克里格空间插值法

1、克里格空间插值法及其在Surfer8.0中的操作1主要内容（OUTLINE）1 空间插值法2 克里格插值法简述及相关概念解释3 对suefer8.0软件进行空间插值功能的评价4 suefer8.0软件中的相关术语及概念解释5 利用suefer8.0软件进行克里格插值步骤2 空间插值分析是将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面的方法。其作用是便于与其它空间现象的分布模式进行比较。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。 一 空间插值法31.1空间插值法简述空间插值法包括了空间内插和外推两种算法 1 内插算法是一种通过已知点的数

2、据推求同一区域其它未知点数据的计算方法； 2 空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其它区域数据的方法 41 整体插值方法 用研究区所有采样点的数据进行全区特征拟合；2 局部插值方法 是仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值。 1.2空间内插值分类方法5 1.2.1整体插值方法 1 边界内插方法 边界内插方法假设任何重要的变化发生在边界上，边界内的变化是均匀的，同质的，即在各方向都是相同的。2 趋势面分析 根据采样点的属性数据与地理坐标的关系，进行多元回归分析得到平滑数学平面方程的方法，称为趋势面分析。 6只使用邻近的数据点来估计未知点的值，包括几个步骤：a.定义一个邻域或搜索范围；b.搜索落在

3、此邻域范围的数据点；c.选择表达这有限个点的空间变化的数学函数；d.为落在规则格网单元上的数据点赋值。重复这个步骤直到格网上的所有点赋值完毕。 1.2.2局部插值方法71 最近邻点法：泰森多边形方法移动 2 平均插值方法：距离倒数插值3 克里格插值：克里格插值是空间自协方差最佳插值方法1.2.2局部插值方法 分类81.4邻域函数的统计函数及其意义众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值最大值(max)：邻域中最大的数值最小值(min)：邻域中最小的数值中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数平均值(mean)：邻域中数值的算术平均频率最小数(minority)：邻

4、域中出现频率最小的数值范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差标准差(std)：邻域中数值的标准差和(sum)：邻域中数值的和变异度(varity)：邻域中不同数值的个数91.4邻域函数的统计函数及其意义10摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图； 1.5 空间插值的数据源11图1 各种不同的采样布置方式 1.6 采样布置方式121.7 区域变量 区域化变量一个变量的空间分布称为该变量的区域化。如果变量以三个空间坐标（x，y，z）为自变量，那么该变量就是

5、区域化变量。区域化变量假定，在一定空间范围内，属性指标的变异可以用一个连续的、空间上相关的随机域来模拟。任何变量的空间变异可以表示为三个主要组分之和：确定性成份、区域成分和随机成分。131.7 区域变量设x为样点在1，2或3维空间的位置，x点的随机变量Z值为： 其中m（x）是描述Z结构项的一个确定性数，c（x）是描述随机区域变异但空间相关的残余项，即区域变量，是残余的空间不相关的高斯噪音项（服从标准正态分布，即平均值为0，方差为 2）。如果没有趋势，那么m（x）等于样区数据的平均值，而且任何两点x和x+h（h为间隔距离）之间的平均值或期望值的差为0。使用Z（x），Z（x+h）表示随机变量Z在位

6、置x，x+h的观测值，区域化变量理论假设任意两点Z的差值的方差仅取决于位置间的距离h。141.7 区域变量 在有趋势的情况下，假设数据是弱平稳的，并假设对于所有的h，增量Z（x）-Z（x+h）的方差是有限的，而且只是相隔h的函数。在该假设成立的情况下，定义半方差为： 其中，n是相隔距离为h的样点对的个数。将r（h）和h作为纵、横坐标作图即可获得实验半方差函数图（图7.10）。实验方差函数图不受数据的非平稳性影响，是空间变异性研究中的一个有力工具，也是区域变量定量描述的第一步。151.7 区域变量图 实验半方差变异函数图 在方差变异图上，如果样点具有空间关系，那么，空间上分布愈接近的点对（靠近x

7、轴的左边）应该具有更相似的值（靠近y轴的下边），而距离愈远的点对（沿x轴方向向右移动），应该具有更多的不相似性和更高的方差（沿y轴方向向上移动）。161.8 方差变异函数 图是一个典型的实验方差函数和其理论方差函数曲线，它有下面几个重要的特征。1）随间隔增大，方差增大，并在一定的间隔后达到一个基本稳定的常数。这个方差常数称为基台（sill），在理论函数模型中用C+C0表示。平稳数据的基台值近似于采样方差。基台值意味着在对应（或大于）距离的样点之间没有空间相关性，因为方差不再随距离变化。171.8 方差变异函数2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时到达基台值，这一间隔称为变程（range）

8、。在理论函数模型中，变程用a表示。变程是半方差函数中最重要的参数，它描述了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程，那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因为空间上的自相关性不复存在。变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以变化很大。181.8 方差变异函数3）理论方差函数曲线不穿过原点，而是存在一个最小的方差值。理论上讲，当间隔h=0时，估值的方差应该为0，因为任何一点与自身之差的值为0。h趋近于0时，r（h）轴上的正截距是残差的一个估计，该值称为块金（或基底，nug

