立体几何综合B

1、 立体几何综合（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知不同直线a, ，/,不同平面a，p，丫,则下列命题正确的是（）A.若 aJJ, WO a/bB.若 a_Ly, p Ly ,则 a 4C.若尸M/,则夕D.若C, pil,贝ija/?.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是（）B. 32 cm2D. 28 cm2A.若 Cl/ P， b/B,则 a/bB.若“ a, a l.b 9 夕，则A. (24 + 475)cm2C. (20 + 45/5)cm2.设。，为两条不同的直线，a,尸为两个

2、不同的平面，下列命题中，正确的是（）D.若“_La，a/b , /7,则 a/.在正方形 中，E为棱8的中点，则（）.A. EXDC,C. AE 上 gB. AELBDD. ElAC.如图，A8c是直三棱柱，C4 = 90。，点A、”分别是4名、4G的中点,若3C = CA = CG，则BA与所成角的余弦值是（) TOC o 1-5 h z .已知圆柱的高为1,它的两个底而的圆周在直径为2的同一个球的球而上，则该圆柱的 体积为（）AC 3兀/ 兀C 兀A. itB. 一C. D.424.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍匏”的五面体 （如图）面A3CD为矩形，棱E

3、F/AB.若此几何体中，4?=4, EF = 2, 4。和4。厂都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表而积为（）B. 8 + 8-/T8 + 6+2。3兀+ 66兀 + 6371 + 12己知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体枳为.在三棱锥 S-ABC 中，SA = BC =向,SB = AC = 5, SC = AB = 4 ,则三棱锥 S-A5c外接球的表面积为（A. 25 兀B. 100C. 50兀D. 50&兀.某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是.在正四棱锥P-ABC。中，已知NMC = 60。，若尸、A、B、C、。都在球O的表面上，则球O的表面积是四边形A8

4、CZ）面积的（）A. 2倍B.兀倍D. 2兀倍.如图，在棱长为I的正方体A8COA4GA中，点石、尸是棱3C、cq的中点，户是底面A3CZ）上（含边界）一动点，满足4户，,则线段AP长度的取值范围是（）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）.若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体 的体积是.正视图的祠图.在正方体ABCQ-A4GA中，点七为正方形A3CD的中心，则异而直线4E与4口所成角为.在长方体A8CQ-4及GA中，AB = BC = , 441=2,点、E, F分别为 8,。的 中点，点G在棱.上，若CG 平面AP

5、,则四棱锥G-ABC。的外接球的体积为.如图，在梯形 A3CQ 中，AD/BC, ZABC = 90, AD: BC: AB = 2:3:4 , E、/分别 是AB、8的中点，将四边形4;/芯沿直线/进行翻折，给出四个结论:OF_L8C：BD工FC ；平而3方，平面8尸。：平面Ob _L平而3EC.在翻折过程中，可能成立的结论序号是三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. （10分）如图，在三棱锥A-8C。中，AB1.AD. BCLBD,平而.平面38, 点、E,尸（七与A,。不重合）分别在棱A3, 4。上，且求证：（1） 平而ABC：(2) ADLAC

6、. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABC。中，AB/CD ,且 NBAP = NCDP = 900 .（1）证明：平面“钻，平面Q4Q：（2）若P4 = P = AB = 0C, ZAPD = 90,且四棱锥P ABC。的体积为 ,求该四棱锥 3的侧面积. （12分）如图，在三棱柱ABC-4片G中，A4_L平而A3C,底面三角形A3C是边长为2的等边三角形，。为的中点.（1）求证：3G平面4c。；（2）若直线C4与平而AAB4所成的角为30。，求三棱柱ABC-4鸟。的体积.（2）求异而直线心与。所成角的余弦值:. （12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面Q4P_L底而ABC。，侧棱底面A

7、3C0为直角梯形，其中3CAO, ABLAD. AD = 2AB = 2BC = 2 . O为4）中点.（1）求证：夕。，平而从88：（3）求点A到平面PC。的距离. （12 分）如图，A） 8c 且 AD = 2BC, AD LCD. EGAD 且 EG = AD，8 /7G 且CD = 2FG , OG_L平面 ABC。，DA = DC = DG = 2.（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平而CDE；（2）求二面角七一3。厂的正弦值：（3）若点。在线段。G上，且直线成与平面ADGE所成的角为60。，求线段0P的长.（12分）如图，边长为2的正方形A8C。所在的平面与半圆弧C

8、O所在平而垂直，是C。上异于C,。的点.（1）证明：平而AW）_L平面8WC；（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求而M4Z?与而MC。所成二而角的正弦值. X立体几何综合答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6。分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）.【答案】D【解析】对于A,若（山，1,则a, 平行、相交或异面均有可能，不正确：对于B,若。_Ly, 八y,则两个平面可能平行、相交，不正确；对于C,若夕上y , b _L y ,则4或u/7,不正确；对于D,垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选D.【答案】C【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何

