=A

46、；A-1=A-1； A-1=1/ A-1；AB-1=B-1.A-1；相伴矩阵 A* 与 A 互换了行列；5）矩阵的秩 RA 为行列向量组的秩 向量组最大线性无关组所含向量的个数 ；6）相像矩阵, n 阶方阵 A 与对角阵 相像A 有 n 个线性无关的特点向量；7）特点值, Ax= x,x 为特点向量, 为特点值；如 x 肯定,就 肯定；求解特点值,令 A E =0；3、线性方程组1）齐次线性方程组有非 0 解的充要条件是其系数行列式A =0；齐次线性方程组的系数矩阵秩 rA=n ,方程组有唯独零解；齐次线性方程组的系数矩阵秩 rAn ,方程组有无数多解；2）非齐次线性方程组有解的必要条件是：系

47、数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,否就直接判为无解；假如 n 个未知量的线性方程组有解时,当rA=n 时有唯独解；当rAn 时有无穷多解；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除4、向量分析二、一般物理共 12 题1.1 热学1、内能平均动能1.2 波动学1、1.3 光学三、一般化学共 12 题1.1 物质结构1.2 溶液1.3 周期表1.4 化学反应方程1.5 氧化仍原反应及电化学1.6 有机化学四、理论力学共 13 题1.1 静力学1、平面力系向一点简化时,可得到一力和一力偶,力的大小方向与主矢相同,力偶矩为主矩；主矩与简化点有关,主矢与简化点无关；1.2 动力学1.3 运动学只供

48、学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 五、材料力学共 15 题1.1 力拉、压、弯、剪、扭 ,1、扭矩,右手法就；1.2 截面特性 1、面积矩 Sz=A i.yi；Sy=A i.zi；形心公式： yc=A i.yi/A i；zc=A i.zi/A i；2、惯性积为 0 的一对坐标轴为主惯性轴；通过截面形心的主惯性轴为形心主惯性轴；3、惯性矩： Iy=Az 2dA；I z=Ay 2dA；常用的几何参数：矩形Iz=bh 3/12；圆 I z= D4/64；惯性积： Izy=AzydA；惯性半径： i z=I z/A；iy= Iy/A ；4、平行移轴公式, Iz= Izc+a 2A；I

49、y= Iyc+b 2A；I zy= I zcyc+abA；1.3 应力状态1、拉、压正应力=N/A ,垂直于截面；纯扭剪应力= ,相切于截面；应变：= l/l= /E=N/EA ；虎克定律：l= Nl/EA ；2、剪应力互等定理 剪力在相互垂直的面上同时存在,数值相等,方向都垂直于这两个面的交线,且都指向或背离该交线；3、三向应力状态1.4 组合变形1.5 压杆稳固1、欧拉公式只适用于较长细的大柔度杆,Pcr=2EI/ l 2；六、流体力学共 12 题1.1 流体的物理性质1.2 流体静力学,动力学1.3 流淌阻力和水头缺失只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除1.4 孔口管嘴

50、出流 有压管道恒定流1.5 明渠恒定匀称流1.6 渗流定律 井和集水廊道1.7 相像原理和量纲分析1.8 流体运动参数 流速流量压强 的测量七、运算机应用基础共 10 题1.1 运算机基础1.2 运算机语言1、进制转换二进制转十进制： 11012=1 20+0 21+1 22+1 23=1310,从右到左乘以 2 的项次 0.；十进制转二进制： 17310=101011012,将除以 2 的余数倒排；二进制转八进制： 11001002=001 100 1002=1 4 48,把表示形式对每三位二进制位进行分组,应当从小数点所在位置分别从右向左划分,如整数部分倍数不是 3 的倍数,可以在最高位前