9、get）。在理论函数模型中，用C0表示。块金是在间隔距离小于采样间距时的测量误差或空间变异，或者是二者的和。测量误差是由仪器的内在误差引起的，空间变异是自然现象在一定空间范围内的变化。小于采样间距的微观尺度上空间变异是块金的一部分。当r（h）值在所有的h值上都等于基台值时，实验半方差函数就表现为纯块金效应，这通常由于短间距内点与点的变异很大而引起，表明所使用的采样间隔内完全没有空间相关性，此时，可以认为各个样点是随机的，区域平均值就是各点的最佳估计值。此时，只有增大采样间隔才能揭示出空间相关性。块金与基台的比值（C0/(C+C0)，基底效应）可以用来说明空间的变异特征，该值越大，说明空间变异更

10、多的是随机成分引起的，否则，则是由特定的地理过程或多个过程综合引起的。空间相关性的强弱，可用C/(C+C0)表示，该值越高，表明空间相关性越强。在实际的模型计算中，块金与基台两个参数是可以调整的，其取值取决于整体的拟合效果。191.8 方差变异函数图 典型试验方差函数和拟合曲线201.9理论变异函数模型 1线性模型(Linear model_) 其中，w是直线的斜率，此模型是最简单模型，但在一定范围内也是适用的。在某些情况下， w可以为0，这时就是纯块金效应模型。211.9 理论变异函数模型2球状模型(Spherical model) 式中符号的意义与前面相同。球面模型最为常用，此外，由于球状

11、模型是根据三维空间的随机移动平均过程推导获得，因此特别适用于三维空间。221.9 理论变异函数模型3指数模型(Exponential model)其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计有效性的理论基础。 231.9 理论变异函数模型4高斯模型（Gaussian model）变程为 。241.9 理论变异函数模型图是球状模型、指数模型和高斯模型的比较，可以看出，球状模型的变程最小，指数的模型变程最大，高斯模型的变程介于二者之间

12、。球状模型和指数模型过原点存在切线，高斯模型则没有。251.9 理论变异函数模型图 球状模型、指数模型和高斯模型的比较261.9 理论变异函数模型5双曲线模型 6圆形模型 271.9 理论变异函数模型 在空间分析中，根据数据的空间自相关性和研究对象的先验知识，选择要使用的模型。选定了理论模型后，通常是用最小二乘法计算方程的各个参数，并用最大似然法（ML）来选择拟合效果最好的模型。此外，在拟合中可以叠加使用上面的模型，模型的参数也可以进行调节，以达到最大程度的拟合实验数据。28二 克里格插值 计算理论方差函数是确定插值权重的基本过程，是预测未知位置属性值的克里格方法（Kriging）的基础。DG

13、Krige是南非采矿工程学家，在1951年提出了矿产品位和储量估值方法。法国地统计学家Matheron（1971）命名了这种方法，并在此基础上提出了区域化变量理论，使传统的地学方法与统计方法相结合，形成了完整的方法体系。29二 克里格插值克里格法是利用原始数据和半方差函数的结构性，对未采样点的区域化变量进行无偏最佳估计值的一种方法，这种方法的一个特点是能够计算出每个估计值的误差大小（估计值方差），从而能知道估计值的可靠性程度。 克里格方法现已发展为多种类型，如简单克里格（simple Kriging），普通克里格（ordinary Kriging），点克里格（point Kriging），块段

14、克里格（block Kriging），通用克里格（universal Kriging），协同克里格（co-kriging），不连续克里格及指标克里格等。30二 克里格插值如果变量满足平稳性假设，可直接用点或块段克里格方法，这两种方法也称普通克里格。如果是非平稳的，需要采用泛克里格方法。如果分析多个变量的协同区域化问题，要采用协同克里格方法。其他的各种克里格方法也各有其应用领域。31二 克里格插值克里格插值与距离倒数加权插值的相似之处在于，二者都通过给已知样本点赋权重来求其他点的预测值。两种内插方法的通用公式如下：其中，Z（si）是已测得的第i个位置的属性值，wi是在第i个位置上测得值的权重，s

15、0是待插值的位置，n是已知样点的数目。距离倒数加权插值中，权重wi仅取决于样点到待插值点的距离。在克里格插值中，权重不仅考虑了已知点与插值点间的距离，而且考虑了己知点的位置和属性值整体的空间分布和格局。克里格插值中的权重来自半方差函数模型（生成的表示地理现象连续表面的函数），在半方差函数模型和邻近已知点的空间分布的基础上，对研究区内的各个位置进行预测，权重wi取决于已知点的拟合模型、到插值点的距离和插值点周围的已知样点的空间关系。32二 克里格插值利用克里格方法进行预测，必须完成两个任务（1）揭示空间相关规律；（2）进行预测。33二 克里格插值克里格插值方法需要两个步骤 克里格插值方法需要两个