9、体下半部分表示一个边长为2的正方体，其对应的表面积为* =2x2x5 = 20cnf ；上半部分表示一个底边边长为2的正方形，高为2的正四棱锥，所以其斜高为 =其正四棱锥的侧而积为S、= Ic/ = lx2x4x75=475cm2,22所以几何体的表面积为S = +邑=20 +4bcm：,故选C.【答案】C【解析】在A中，若c/?, ），则。与相交、平行或异而，故A错误；在B中，可以举出反例，如图示，在正方体A8CQ-A|8。中，令AQ为0,而A8C为面a, 为，而从出。为面/，满足“a, “_L，b 1J3 , 但是c_L4不成立，故B错误；在C中，因为“/7,所以由“/?可得，在平面/?内

10、存在一 条直线b，使得a/b ,因为” _La ,所以 _La ,所以a _L/?,故C正确；在D中，若a _La, b/p, a/b ,则由面面垂直的判定定理得c_L/?，故D错误：故选C.【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在 平面内的射影，A.若4EJ.OG，那么。七，。,很显然不成立；B.若AEJ.8O,那 么BDLAE,显然不成立；C.若4E_L5C1,那么3。，与。，成立，反过来8弓,片。时,也能推出5GJ.AE,所以C成立；D.若4E_LAC,则AE_LAC，显然不成立，故选C.【答案】A【解析】取5C的中点。，连结。|饵，无。

11、，则。/。6， 据此可得NQRA （或其补角）即为所求，设8C = CA = CG=2（0）,中应用余弦定理可得则 AD = yj5m , AR = 6， DF1=,在。片A. A 闻 cos DF A =.故选A.6.【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截而如图所示，由题意可得：AC = l.AB = - 2结合勾股定理，底而半径一=由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V = W% = 7TX孚3xl = 兀，故选B.47.【答案】B【解析】过F作尸O_L平而ABC。，垂足为O,取8c的中点尸，连结出 过厂作FQ_LA8，垂足为Q，连结OQ. AADE和BCF都是边长为2的等边三角形，：.OP=；(

12、AB-EF) = 1, PF =OQ = BC = ,。/=JpF-OP:=夜,F0 = 7OF2+OQ2 =x/3 , S梯形EF8A = S梯形efdc = /X（2 + 4）x = 3,又Sbcf = Sde =x4 = a/3 S矩形45c0 =4x2 = 8 ,.几何体的表面积S = 3/x2 + /x2 + 8 = 8 + 8VL故选B.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为V = -xlxnx32x4 + -x-!-x3x3x4 = 37r4-6,故选 A.4 33 2.【答案】C【解析】对棱相等的三棱锥可以补为长方体(各个对面的面对角线)，a

13、 + =41设长方体的长、宽、高分别是。，人C,则有从+。2=25 ,a2 +J =34三个式子相加整理可得/+及+,2=50,所以长方体的对角线长为5点, 所以其外接球的半径R =手，所以其外接球的表而积5= 4兀网=50兀，故选C.【答案】B【解析】则V = 2xl + Lx3x2 = 4,故选B. 3.【答案】D【解析】设正四棱锥的底面A3CQ的边长为0,则四边形ABC。的面积为从P向A3CQ作PO，平面ABCD,则垂足O为底面ABC。的中心，因为NP8C = 60。，所以侧而都是边长为。的等边三角形，PB = a, OB = a ,则 PO7PB? -OB二旦, 22所以OA = OB

14、 = OC = OD = OP = R = 旦,所以球的表面积S = 471火2= 2爪/,2所以二一二邛=2*所以选D.S,BCD a-.【答案】D【解析】因为8_L平而84cq, Eru平而85CG，所以CD_LEF,又因为EFBq, BC 1B,C ,. E/_L4。所以可得F_L平而A/QC ,当点尸在线段 8上时，总有 PLEF ,所以A7的最大值为4。=/，A/的最小值为4。=，可得线段4P长度 的取值范闱是,6，故选D.二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共2。分.请把答案填在题中横线上）.【答案】。【解析】该几何体为四棱锥，所以体积为！x3x6= 3.【答案】g【解析】如图

15、所示：连接30, AC,则，AC的交点为E,连接A|E,由正方体的性质易得也41_L 8。,ACBD,又因为恒八从0二从，所以8O_L而AAE,所以6。_14七，故 即异面直线与用所成角为故答案为.】5.【答案】学【解析】当G是A41中点时，连接8交AF于点，则是8的中点，又因为别为C。的中点，所以CG|E，从而根据线而平行的判定定理可得CG平面AEP，所以四棱锥 G-/BCD的外接球就是以AB, AO, AG为棱的正方体的外接球，设外接球的半径为R， 则外接球直径等于正方体对角线长，所以（2Rf=3,. =冗川=粤，故答案为浮. 16.【答案】【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示对于，AO

