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文档简介

1、一阶微分方程微分方程课程的一个主要问题是求解， 即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，如对一般的二元函数，我们无法求出一阶微分方程（1）的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。1.3 线性方程一阶微分方程（1.3.1）若关于未知函数和是线性的，称为线性方程。定义 一、 线性齐次方程（1.3.2） 为线性齐次方程。若中时，称 求解思想： 将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。例1.3.1求线性齐次方程（1.3.3） 的通解。解：对于（1.3.3）的两端乘以 得 由于 故（1.3.3）等

2、价于 即方程（1.3.3）的通解为故 其中为任意常数。一般地，对方程即 整理得通解为后得 两端同乘以 二、 线性非齐次方程1.积分因子法给方程两边乘以函数两种解法变成一个函数的导数，使左边整理得：积分得通解：称为方程的积分因子。2.常数变易法先求（2.1.1）对应的齐次方程的通解为：思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数C换成一个待定函数 。即令 整理得通解为： 将 和 代入 得 线性微分方程解的性质:1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非

3、齐次方程的解。4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。初值问题 的解为 初值问题 的解为 数，求微分方程 的 周期解。 解：齐次方程 的通解为 方程 的通解为 例：2.1.3 为了使 以 为周期，须满足 是以 为周期的周期函数， 是正常设 整理得为周期 以 （令 ） 将c 代入得二、 Bernoulli方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例1.3.5求初值问题的解。解：方程两边同乘以2y后得令 代入得 通解为将 代入得 代入初值条件得在电

4、感上的电压降为 由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。 四、 线性微分方程的应用举例例1：RL串联电路由电阻、电感、关闭合后电路中的电流强度 电源组成的串联电路，求开解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 我们得到电流 所满足的微分方程为：取开关闭合时刻为0，则 又 将初始条件 代入得: 故当开关闭合后，电路中的电流强度为：求得齐次方程通解为是方程特解，因此,得到通解:例2 湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的

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