16、步骤（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算样点值间的统计相关（空间自相关）。变异函数和协方差函数取决于自相关模型（拟合模型）。（2）预测未知点的值。342.1克里格法主要分类普通克里格法-OK （Ordinary Kriging) 1点克里格（point Kriging） 2块克里格（Block Kriging） 简单克里格法-SK （Simple Kriging)泛克里格法-UK（Universal Kriging)协同克里格法-CK（Co- Kriging)对数正态克里格法（Logistic Normal Kriging)指示克里格法（Indicator Kriging)概率克里格法（P

17、robability Kriging)析取克里格法（Disjunctive Kriging)不连续克里格 352.2具体克里格法适用条件普通克里格法：假设属性期望值未知时简单克里格法：假设属性期望值为某常数时泛克里格法：数据存在主导趋势协同克里格法：借助易得数据属性对与其有相关 性的另外属性插值对数正态克里格法：数据服从正态分布指示克里格法：仅了解属性值是否超过某阀值概率克里格法：析取克里格法：数据不服从简单分布362.3克里格插值的影响因素分析克里格插值结果受诸多因素的影响，例如数据的分布、插值方法和插值参数等。与回归分析不同，经常需要进行多次模拟运算，才能得到合适的结果。一般而言，如果克里

18、格插值结果具有最小的方差，而且交叉检验中误差的方差最小，那么，该结果就是合适的。但是，目前还没有通用的准则，用来自动获取最合适的模型。372.4克里格插值的影响因素分析1.数据分布影响在理论上，克里格分析要求数据具有正态分布。但是，实际调查数据较难保证为正态分布。所以，在计算前一般需要进行正态分布转换，常用的方法有Box-Cox方法和概率内插方法。 正态分布转换能够改善插值结果，但由于转换方法不同，有些结果并不是可逆的。我们有时无法将克里格插值的结果再转换为原始的数据。只有使用函数变换进行的分布转换才可能是可逆的。另外，转换后的数据尺度不同于原始数据，给数据的解释也带来了一些困难。对数据进行转

19、换（多数是非线性的转换），然后进行克里格插值，并对结果进行逆变换，克里格估计必定会发生错误。所以，实际工作中通常不进行转换，不过给出数据分布对于结果的影响分析还是有意义的。如果要避开数据分布的问题，可以考虑使用析取克里格方法 382.3克里格插值的影响因素分析2.样本数量影响克里格分析方法需要较多的数据。一般认为，该数据量不应该小于100，计算中的样本对最小不应小于20，否则结果可能不稳定。392.3克里格插值的影响因素分析3.不同方差变异模型和参数对插值结果的影响 基本参数有四个：块金，基台，变程和方差变异函数类型。A块金B基台 改变不同的基台值，对结果影响不大。基台值的变化，相当于考虑了各

20、向异性的影响。C变程 D4)变异函数类型不同的函数类型对结果的影响很大。 合适的函数的确定，不仅要考虑拟合的精度，而且要考虑是否符合生物学过程。在地质学上经常使用球状模型，但是对于生物学而言，指数模型可能更合适一些。402.4克里格插值的工作步骤 1）分析数据的分布特征，进行必要数据转换；2）分析数据的空间变化趋势；3）确定变异方差的函数类型；4）选择合适的搜索半径和临近数据点数，选取合适的插值方法进行插值；5）结果分析和检验。412.5克里格插值过程中注意要点数据符合前提假设数据量充分，样本数应大于80，每一种距离间隔分类中的样本对数大于10对。当数据足够多时，各种插值的效果基本相同。在具体

21、建模过程中，很多参数可调，其对结果影响不同。 A块金值：误差随块金值增大而增大 B基台值：对结果影响不大 C变 程：存在最佳变程值42 克里金插值方法的区域性变量理论假设任何变量的空间变化都可以表示为下述三个主要成分的和：1）与恒定均值或趋势有关的结构性成分；2）与空间变化有关的随机变量，即区域性变量；3）与空间无关的随机噪声项或剩余误差项。 2.6 克里金插值: 空间自协方差最佳插值方法43图2.6 区域变量理论将复杂的空间变化分为三个部分(i)地形的平均特性；(ii)空间相关的不规则变化；(iii)随机的、局部的变化 44 半方差是定量描述区域性变化的第一步，它为空间插值、优化采样方案提供

22、了有益的信息。 图2半方差图 基台值块金值45图 克里格插值的示例 462.8普通克里格方法 普通克里格是满足假设的区域化变量的线性估计，它假设数据的变化呈正态分布，假设区域化变量Z的期望值是未知的（如果为已知的常数，则为简单克里格方法）。插值过程类似于加权滑动平均，只是权重值不是来自于确定性空间函数，而是来自于空间数据分析。472.8普通克里格方法1）点克里格简单的点估值是最常用的克里格法。克里格法可以说是一种局部估值方法，每一估值都是由其邻近观测值加权平均计算而得的。有实验表明，点克里格法比多项式和加权平均法的估值精度高。由克里格法估值产生的方差图，可以识别出需要进一步采样的地区。482.8普通克里格方法2）块段克里格AB图 7.12半方差模型参数A：各向同性 B：各向异性块段克里格是对中心在x0的小区或块段进行估值。任一块段V中的属性Z的克里格值，是其邻近块段观测值xi的加权平均。块段克里格与点克里格法的区