数学实验第四章

1、MATLAB数学实验第四章 函数和方程第四章 函数和方程4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令4.3 计算实验：迭代法4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货量 4.1 预备知识：零点非线性方程 f (x) = 0若对于数有f () = 0, 则称为方程的解或根，也称为函数f (x)的零点若f () = 0, f ()0 则称为单根。若有k 1, f () = f () = = f (k-1)() = 0，但f (k)()0 , 称为k重根非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等非线性方程（组）f (x) = 0，

2、 x=(x1, x2, , xn), f=(f1, f2, , fm) 4.1 预备知识：极值如果对于包含x=a的某个邻域 ,有 f(a)f(x) (f(a)f(x)对任意x成立, 则称a为f(x)的一个局部极小(大)值点。如果对任意xD，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。设x为标量或向量，y=f(x)是xD上的标量值函数。4.1 预备知识：极值4.2 函数零点MATLAB指令多项式y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y，x可以是一个或多个点p3=conv(p1,p2) 返回多项式p1和p2的乘积p3,r=decon

3、v(p1,p2) p3返回多项式p1除以p2的商，r返回余项x=roots(p) 求得多项式p的所有复根.p=polyfit(x,y,k)用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回多项式的降幂系数MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。例如：多项式x3+2x2-5，在MATLAB指令中表示为1 2 0 5。计算( x3+2x2-5) (x3+2x2-5)，并验算。 p1=1 2 0 -5; p2=1 -1 2; p,r=deconv(p1,p2)p = 1 3r = 0 0 1 -11验算 conv(p,p2)+r例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 p=1 2 0 -5;

4、x=roots(p) , polyval(p,x) x = -1.6209 + 1.1826i -1.6209 - 1.1826i 1.2419 ans = 1.0e-014 * 0.1776 - 0.5773i 0.1776 + 0.5773i -0.4441 例2.用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72 解：clear; x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3;y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72;p=polyfit(x,y,2) % 得到二次拟合多

5、项式% 画拟合效果图xi=-0.2:0.01:0.3;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,o,xi,yi); Fun=inline(funstr,var) 定义一个Inline 函数,其中funstr是函数的表达式, var是变量名Fun=Mfun 定义一个函数句柄，这里Mfun是函数的M文件表达方式Fun=(var)funstr 定义匿名函数，其中var是变量名, funstr是函数的表达式 4.2 非线性函数的MATLAB表达 x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 内嵌函数或字符串表达方式。 x0为标量时, 返回函数在x0

6、附近的零点； x0为向量a, b时, 返回在a,b中的零点(要求在a, b的 函数值异号) 4.2 函数零点MATLAB指令 x,f,h=fsolve(Fun, x0) x返回一元或 多元函数Fun在x0附近的一个零点， 其中x0为迭代初值; f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。 例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 fun=inline(x*sin(x2-x-1),x) fun=inline(x*sin(x2-x-1),x) fzero(fun,-2 -0.1) %由于对参数x0用区间情形

7、，fzero要求区间两端的函数值异号, 所以出现不能直接求解. %先作图观察一下fplot(fun,-2 0.1);grid on;%可见在x=-1.6和-0.6附近各有一个零点。我们分两个小区间分别求解.fzero(fun,-2,-1.2), fzero(fun,-1.2,-0.1) %可以正确求解fzero(fun,-1.6), fzero(fun,-0.6) %参数x0也可以用一个点x,f,h=fsolve(fun,-1.6)x,f,h=fsolve(fun,-0.6) %也可以用fsolve求解例4 求方程组在原点附近的解xx(1)y x(2)解：若用函数句柄方式，先写一个M函数%M函

8、数eg4_4fun.mfunction f=fun(x)f(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1;f(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8;注意：x, y要合写成向量变量xx,f,h=fsolve(eg4_4fun,0 0) % 0,0为初始值, 需m函数eg4_4fun.m%得到解为x=0.2326, y=0.0565, 两个方程误差分别为0.0908*10-6和0.1798*10-6，h0说明结果是可靠的。%也可以用下列更便捷的Inline函数或匿名函数方式求解。fun=inline(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)