51、面补如干个 0；对小数部分,当其位数不是的倍数时,在最低位后补如干个 0；然后从左到右把每组的八进制码依次写出,即得转换结果；八进制转十进制：1.3 系统操作八、电工电子技术共 12 题九、工程经济共 10 题只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 下午篇：一、建筑材料共 7 题 1、基本概念与运算 1）实际密度,表观密度（容重） ,积累密度a. 实际密度=材料质量 m/确定密实状态的体积v b. 表观密度0=材料质量 m/自然状态的体积v0 c. 积累密度 0=材料质量 m/积累体积 v 0 2）密实度（ %）,孔隙率,填充率（ %）,间隙率（ %）a. 密实度 D=v/ v

52、0 ,b. 孔隙率 P=（v0- v）/ v0,P+D=1 c. 填充率 D = v0/v 0 d. 间隙率 P =（v 0- v0）/ v 0,P +D =1 3）与水有关的性质,抗渗性（渗透系数） ,耐久性（抗冻性）,a. 耐水性,软化系数01,常常处于严峻潮湿中不宜小于0.85,潮湿较轻不宜小于0.7；大于 0.8 的材料为耐水材料；b. 润湿角 90 为亲水性, 90 为憎水性；c. 吸湿性,含水率 =（总质量 -干质量） /干质量 d. 吸水性,质量吸水率 =水的质量 /干质量；体积吸水率 =水的体积 /干体积 4）导热性（率）,比热容和热容量,保温隔热性 5）强度与比强度,弹性与塑

53、性,脆性与韧性,硬度与耐磨性,2、气硬性胶体（石膏,石灰,镁质胶凝材料）与水玻璃 1）陈化是排除 过火石灰 危害；2）胶体、凝胶体的特性：3）水玻璃的特性：良好的粘结性,很强的耐酸性,较好的耐高温性；4）石膏质量等级划分指标,强度,细度,凝聚时间；3、水泥 1）水泥的类别特性,硅酸盐水泥一般水泥矿渣水泥火山灰水泥粉煤灰水泥 a. 硅酸盐水泥： 基础水泥,基本不含混合材料, 成分：C3S 占 50%-60%,C2S 占 15%-37%,C3A 占 7%-15%,C4AF 占 10%-18%；C3A 是水化反应最快,放热最大的,其次是 C3S,45min,终凝不宜迟于 6.5h,石膏是缓凝剂；不利

54、于大体积混 其强度最大；初凝不宜早于凝土,有利于冬季施工,常用于预应力、喷射、桥梁等快凝高强结构；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 b. 一般水泥：6%15%混合材料,最常用的水泥, 不适用大体积混凝土, 终凝不宜迟于 10h；c. 矿渣水泥：耐热,大体积, 抗硫酸盐腐蚀 ,干缩大,不适用早强、寒冷及水位范畴内的混凝土；d. 火山灰水泥：水中,地下,大体积,干缩大,磨及同矿渣水泥；抗渗,抗硫酸盐腐蚀,不适用干燥、耐e. 粉煤灰水泥：水中,地上下,大体积,抗硫酸盐腐蚀,干缩小,抗裂,不适用干燥、抗 碳化及同矿渣水泥；2）体积安定性,缘由是水泥熟料中游离氧化钙、氧化镁过多,或

55、石膏参量过多；4、混凝土1）混凝土强度等级,依据立方体抗压强度标准值 确定；a. 混凝土立方体抗压强度 fcu,试验确定,b. 混凝土立方体抗压强度标准值fcu,k,取 fcu 的 95%保证率（见混规条文说明） ,c. C50 即表示混凝土立方体抗压强度标准值为 50MPafcu,k55MPa；d. 混凝土配制强度 fcu,o,e. 混凝土轴心抗压强度标准值 f. 混凝土轴心抗拉强度标准值 混凝土各种强度的关系：fck,由 fcu,k 运算确定, fck=0.88 1 2fcu,k ftk,由 fcu,k 运算确定,fcu,ofcu,k+1.645 ,=5.00（N/mm 2）fcfckfc

