连续时间信号采样培训课件

1、4.0 引言离散时间信号 实际存在 或 连续时间信号采样 （常见）问题：连续时间信号 离散时间信号的完全准确表示 （包含全部信息）决定因素：采样率（sampling rate）,采样周期、采样频率方法：时域？频域！恢复（表明问题的方法）：离散时间信号（恢复）连续时间信号或称重构4.1 周期采样（Periodic sampling）xc(t) - 连续时间信号周期采样后得到样本序列：xn = xc(nT), n T - 采样周期，等间隔采样；fs = 1/T - 采样频率 - s = 2/T （弧度/秒）理想（C/D）转换器（Continuous to Discrete）：实际实现：理想转换器的

2、一种近似，A/D转换器，Analog to Digital （量化级数，线性度，采样保持）采样的可逆性： xn xc(t) - 采样的条件（输入信号的限制）数学表示（两步）：冲击串调制器+冲击串到序列的转换器xs(t)与xn区别连续，离散时间归一化冲击面积，有限数值4.2 采样的频域表示数学上表示采样的两步：第一步： xc(t) xs(t) 第二步： xs(t) xn 首先考虑第一步，周期冲击串调制：由冲击函数的筛选性： xs(t)的傅立叶变换根据傅立叶变换的性质：时域相乘频域卷积先求S(j)，由傅里叶变换特性s(t)周期冲击串S(j)周期冲击串即： 证明：因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数

3、可表示为： 由于t的区间：-1/T 1/T Xc(j)与Xs(j)的关系周期重复叠加Xs(j)重复部分不重叠的条件：s - N N 或：s 2N 结果：低通滤波器恢复出Xc(j)xc(t) 混叠 aliasingXr(j) = Hr(j) Xs(j) ，若 N c (s - N )，有Xr(j) = Xc(j)例子：xc(t) = cos0t xc(t) = cos0txc(t) = cos(s -0)tN - Nyquist Frequency2N - Nyquist Rate采样频率必须大于Nyquist Rate第二步： xs(t) xn 也就是Xs(j)，Xc(j) X (ej) xn

4、考虑Xs(j)的另一种表示形式对其做傅立叶变换：由于 最终可得：从Xs(j) X (ej)表示频率尺度变换：=T 频率轴归一化 Xs(j) - =s X (ej) - = 2频率轴归一化 对应于时间轴的采样周期T的归一化。xn的间隔为1例：一个正弦信号的采样与重建T=1/6000有其中0 = 4000T = 2/3, s = 2/T =12000 xc(t) = cos(4000t)xn = xc(nT) = cos(4000Tn) = cos(0n)信号的最高频率N= 4000，满足Nyquiest定理，没有混叠。其傅立叶变换为：在s = 12000时 4.3 由样本重构带限信号由xn (恢

5、复) xc(t)见图4.4Xc(j) = Xr(j) = Hr(j) Xs(j) Xs(j) = X(ejT), X(ej)xc(t) = xr(t) = hr(t) xs(t) xs(t) = xn有前知，理想重构滤波器增益为T（补偿作用） 截止频率为c，取c = s/2 = /T 理想离散到连续时间转换器（D/C）频域输入输出关系4.4 连续时间信号的离散时间处理过程的数学表示：C/D转换器：xn=xc(nT)傅立叶变换的关系：D/C转换器输出：线性时不变离散时间系统如果上图连续时间系统中的离散时间系统是线性和时不变的，有Y(ej) = H(ej)X(ej)H(ej) - 系统的频率响应（

6、单位脉冲响应的傅立叶变换）X(ej)，Y(ej) - 输入输出的傅立叶变换考虑D/C转换器的滤波器Hr(j): Yr(j) = Hr(j) H(ejT)X(ejT)再考虑C/D转换器的傅立叶变换的关系，并用=T得到连续系统输入、输出的频域关系：如果输入是带限的，经过D/C理想低通重构滤波器，连续时间系统的输入输出频域关系：或写为：式中Heff(j) 为有效频率响应（effective frequency response）表示：连续时间系统 （等效）线性时不变系统4.4.2 脉冲响应不变（Impulse invariance）已知 连续时间系统 （实现）离散时间系统也就是：Hc(j) H(ej

7、)本节讨论：hc(t)hn关系实现的频域表示：实现的时域关系：由连续时间信号的采样，用hn,hc(t)代替xn,xc(t)考虑幅度因子T,脉冲响应不变例：连续理想低通滤波器（冲击响应不变）离散理想低通滤波器c= c/T /T c N 并且/T= /(MT) N xdn xc(t) 减采样（downsampling）减采样前后的傅立叶变换之间关系xn = xc(nT)的傅里叶变换xdn = xnM = xc(nT) = xc(nMT)的傅里叶变换即将求和指数r表示为:r = i + kM， i 和 k均为整数若 k 和 0 i M-1 r 上式可写为：方括号项：减采样前后的傅立叶变换关系：Xd(

8、ej)的两个解释：（1）与Xc(j)的关系：= T，2/T 周期重复（叠加）（2）与X(ej)的关系：频率M倍扩展， 2/M整数倍移位，M个周期叠加 Xd(ej)的性质：周期性，周期为2若X (ej)带限，即和2/M 2N ，不产生混叠M因子减采样时不产生混叠的条件：N M 或N /M如果不能满足上面的条件，则可以在减采样前减小信号xn的带宽。但减采样后的序列已不再代表原来的连续时间信号，尽管在减采样过程中没有产生混叠。4.6.2 采样率按整数因子增加 xn的采样率增加L倍， xin为： xin = xc(nT) 其中的采样率T = T/L关心 xin xn增采样（upsampling）采样扩

9、展器（sampling rate expander）（左边）扩展器的输出为：系统右边：低通离散时间滤波器（截止频率/L，增益L）频域解释（upsampling）/T = N具体由xn xin 内插公式低通滤波器单位脉冲响应滤波后输出：单位脉冲响应hin有：表示：在n=0,L, 2L, 上xin与xn相等，在其它n，xin由内插公式求得。与真正xc(t)采样得到的xcnT完全相同。内插公式实际中使用简单的线性内插：相应滤波器的内插输出：线性内插滤波器与理想低通内插滤波器的频率响应：说明：在n=0,L, 2L, 点上xlinn与xn相等，在其它n， xlinn与真正xc(t)采样得到的xcnT不同。相同程度取决x n序列的原采样率，原采样率越高，xlinn越逼近。4.6.3 采样率按非整数因子变化T = TM/L4.7 多采样率信号处理（multirate signal processing ）4.8 模拟信号的数字处理理想情况：输入带限+Nyquist抽样 离散系统 = 连续系统实际情况：非带限、非理想滤波器、C/D和D/C的近似性实际模型4.8.1 消除混叠的预滤波（抗混叠低通滤波）输入信号频带与采样率的矛盾 采样率尽可能低噪声的混入（