9、+x(1)2/8,x); %Inline函数x,f,h=fsolve(fun,0 0) fun=(x)4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8; %匿名函数 x,f,h=fsolve(fun,0 0)注1 fzero只能求零点附近变号的根，试以x=1.1为初值，用fzero 和fsolve 求解 (x-1)2=0，看看发生了什么？注2 fzero 和 fsolve 只能求实根，试用它们解x2+x+1=0，看看发生了什么？min(y) 返回向量y的最小值max(y) 返回向量y的最大值x,f=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数y=

10、f(x)在a,b内的 局部极小值点,f返回局部极小值 fun为函数句柄或inline。x,f=fminsearch(fun,x0) x返回多元函数y=f(x)在初始值x0 附近的局部极小值点,f返回局部极小值. x, x0均为向量。4.2 函数极值MATLAB指令例 5 .求二元函数f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在原点附近的极大值。解：问题等价于求 f(x,y)的极小值 max fmin(-f) x x(1), y x(2)注：在使用fsolve, fminsearch等指令时， 多变量必须合写成一个向量变量，如用x(1), x(2),。 fun=inline(x(1)4+x(2)4-

11、4*x(1)*x(2)-5); x,g=fminsearch(fun,0,0)4.2 最小二乘拟合MATLAB指令假设已知经验公式y=f(c,x)(c和x均可为向量), 要求根据一批有误差的数据(xi,yi), i=0,1,n, 确定参数c.这样的问题称为数据拟合。最小二乘法就是求c使得均方误差最小化 Q(c)=当f关于c是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解，且其解存在唯一。 如果f关于c是非线性函数，问题转化为函数极值问题c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为

12、数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x) 非线性最小二乘拟合考虑例4.2，若用lsqnonlin，先写fitf.mfunction e=fitf(c)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;e=y-(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3);然后执行：c=lsqnonlin(fitf,0,0,0)用lsqcurvefit更方便：fun2=inline(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3),

13、c,x)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y) 迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k ),求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(称为不动点)。最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式为1 迭代法4.3 计算实验：迭代法例6 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度 = 10 -6)解 令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f

14、(0)=-1,当x 2, f (x) 0, f (x) 0即f (x)单调上升，所以根在0,2内。先用图解法找初值，再用牛顿法程序newton.m求解。M函数newton.mfunction x=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：牛顿迭代法解非线性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e) x返回数值解,% fname和dfname分别表示f(x)及其导函数f(x),% x0为迭代初值，e为精度要求(默认1e-4)。 if nargine&kclear; fun=inline(25.2*(1+r)360-(1+r)360- 1)/

15、r*0.1436 ,r)r=fzero(fun,0.0198/12);R=12*r得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)每次订货需要收取一定量的生产准备费。没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为此要付出储存费。若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备费的增加；反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产准备费减少但会造成储存费的增加。如何确定合适的订货量？4.4 建模实验：最佳订货量解 先作一些必要的假设将问题简化1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的， 每日为r件；2）所订配件按时一次性交货， 生产准备费每次k1元；3）储存费按当日实际储存量计算， 储存费每日每件k2元;4）你的工厂不允

16、许缺货。设一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r t, 0tT第t天的储存费为 k2q(t)一个周期的总储存费为一个周期总费用 C(x) = k1+k2x2/(2r)优化目标是使单位产品费用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 达到最小由f(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得（经济批量订货公式）线性迭代要么收敛于它的不动点，要么趋于无穷大。不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋于一个周期解，但也有可能在一个有限区域内杂乱无章地游荡，这类由确定性运动导致的貌似随机的现象称为混沌现象4.4 建模实验：混沌*昆虫数量的Logistic模型xk+1 = a x k (1 - x k), 0a4 xk表示第k代昆虫数量(1表示理想资源环境最大可能昆虫数量)。 a为资源系数0a4保证了xk在区间(0,1)上封闭。*平衡与稳定若g () = ,称为映射g(x)的不动点若对于不动点附近的初始值x0，迭代收敛于此不动点，称此不动点是稳定的当0a1, 在0，1内有一