等比数列前项与

1、关于等比数列前项和第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月回顾旧知1.等比数列an的通项公式：注意：当q=1时，等比数列an为常数列. 2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、累乘法。3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新

2、课导入设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？ 第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月1+2+4+8+263= 18446744073709551615（粒） 已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克7378.7亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是 那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+263 上式有何特点？如果式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+263+264 比较、两式，有什么关系呢？第五

3、张，PPT共三十六页，创作于2022年6月S64=1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+263+264 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则得：S64=264-1= 18446744073709551615设问： 纵观全过程，式两边为什么要乘以2呢？第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月等比数列前n项和公式及推导在等比数列an中首先要考虑两种情况：当q1时，Sn=a1+a2+a3+an-1+an =？我们视目以待，看接下来的解答:当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+an-1+an =a1+a1+a1+a1+a1 =na1共n个a1设等比数列，

4、首项为,公比为 如何求前n项和？第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)分析：第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn -得： Sn (1q)=a1a1qn这就是乘公比错位相减法求和当q1时，第九张，PPT共

5、三十六页，创作于2022年6月则等比数列an前n项和公式为Sn=na1 q=1q1注意点1.注意q=1与q1两种情况.2.q1时，第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d第十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例1 等比数列an的公比q = ，a8=1，求它的前8项和S8.解法1：因为a8=a1q7，所以 因此 这是公式法求和第十二张，PPT共三十六页，创

6、作于2022年6月 解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列bn，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和 第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求和 个分析：数列9，99，999，不是等比数列，不能直接用公式求和， 但将它转化为 101，1001，10001， 就可以解决了。例2第十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月原式=(101)+(1001)+(10001)+(10n1) =(10+100+1000+10n)n解：第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例3已知数列的前五项是（1）写出该数列的一个通项公式；（2）求

7、该数列的前n项和分析：此数列的特征是两部分构成，其中是整数部分，又是等差数列，又是等比数列.是分数部分，和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解：（1），（2）这是分组法求和第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元， 3月，4月，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元， 所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，例4第十八张，PPT共三十六页，创作于202

8、2年6月答：该工厂去年全年的总产值为 元。 第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求和：.例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，分析：这是错位相减法求和 第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解： ，两端同乘以，得两式相减得 于是.第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1例6 设数列 求这个数列的前n项和解:（与n无关的常数） 所以该数列是等比数列，首项为1， ，该数列的公比为1， ，该数列的公比不为1， 第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求和：.为等比数

9、列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中 为等差数列，例7第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解：，两端同乘以，得两式相减得 于是.第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是： 一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完. 如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1= ，公比q= 的等比数列，思考与余味第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月它的前n项和为 这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.不论n取何值， 总小于1， 第二十六张，PPT共三十六

10、页，创作于2022年6月课堂小结本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式： 以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.Sn=na1 q=1q1第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 1.推导等差数列前 n项和公式的方法.2.公式的应用中的数学思想. -错位相加法-方程思想3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个.-知三求二第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月（07年广东）等比数列an中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值解：由得： q=2所以：高考链接第二十九张，PPT共三十六页，创作于202

11、2年6月随堂练习1.求等比数列的前8项的和解:第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月2.某商场第1年销售计算机台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到台（保留到个位）？分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解：设每年的产量组成一个等比数列 其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000整理可得：1.1n=1.6两边取对数得即：答：约5年内可以使总销售量达到30000台.第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月3.已知数列是等差