03刚体的定轴转动

1、第三章刚体的定轴转动刚体：形状和大小不变的物体（理想模型）31 刚体的平动和转动一、平动：刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中，保持原方向不变。通常以质心 (刚体的质量分布中心)的运动来代表整个刚体的运动。二、转动：刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动。 如果转轴固定不动，就称定轴转动。通常刚体的运动可分解成.平动和转动的演示三、质心、 质心运动定律1、质心：质点系的质量中心质点系N个质点质量：m1m2m3 mi mNv r vrv v r v r:123iNr质心的：(m为总质量)质心的随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的相对位置是固定的。mrmrv iiiiiic mmii分量式为：

2、质量连续分布时：对称物体的对称中心就是物体的质心。x xdmy ydmz zdmcmcmcm mi xi mi yi mi zixc iyc izc immm例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，以表示线密度，dm=dl.分析得质心应在y轴上。注意：质心不在铁丝上。2Q m R y c R y ydly R sin dl Rd cmy1R sin Rd 1 2 R 2cm 0m2、质心运动定律 d rc dt 1md ri dt 1miivmm vciii mvc mi vi PP mvci质点系的总动量等于它的总质量与它的

3、质心的运动速度的乘积。系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。Fv dp m dv c m av合外dtdtcFv m av合外c质心运动定律： mi r i rr i cm 32刚体的定轴转动一、介绍几个物理量rad 角位置角位移角速度(一般定逆时针为正)l i m drad .s 1 td t t 0 d d 2 limrad . s-2角加速度t2dtt 0dtR二、线量与角量的关系a dv R dtv 22an R Rv R3-33-83-7几种常见刚体的转动惯量：L12J mL3细棒mL1mL2J 细棒m12薄圆环或薄圆筒J mR 2Rm圆盘或圆柱体J 1 mR 2

4、Rm2薄球壳球体J 2 mR 2RRmJ 2 mR 2m35右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、质量为M,圆半径为 R 、质量为m）J 1 ML2 1 m R2 m (L R)232J J md22cJ 1 ML213J 1 m R2c2四、刚体定轴转动定律1、力矩（力F 对转轴的力矩）M rr FoFr注意Fr在垂直于转轴的平面内。F若不在则将 F 分解,只有垂直于转轴的分量对转 轴才有力矩。or2、刚体定轴r转动第一定律由 F 0时v 恒量r 恒量a 0r 0M 0 时类比有刚体所受的合外力矩为零时，将保持原有的运动状态不变(作匀速转动)。由Fra mr3、

5、定轴转动第二定律r J类比有角加速度大小与合外力矩成正比。方向与合外力矩的方向相同。Frd Pdv转动方程m arm由dtr dtrrrd L dtd dt J J类比有五、刚体定轴转动的转动定律的应用例：一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物mg体由下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。解：MRTm对: mgma aR对M：力矩TRJJ1 22ma g解方程得：m M2 v 1 4mgh RR2m Mv 2ah 4mgh2m M例1.在半径为R, J = 1 mR2的圆轮上挂一细绳,细绳两2的 ？端各挂两

6、物 m1m2.求两物的 a及解：m1、m2可作为质点处理，作刚体处理。各物受力情况如图 T1T2根据定律.动画T1T1g T1 mm11a( 2m2g T2 mT2T2a)根据定轴转动定律T1 RT 2R Ja联立ma R1m2m1m2a gg R解得m g1 mm1m212m gm1m22 y1 mm1m2211例：转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为 ，此后飞轮制动，阻力矩M =k 2 ，求：0（1） 1 时，角加速度。03 1 （2）从开始制动到经过的时间。03 k 2k02M Jd dt 解：（1）Jk 29Jd t k dt00(2) 2JJ1 1 k t0J将 1 2J代

