提高课堂效率的有效途径之一谈数学教师的基本功

1、提高课堂效率的有效途径之一谈数学教师的“基本功”（2014.10.16）1辽宁省孙燕鹏小学数学名师工作室的启示前瞻性示范性研究性专业性实效性延续性2数学教师的“三项基本功” 1.善于举例； 2.善于提问； 3.善于比较与优化。3一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：the science of patterns）数学所反映的并不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。 4进一步的分析数学基本特性：抽象性。学生思维的特点：具体性与直观形象性；不仅缺乏抽象的能力，而且往往也不具有作为抽象必要基础的

2、具体事例。5具体结论“善于举例”的两个涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？61.什么是“适当的例子”？标准之一：相对于学生的可接受性；标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。7例1 “范例教学法”（R. Davis)为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一

3、个算式。教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ 8相关的分析这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。与纯粹的“推门砖”不同，这一实例在此并可说起到了“认知基础”的作用：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这也就是指，借助于这一实例学生即可顺利地作出相应的发现。如借助所说的实例学生显然就可顺利地实行 4 - 10、5 8等运算，而无须依赖对相应法则的机械记忆。92.如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？关键：去情境。这方面的一个重要手段：比较。这事实上也可被看成数学中的“分类”的一个基本意义。10例2 自然数的认识我们应当如何

4、对这样一些图片进行分类：它们分别是摆在一起的2个苹果、3个苹果、2个橘子、3个橘子，2个梨、3个梨，11例3 “圆的认识”的教学教师在教学中是否有必要同时提及多种不同的画圆方法，如圆规画圆、体育教师以自己为中心绕圈画圆、以及利用绳子在黑板上画圆，等等。 12例4 “认识分数”与变式引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。”问题：如何以“变式理论”为指导设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？13（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；对于分割对象的外形我们也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可是方形或任

5、何其它形状。14（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长方形纸片的分割而言，可以横着折，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等 。15（3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，这也就是指，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。16（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕容易看出，这一变化

6、事实上就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。17例5 “认识方程”与变式理论教学中的常态：人们已经普遍地认识到了这样一点，即在“认识方程”的教学中我们必须同时引入一定的正例和反例，从而帮助学生很好掌握方程的概念，特别是这样两个要素：（1）含有求知数；（2）是一个等式。18相关的练习具体判断以下一些式子是否为方程： 6+x=14, x3=20, 60-48=12, 8+x, y-28=35, 5y+32019应有的思考但是，我们在此是否也应有意识地去引入一些“非标准变式”？就方程的认识而言，我们又应引入

7、哪些“非标准变式”？20（1）我们不仅应当将4x+7 = 35变形为4y+7 = 35，而且也可使用一些更为复杂的符号表达式、乃至基本些的特殊的符号：如将4x+7 = 35变形为4（2r+1）+7 = 35，以及4*+7=35，等等。21一些相关的问题“学生能顺利辨认方程就是认识方程了吗？”“学生能流利地说出方程的定义就是理解方程了吗？”（引自吴正宪老师的相关报告）核心：“淡化形式，注重实质。”（陈重穆） 22（2）除去上面所提到的各个例子以外，我们还应有意识地引入另外一些“变式”，如6=14-3x，6+x=14-7x，25+x= y-28，等等。关键：借此即可促进学生由“程序性观点”向“结构

8、性观念”的转变，后者正是“方程方法”的核心。23一个相关的事实学生在实际求解方程的过程中何以会经常出现如下的“规律性错误”：如在求解3x-13=5时，学生往往会写出如下的算式： 3x-13=5 =5+13 =18 =183 =6， 24小结：如何帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？关键：通过适当的变化与比较帮助学生掌握相关概念的本质。25新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”传统的研究：主要集中于如何帮助学生很好地掌握概念的本质（单一性）。新的认识：更加强调概念内在表征的多元性，以及各方面的必要互补与思维的灵活性26一些相关的提法布鲁纳（1964）的三种形式：动作的、图像的，和符号