56、ufcu,k；ft/fc=6%13% 2）影响混凝土强度的因素：标号（正比） ,水灰比（反比）,骨料（正比,碎石高于卵石） ,养护（温度与湿度）,龄期和试验条件；一般混凝土养护7 天,火山灰、粉煤灰等其他混凝土养护 14 天；混凝土强度试验取三组强度的算术平均值；3）混凝土组成材料 a. 砂的细度模数, b. 骨料含水状态（干燥,气干,饱和面干,潮湿）,c. 骨料级配 4）混凝土和易性包括流淌性（塌落度） ,粘聚性,保水性；影响和易性的因素有：水泥浆 用量,水泥浆稠度（水灰比） ,砂率,组成材料的性质,外加剂,时间和温度；5）抗渗性与抗冻性,抗渗等级,抗冻等级6）和易性包括：流淌性,粘聚性（不

57、产生分成离析现象）,保水性（不泌水） ；和易性测定方法有塌落度筒法,维勃稠度法；和易性影响的主要因素,水泥浆量,水灰比,砂率,组成材料与温度；7）外加剂的种类和作用 只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除 减水剂：增强流淌性,节省水泥,增加强度,改善耐久性,增加抗冻性；引气剂：增加和易性,增加抗冻性,降低强度；8）混凝土变形 化学变形不行复原；干缩变形,吸水后可以部分复原,不能完全复原；短期荷载下有残留塑性变形,长期荷载下（徐变）有残余变形；徐变的主要影响因素水灰比和水泥用量,均 成正比例；5、钢材 1）冶炼加工,化学成分 a. 含碳量（ 0.8%）,与强度与硬度成正比,与塑性

58、、韧性、收缩率成反比；2）力学性能,（拉伸,冲击,冷脆,疲惫,硬度）屈强比：屈服点与抗拉强度的比值,比值越小,说明材料的安全性和牢靠性越高,但过小 就钢材的有效利用性太低,造成铺张；3）工艺性能,（冷弯,冷拉与冷拔,时效,焊接）6、木材1）含水率,自由水（干燥） ,吸附水（强度）,化学结合水（常温不变） ；2）湿胀干缩性的转折点的含水率是纤维饱和点 ；3）平稳含水率,4）强度,设顺纹抗压为 1,抗弯 1.52,顺纹抗拉 23；横纹受力均小于 1；7、沥青 1）针入度粘性,牌号； 2）延长度塑性； 3）软化点温度敏锐性；4）大气稳固性抗老化 ；牌号 针入度 沥青越软,即粘聚性 ,延度 ,脆性 ,

59、软化点 ；延度 即塑性 ；软化点 即温度敏锐性 ；使用寿命 牌号越大,老化越慢 ；8、晶体与非晶体（玻璃体）9、石材,三种岩石,岩浆岩：深成岩（花岗石） ,火山岩,喷出岩（玄武岩、辉绿岩、安山岩）；沉积岩：化学（石膏,白云石） ,有机（石灰石）,机械沉积岩（砂岩,页岩） ；变质岩（石英石,大理石） ；二、测量共 5 题 2.1 测量基本学问 1、方位角,北方向为 0,顺时针旋转的角度；2、地面点位 三要素 :水平角、水平距离、高差；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除3、国家高程掌握网分一、二、三、四等级和等外测量；等外测量闭合差运算, 山地： 12n；平地： 40L；（n

60、为测站数, L 为水准线路长度）四等测量,平地：20L；4、水平角测量方法：测回法和方向观测法；点位的测定方法：距离交会,方向交会,极坐标法,直角坐标法；建筑物变形观测：沉降观测,位移观测,倾斜观测；5、测距离的相对误差公式：k= 往-返/ 平均； 确定值 等精度观测误差运算公式：mz=mn（n 为测量数, m 中误差）,k= m z/D ；确定值 6、方位角正反坐标相差 180 度；经纬仪水平盘刻度是顺时针标记的；2.2 测量仪器的使用1）水准仪：粗平,瞄准,精平,读数；水准仪两平行一垂直水准管轴平行于视准轴 LL CC 圆水准器轴平行于竖轴 L L VV 十字丝的水平丝垂直于竖轴2）经纬仪