数学物理方程3.1

1、第三章 行波法陈有亮上海理工大学环境与建筑学院2022/8/92一维波动方程的定解问题无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法降维法有界弦的振动问题第三章 行波法2022/8/93第三章 行波法1 弦振动方程的初值问题2 高维齐次波动方程3 非齐次波动方程2022/8/941 弦振动方程的初值问题1.1 达朗贝尔公式1.2 达朗贝尔解的物理意义1.3 二阶偏微分方程的分类2022/8/951.1 达朗贝尔公式先变换方程的形式如果能够找到变量、,使分析定解问题求解此问题，先求方程的通解，再由

2、初值条件确定出通解中的任意常数。2022/8/961.1 达朗贝尔公式定义则则方程（1.1）变为 此方程的通解可以很容易求出，再由初值条件可以确定出通解中的任意常数。 下面找,。2022/8/971.1 达朗贝尔公式显然满足(1.2)-(1.3)。解方程(1.4)将(1.5)代入(1.6)，得下面通过初值条件确定f1, f2的具体函数形式。将(1.7)代入初始条件，得2022/8/981.1 达朗贝尔公式2022/8/991.1 达朗贝尔公式公式(1.8)就是齐次波动方程初值问题的达朗贝尔公式或达朗贝尔解。这种求解方法叫达朗贝尔解法或行波法。2022/8/9101.1 达朗贝尔公式达朗贝尔解法

3、先是通过作一个特殊的变换，求出了方程的通解，然后再由初值条件得到定解问题的特解。这种方法对一般方程来说是十分困难的。此方法一般只适合波动方程定解问题的求解。2022/8/911例1：解：由达朗贝尔公式2022/8/912例2：2022/8/9131.2 达朗贝尔解的物理意义右传播波左传播波分别分析和2022/8/914左传播波右传播波2022/8/915区间称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于中的初始条件。依赖区间它是过（x，t）点，斜率分别为的直线与 x 轴所截而得到的区间（如右图）。1.3 二阶偏微分方程的分类2022/8/9161.3 二

4、阶偏微分方程的分类如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为影响区域定义：上式所定义的区域称为区间的影响区域。2022/8/917定义区间过作斜率为的直线过作斜率为的直线则 它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间内，因此该三角区域称为决定区域。2022/8/918一般地，对于偏微分方程其特征方程为这个常微分方程的积分曲线称为方程(1.9)的特征曲线，它只和二阶导数项的系数有关，与一阶项的系数无关。1.3 二阶偏微分方程的分类2022/8/919并不是任意两阶线性偏微分方程（1.9）都有两族实的特征线。由（1.10）知，若则方程（1.9）无实的特征线，且方程称为椭圆型方程；若则每一点只有一条实的特征线，且方程（1.10）称为抛物型方程；若1.3 二阶偏微分方程的分类2022/8/920则过每一点有两条相异的实特征线，方程（1.10）称为双曲型方程。如方程（1.1）的特征方程为解之得，其特征线为作线性变换原方程转化为1.3 二阶偏微分方程的分类2022/8/921然后可以很方便地进行求解。