9、的；Lesh & Laudan（1983）的“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。 273.具体的教学建议（1）形象化描述与符号表征的必要互补：我们在教学中不仅应当高度重视学生的实际操作与情境设置，还应重视适当的举例，语言说明（表述，比喻，感受，给出自己的定义等）与图象表示（概念的视觉化）等多个方面。28（2）日常语言与数学语言的必要互补教学中不应停留于严格的数学语言，而应高度重视如何能用日常语言对相关内容作出解释，包括要求学生用自己的语言说出对数学概念的理解，甚至是感受。关键：我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度，同时又应注意维护数学的正式意义。 29例6 正方

10、形的认识教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”30教师又在黑板上画一个长方形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。31（3）操作性认识与结构性认识的必要互补当前应当特别加强的环节：由“操作性认识”向“结构性认识”的必要过渡。相关的论述：“对概念教学，课改以后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。”（陈永

11、明，2008）32更为一般的分析概念教学的不同环节：（概念的）生成、分析与组织。相关的论述：“为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系。” （陈永明，2008）33相关的经验“我提倡一题一课，一课多题一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”（李成良，2010）34小结：更为一般的主张“双基教学”的必要发展：基本技能，不应求全，而应求变；基础知识，不应求全，而应求联。35二、“善于提问”与数学教学1 . “问题”对于数学和数学教

12、学的特殊重要性。（1）“问题”可以被看成数学研究活动的实际出发点。数学发展的基本模式：问题问题解决新的研究问题 36每个数学分支并都具有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。结论：对于问题的很好掌握事实上即应被看成数学学习的一项重要内涵。“问题”的正确理解：这不应被等同于现实问题，而且，即使就后者而言，也应对此作出必要的抽象，从而使之成为“数学问题”。 37（2）从教学的角度看这也是教学活动能否实现“双中心”的关键。中国数学教学的一项优秀传统：“教师试图获得一种平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（ 马飞龙， “什么是好的教学？”，人民教育，2009年第8期）

13、 38国际上的相关研究“那些自认为绝对真理的建议，无论认为教学应当完全以学生为中心，还是认为教学应当完全由教师主导，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。”（美国数学咨询委员会最终报告）39进一步的思考教学中如何才能真正做到既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用？40新的实践“学校想了个办法：让教师写教学内容问题化教案。” “教学内容问题化教案是让老师知道自己该教什么，让学生知道自己想学什么。老师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动。” 41思考与启示究竟什么是真正实现“双主体的双互动”的关键所在？可能的结论：

14、问题引领！42问题的严重性和紧迫性这正是我国数学教育特别薄弱的一个环节，即学生提出问题的能力较差。应当肯定的做法：“2011版课标”中由“双能”到“四能”的发展。 43应有的认识与“解决问题能力”的培养一样，学生“提出问题能力”的提高主要地也依赖于后天的学习，教师更应在这一方面发展重要的示范作用，这也就是指，如果教师本身不善于提出问题，我们显然就很难期望学生在这方面能有较大的提高。 44小结“善于提问”确应被看成数学教师又一项重要的基本功。452.现状与对策现实中的问题：重视课堂提问是中国数学教学的一个重要特色；但在现实中却又普遍存在“问题”多而不精的弊病。问题：我们应当如何去加以改进？46一

15、项相关的研究（黄爱华）“即使在倡导以学生为主体的以学定教、先学后教理念引领下的课堂，问题繁、杂、小、碎的现象仍然没有改变，中小学课堂，必须改变目前课堂教学满堂灌、满堂问的教学模式。”（“以大问题为导向的小学数学课堂教学实践与探索”，小学数学教师，2013年第1-2期 ） 47判断问题“好坏”的标准之一我们究竟应当如何去判别问题的“好”与“坏”？（1）“好的问题”应当具有明显的“引领作用”，这也就是指，我们在教学中不应面面俱到，而应始终突出相应的重要问题和基本问题 48具体分析（1）所谓“重要问题”，在此主要是针对教学内容进行分析的。相关的论述：“找准了大问题，就意味着教者抓住了课堂的课眼，纲举