16、与。F相交，但不垂直，与。门不垂直，故错误：对于，设点。在平面8CF上的射影为点P,则翻折过程中，P点所在的直线平行于4E,当时，有BD1.FC,而AO:8C: A3 = 2:3:4可使条件满足，故正确；对于，当点尸落在3/上时，OPu平而以/, I.平而比/；_L平面8尸C,故正确：对于，点P的射线不可能在“上，不成立，故错误；综上所述，可能成立的结论序号是.三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.【答案】（1）见解析：（2）见解析.【解析】证明：（1）在平而45。内，因为AB_LAO, EF1AD,所以七尸AB.又因为麻0平面ABC, A3u平而AB

17、C,所以F平而ABC.（2）因为平而4?。_1平面3。，平而八比）0平而8。 = 8。，8Cu平面BCD, BC1BD, 所以8C_L平面ABO.因为AOu平而/WO,所以BC_LA.又A4_LAD, BCQAB = B, A8u平面ABC, 3Cu平而ABC,所以AO_L平面ABC,又因为ACu平面ABC,所以AO_LAC.【答案】（1）见解析：（2） 6 + 2/.【解析】（1）由已知NE4P = NC尸= 90。，得AB_LAP, CD1PD.由于ABCO,故从而平而FAQ.又ABu平面243,所以平面Q43J_平而24。.（2）在平而PAD内作尸_LA）,垂足为.由（1）知，而Q4D,

18、故ABLPE，可得P_L平面A8CD.设AB = x,则由己知可得AQ = j PE = x.故四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD =-AB AD PE = -x3由题设得=9,故x = 2.从而24 =包）=2，AD = BC = 2四,PB = PC = 2四. 33四棱锥 P ABC。的侧面积为gpA PO + gpA A8 + ：PD QC + g6C2sin600 = 6 + 25/J.【答案】（1）见解析：（2） 2而.【解析】（1）连接A。交A于七点，连接。.因为Q, E分别为AB，AG的中点，所以DEBG，又BC0平面ACO, OEu平面4cO,所以BG平面ACO.（

19、2）等边三角形ABC中，CDLAB. A4 _L平面ABC, ：.AALCD,且A8flM=A,81,平而4AB3.则C4在平而AA881的射影为故与平面至明所成的角为ZCA,D.在 RtA/410c 中，/觥。=30。，CD=V3 ,算得 图= = 3, /. A4| =y/AlD2-AD2 = 2/2 , 所以 A5C A181cl 的体积 V=Smbc.A4 =；x2x/x2jl = 2 的.220.【答案】(1)见解析：(2) *； (3)茎. 33【解析】(1)在中Q4 = PQ,。为AP中点，所以尸OJ_AO.又侧而Q4O_L底而A3C。，平面尸AOA平面ABCAAO, POu平面

20、240, 所以PO_L平面ABC0.(2)连结 30,在直角梯形 ABC。中，BC/AD, AD = 2AB = 2BC ,有 OD BC 且 OD = BC , 所以四边形088是平行四边形，所以O8QC.由(1)知尸O_LOB, NPBO为锐角,所以NPBO是异而直线所与C。所成的角.因为 AD = 2AB = 2BC = 2，在 RtAAQ5 中，AB = , AO = ,所以 03 =血，在RIZXPQ4中，因为AP = 0 AO = 1,所以OP = 1,在 Rt尸50 中，PB = d。产+OB? =5 cosZPBO = = =.PB #3所以异而直线所与8所成的角的余弦值为好.

21、3(3)由(2)得CD = OB = &,在 RtZTOC 中，PC =OC2+oM=应, 所以 PC = CD = DP, 58=曰2 =弓.又 5AAs = g AD A8 = 1 设点A到平面PCD的距离，由tc0=%-pcd得，S5 co 。尸= 1pq/，Kplxlxl = lxx/,解得力=与. TOC o 1-5 h z 3333 2321 .【答案】(1)见解析：(2)巫：(3)正.103【解析】依题意，可以建立以。为原点，分别以方，DC,丽的方向为x轴，)，轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 ZXO,O.O), A(2,0,0) , Ml,2,0), C(0,2,0), E(Z0,2),/(0,1,2), G(0,0,2),Ml, 0,2). （1）依题意。6 =（0,2,0）, DE = （2,0,2）.设（）=*, y, z）为平而C。七的法向量，则,巴=即八 0 DE = 012.v + 2z = 0不妨令z=-l，可得o=（LO,T）,又mN=|71）,可得雨 。=0, 又因为直线M/Vcz平面CDE,所以平而C0E.（2）依题意，可得 83=（一 L0.0）, 8g = （12,2）, 汴=（0,-1,2）. ，n BE = 0 B不妨令z = l，可得 =（0,l,D.设机=0, y, Z）为