线性代数：第一章小结

1、1.6.1 内容框图矩阵的定义矩阵的逆矩阵的分块矩阵的初等变换矩阵的运算1.6.2 基本要求理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。 1.6.3 内容概要矩阵的概念矩阵是一个由mn个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为A=或 A=本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。特殊矩阵特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们

2、之间具有如下的从属关系 矩阵的运算加法：设 ，数乘：设；乘法：设，则，其中注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。转置：设 A=，则 称为A的转置阵，记为。运算规律：A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);.(AB)C=A(BC); ;A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; (k,l为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。注1 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下ABBA,由此得到式子都未必成立，但上述三个式子在AB=BA的条件下都成立，例如： 注2 矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若 不能得到A=O,或A

3、=I, 若也不能得到A=O，但在A可逆的条件下，由AB=AC必成立B=C思考：当A可逆时，若AB=CA能推出B=C吗？4) 可逆矩阵（1）概念：设矩阵A,B满足AB=BA=I ，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为.注1 可逆矩阵必为方阵。注2 若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩阵记作，即有A=A=I（2）性质：若A可逆，则,均可逆，且;若A可逆，数，则kA可逆，且;若A,B是同阶可逆阵，则AB可逆, =.注 若A,B为同阶的可逆矩阵，A+B不一定可逆（3）判别方法利用定义: 若AB=BA=I,则必有A可逆,且;利用初等矩阵:若A可分解为有限个初等矩阵,则A可逆.(4)求法利用初等变换或注

4、对 只能用行初等变换.对 只能用列初等变换。利用分块矩阵凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式,从而可得=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆. 5)矩阵的分块（1）概念:对矩阵A 用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块.（2） 特殊分块法及其作用:将A 按列分块,其中是A的第j列(j=1,2,n)，则(j=1,2,n) 其中为单位阵的第j列。将A 按行分块，其中为A的第i行，则A=,(i=1,2,m)其中为单位阵的第i列.注 由 可得到 将 列分块，则 的计算也可转化为方程组（i=1,2,n）的求解问题。将A分成块对角阵则则 其中假设 都可逆。初等变换与初等矩阵矩阵A的初等变换有如下三类：第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记作第二类：以非零常数乘A的第i行（列），记作第三类：将A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，记作（）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵；其中（）初等变换与初等矩阵之间的关系：初等矩阵左（右）乘A,相当于对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如:注若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，此时必成立等式 ，其中与均为初等矩阵。注对矩阵A进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对