16、目必张。”（黄爱华等，同前） 49例7 “百分数的意义”的教学（黄爱华） 教学中教师首先要求学生自由地提出各种与百分数直接相关的问题；但与“放任自流”不同，教师通过对学生提出的问题进行梳理归纳出了以下几个问题：50问题1：什么是百分数的意义？问题2：百分数有什么好处？问题3：在什么情况下用百分数？问题4：百分数与分数比较有什么不同？51进一步的建议我们并应跳出每一节课具体内容的束缚，从更大的范围去进行思考。回顾：每个数学分支都有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。结论：只有视角大，才能真正找准“大问题”。52具体分析（2）相对于教学内容的把握而言，这里所说的“基本问题”更

17、为直接地涉及到了数学教育的长期目标，这也就是指，为了实现相应的目标，我们在教学中究竟应当始终突出哪些问题？ 53从教学的角度看相应的基本问题：（1）什么？（what） “现在在干什么？”或“准备干什么？”）（2）为什么？ ？”（why）（“为什么要这样作？”）“（3）如何？ ？”（how）（“这样作了的实际效果如何？”） 54从教学的角度看相应的基本问题：（1）如何能对所得出的结论进行证明，包括作出必要的推广？（2）我们能否使用不同的方法去解决问题？所使用的方法是否又有改进的余地？（3）这一结论与其它已得出的结论有什么联系，我们又能否对此进行合并？55判断问题“好坏”的标准之二“好的问题”应具

18、有较大的“启发性”。这也就是指，尽管应当具有一定的引导作用，但这又不应成为学生必须遵守的硬性规范，另外，给学生一定的启示也不应成为“包办代替”，而应促使学生积极地去进行思考和探究，也即具有较大的开放性和自由度。56例8 “解决问题的策略画图”的教学 问题1：小明和小芳同时从两地沿一条公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？问题3：小刚和小星同时从学校出发去少年宫。小刚每分钟走64米，小星每分钟走60米。经过6分钟，小刚到了少

19、年宫，这时小星距少年宫还有多少米？ 57课前的“小研究”教师在上课前首先安排学生对上述三个问题进行了“小研究”，在发给每个学生的“研究表”中教师并特别强调了这样一点：“你能先画图，再解答下面的问题吗？”进而，教师希望学生在实际从事了上述三个问题的研究之后又能进一步去思考：“你觉得画图对于解决问题有什么帮助？” 58判断问题“好坏”的标准之三 教学中的问题设计应该十分重视对于学生的恰当性，这也就是指，“好的问题”对于学生而言应当是可接受的。更为具体的提法：问题的“自然性”。 59相关的论述“大问题的一个核心追求是让学生不教而自会学、不提而自会问。要做到这一点，一个很关键的因素就是教师必须让学生感

20、到问题的提出是自然的，而不是神秘的，是有迹可循的，而不是无章可依的。”（黄爱华等）60结论数学教学中“好的问题”应当满足这样几点要求：重要性和基本性（引领性）、启发性、以及对于学生的适当性。 613. 关于“问题引领”的几点建议 （1）尽管“问题引领”这一做法在现今的数学教材编写中已经得到了广泛应用，但我们又应更加重视如何能够依据具体的教学内容、对象与环境去进行“再创造”，从而真正做到“用教材去教”，而不是“机械地去教教材”。62例9 关于“解决问题的策略画图”的又一教学设计 教材中的问题：“梅山小学有一块长方形的花圃，长8米，在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米

