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文档简介

1、第一章 函数与极限函数微积分的研究对象极限的概念无穷小量与无穷大量 极限的性质两个重要极限函数的连续性1 函数 -变量相依关系的数学模型一、 函数的概念例 圆的面积 依赖于圆的半径 ,关系为 （映射说）设 是一个数集， 是一个确定的对应关系。对于 中的任意一个元素 ，通过 都有唯一的实数 与之对应，则称 为 到 内的函数，称 为 在 处的函数值。 称为自变量； 称为因变量； 称为该函数的定义域； 该函数的值域为定义几点注意:1.函数的三要素：定义域、对应法则和值域2.三要素中 关键是对应规则是相同的函数3.自然定义域二、特殊函数:分段函数例5 （符号函数）例4 （绝对值函数）三、函数的性质1.

2、 奇偶性(1). 对称区间(2). 图形特征(3). 运算奇函数偶函数例：(4). 函数的整体性质。2. 单调性小的仍然小-单增小的反而大-单减(1).与区间有关同一函数在不同区间单调性未必相同(2). 高等数学中将利用导数证明函数的单调性例：不减不增1、复合函数四 复合函数已知例如 已知函数 的值域 属于函数 的定义域，则函数 就称为函数 与 的复合函数，其中 称为中间变量。定义3注意（1） 中间变量 作为自变量的定义域与作为因变量的值域必须相交，否则没有意义。例如函数 没有意义。（2） 复合函数是高等数学中的最重要的基础概念。（3） 一般地， 。例7函数 的定义域为 ，求函数的定义域。解：

3、所以思考：已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。由题可知例8已知求 和解：例9已知函数 ，求 及（变量替换法）因此令 ，则解：所以例10分解下列函数：解：或所以基本初等函数(五大类)：2、初等函数-微积分的主要研究对象幂函数 yx (R是常数); 指数函数 ya x(a0且a1); 对数函数 yloga x (a0且a1), 三角函数 ysin x, ycos x反三角函数 yarcsin x, yarccos x初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）和/或复合运算所得到的函数。非初等函数：分段函数、隐函数、积分上限函数。 极限 -高等数学的重要概念 数列极限 函数极限数列的定义：按照一定顺序排列的可列个数：成为数列，记做 。一、数列极限示例例1例4例3例2数列极限的定性描述 二、数列极限的定义 给定数列 , 当自变量(下标) 无限增大时, 通项 无限趋近于常数 则称常数 为数列 的极限 , 即或定义1数列极限的定量描述 （数列极限）给定数列 ，对任意的正数 ，存在正整数 ，当 时，有 则称常数 为数列 的极限, 或数列 收敛于 即定义2例6例5常数列的极限仍是该常数 例7当 时 ，有定理1 （数列极限的四则运算）如果 ，则三、数

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