7、入. 得t k030五、转动中的功和能1、力矩的功 d rrdAFFcosds F cos rd Q F cos r F cos r M dA Md Fvds A Md2P1drO力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。x2、刚体定轴转动的动能定理刚体上所有质元的动能之和为：力矩做功导致刚体定轴转动的动能变化.Md 21 2d Jdtd 1由 M J ddt1 ( mr 2 ) 2 1 J 22ii2iE K2 m i v i2 m i ( ri )1212iiMd 21d dt2Jdt12J 1d 1212J 2J 221上式即为： A EK 2EK 1合外力矩对刚体所做的功等于刚体

8、的转动动能的增量。定轴转动的动能定理。 2d Jdtd 13、刚体的重力势能h一个质元mm整个刚体：hiChcOx刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。4、机械能守恒如只有保守内力作功,则系统的机械能守恒。g ( m i h i ) mghc iE P 重 m i g h ii： m i gh i上次的例题另解如下：例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：mvR 可解出 v 4 mgh2 m Mgh1 2J 1 mv

9、222六、角动量、角动量定理和角动量守恒定律1、刚体的角动量质点对点的角动量为：刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J 和角速度 的乘积。p mvL Li ( m i ri) J 2iiL r m v r 2m iiiiiiL r P r m v2、刚体的角动量定理ZA：微分形式：mj对质点组:rrjfij fjimoiOriiMv d L外dt ( M i外 M i内 )i M 合外 0vd Lrd L ivM M dtidtiiM i M i 外 M i内Mvd L i idtMv d L dt2、刚体的

10、角动量定理 d (J ) dLM J J ddtdtdt角动量定理的微分形式积分形式外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。L J2 J1J不变时,L J 2 2 J11J也改变时,Mdt dLt Mdt L2dL L L L0L1213、角动量守恒定律在M dL 中，若M 0,则L 常量.即L 0dtL不变的含义为：刚体：J不变非刚体：J不变M=0的原因，可能F0；r=0;Fr.在定轴转动中还有M0，但它与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。例:两力作用在一个有固定转轴的刚体上*两力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零。*两力都垂直于轴作用时，它们对轴的合

11、力矩可能是零。*两力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零。*两力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。,一质量为m的例1、以水平速度射入一悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.解:以f代表棒对的阻力,对有:f对棒的反作用力对棒的冲量矩为：MfJf f 由两式得因,v0mvldt l fdt3dtm( v 0) v4 mv 0lM请问:为什么?和棒的总动量守恒吗?不总角动量守恒吗?若守恒,其方程vmv0应如何写?守恒mvmvll 12l 0 M3 3mv0l 9 mv 0 这里J 1M24 J4Ml3例2、，将单摆和一等长的匀质直杆无摩

12、擦地悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度，令它自状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。clhclmh=3h0/2hoha解:碰撞前单摆摆锤的速度为bv0 2 g0h令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:1m (v v2 ) 1 J22022v3 v二式联立解得：v , 0022 lh 0h 按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为41J 而杆的质心达到的高度满足2mghc2由此得h 2 h 3 h 0 c2ml( v v ) J , 式中J1ml2 03例3. 如图，

13、质量为 M 半径为 R 的转台初始角速度为 0 ,有一质量为m 的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度 u 沿半径向边缘走去,求人走了t时间后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）解：设 t 时刻人走到距转台中心r = ut 处，转台的角速度为 .人与转台系统对轴角动量守恒uRrM R2 ( M R2 mu2t 2 )02 2tt d dt 02 dt202mut0001 221 2mu tMR2ut(2m )12MR2R0M arctanQ d dtu(2m )12R19M刚体定轴转动与质点一维运动的对比质点一维运动刚体定轴转动xv d位移速度 加速度质量力角位移角速度 角加速度dx dt2 d d dt dvd 2 xa dtdt 2dtdt 22m转动惯量 J rdmM r FF力矩F maM J转动定律运动定律p mv质心p mv动量角动量动量角动量J LiL r prrtt2Mdt L L JJFdt mv mv1角动量定理2动量定理2121t12t1 F 0 时M 0时角