21、。原来花圃的面积是多少平方米？”教师采用的问题：学校里有一块长方形花坛，如果将它的宽增加3米，就变成了一个正方形，这时花坛的面积增加了24平方米。原来长方形花坛的面积是多少平方米？ 63思考与分析显然，教师所用的问题相对于教材中的“问题”是更为复杂的。也正因此，在没有进行预习的情况下，“就有不少同学面露难色，”；但恰又可以被看成为我们在教学中如何能够帮助学生很好体会“问题解决”与“解题策略”创设了一个较为理想的情境。64更为一般的建议教学工作创造性的一个重要表现：教学内容的“问题化”；65（2）这方面工作的重点与难点：我们如何能够使得教师所预设的问题真正成为学生自己的问题，包括很好地去处理“预

22、设性”与“生成性”的关系，也即如何能够针对学生的真实情况与现实的教学情境对所预设的问题作出必要的调整。66（3）更高的追求这时，学生所关注的已不只是原来的问题，他们所寻求的也不再是单纯意义上的解答。”（M. Lampert）显然，这也就意味着学生已经真正成为了学习的主人，提出问题的能力也有了很大提高，并已在学会数学地思维这方面取得了切实进展。67小结“善于提问”的一个基本意义即是有利于学生学会数学地思维。这并直接关系到了教学中如何能够很好地调动学生的学习积极性，真正实现教学活动的“双中心”。 68三、“善于优化”与数学教学 1. “优化”对于数学学习的特殊重要性。69例10 算术方法到代数方法

23、的比较“四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远，更不能腾飞可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞。（吴文俊）70例11 （自然数）加法的几个不同水平第一 ，从头数起（count all）；第二， “简化的计数程序”：（从第一个加数）“继续往后数”（count on）；第三，已知事实的应用。例如，9+7=（9+1）+6=10+6=16 71进一步的发展（1）计算方法的重要进步：由通过计数来完成计算过渡到竖式计算。（2）心理图象的重要变化：由“组合式多重单位”向“序列式多重单

24、位”的转变。在前一种情况，各个单位，如十、百、千等，都被看成是由最基本的单位（“个”）依次组合而成的，也正因此，与任一多位数相对应的就都是一种“组合式”的心理图像；在后一种情况下，所说的十、百、千等则已构成了相对独立的认识单位。 72从数学思维的角度看数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者不仅导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构等等；数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式

25、（包括符号等）作出改进？等等。 73结论应当明确肯定“优化”对于数学学习的特殊重要性，这就是数学思维十分重要的一个特征。74关键：对于“优化”涵义的全面认识显性层面：方法的改进；结论的推广；更好的表述方法的引入；隐性层面，观念的更新，新的品格的养成；75更为深入的分析数学中所谓的“语言”的优化，又不仅是指由“非数学语言”向纯粹的“数学语言”的过渡，还包括有更为广泛的涵义，即如词语的扩展、功能的强化（更加精确、强大，以及由单纯的交流过渡到论证的功能），乃至语言基本性质的变化：语言的“非个性化”、“客观化”与“标准化”（欧内斯特语）等。76另一相关的思考什么是学生数学思维发展过程的主要形式，是“同

26、化”还是“顺应”？应有的认识：数学思维的发展同时包括了“水平方向”上的发展与“垂直方向”上的发展。77相关的论述 “数学的学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。” （M. Artique，2004）由此可见，观念的必要更新也是数学中“优化”的又一重要涵义。78相关的历史事实从发现负数到普遍地接受负数，也即将此真正当作数来使用，其间差不多经过了500年；从发现虚数到它得到一般承认，中间也经历了250年。结论：观念的更新并不容易。79结论数学学习主要是一个文化继承的过程，我们更应清楚地看到数学思维与相应的“情感、态度与价值”的后天获得性，教师并应

27、在这一过程中发挥重要的作用。应当全面和深入地认识数学中“优化”的具体涵义。802. 教学中如何实现“优化”？关键：如何能够使得“优化”真正成为学生的自觉行为，而不是外部的强制规范。81例12 “问题解决”的教学（解题策略：画图）问题：动物车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增加了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略82教学中的常态首先要求各个学生相对独立地通过画图去求解问题其次，为了实现学生间的积极互动，教师通常又会要求一些学生向全班展示自己的画图方法。问题：我们在课堂上是否应当让尽可能多的学生向其它学生展示自己的画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？83 例13

28、用2-6的乘法口诀求商教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？几种不同的解决方法：（1）实物操作；（2）用乘法口诀求商；（3）采用“连减”的方法；（4）采用“连加”的方法。84教学实录（片段）师：请小朋友看黑黑板，现在有这么多种方法来算123，你最喜欢哪种方法？生：我喜欢减法，因为它最特殊。师：不觉得它很麻烦吗？生：不麻烦！师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？生：我最喜欢加法。师：为什么？生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。85师：（无奈地指着用乘法口诀求商的方法）有没有喜欢用这种方法的？有少部分学生响应。师：其实，用乘法口诀求商是最简便的方法。以后我们做除法时，就用这种方法

29、来做。86回顾：教学中如何实现“优化”？关键与难点：如何能够使得“优化”真正成为学生的自觉行为，而不是外部的强制规范。一些特别重要的环节：（1）多元化；（2）比较；（3）反思。 87进一步的分析多元化显然应当被看成优化、特别是比较的必要前提，从而，我们在教学中就不应为了“多元化”而多元化，更不是越多越好！比较的主要功能：诱发反思与总结，从而就能自觉地去实现优化。 88例14 “估算教学实录”（吴正宪） 引入（1）：“青青和妈妈一起到超市购物，一共买了五种商品，妈妈带了200元钱，不知够不够？”。引入（2）：“曹冲称象：六次称石头所得出的重量分别为328、346、307、377、398和352斤

30、。大象大概重多少？”89教学实录教师以实例为背景并通过实际估算和交流总结清楚地展示了估算方法的多样性。几种不同的估算方法：生1采取了所谓的“小估”、即是往小里估的方法3006=1800；生2采取了大估、也即往大里估的方法： 4006=2400：也有学生（生3）坚持认为精确计算要比估算好。 90教学实录师：“我们继续研究，精确值是2108千克。同学们，看着这个精确计算的结果，再看看同学们估的结果：2400，2100，2080，1800此时此刻，你想对刚才自己的估算结果作一点评价或思考吗？”91生1：“我估的是1800。我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是398，我把它估成300了，与实际结果差

31、的就远些了，现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了。”师：“你很善于思考，其实你估的结果已经可以了，但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。”92师：“大估在哪呢？你一定由感而发，说说看。”生：“我感觉我估大了。我把307这样的数看成400了，估得有些远了。如果缩小一点，可能就估得准一点。我很佩服凑调估，人家在估算中还能调整调整，这样估比较接近准确值。”93师：“其实你已经很不错了，你不仅主动地反思自己结果离得远了点，更让我感动的是你还在反思中发自内心地去欣赏别人，发现同学们好的方法，这样学习进步会更快。”师：“好了，同学们，你们做出了很好的自我评价。那么，用

32、精算的那两个同学你们算对了吗？”94生3：“我觉得这些数相加的确不是很好算，再说求大象的体重，没有必要精算。我那样一个数一个数的算太麻烦了，太慢了。这时用估算还是比我的方法好。”师：“你发现这里就问你大象大概重多少不需要精算，估算就得了呗，是吧？（生1点头）感谢你！”95一个具体建议教师在必要时并可通过适当的举例与提问以促进学生的总结与反思。“三项基本功”的辩证关系：优化是目标；适当的举例与提问则是实现这一目标的有效手段。96必要的提醒应当防止强制的统一；恰恰相反，我们教学中应当允许一定的“路径差”与“时间差”，但同时又应坚持“优化”这样一个目标。一些相关的提法：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹的引导”。教学工作艺术性的又一重要体现。97小结“优化”是数学学习的基本形式。我们并应联系数学教育的基本目标更为深入