赫姆霍兹共振器的内部阻抗对外壳中声能量减少的效果

1、外壳中赫姆霍兹共振器的内部阻抗对消声性的影响摘要：本文对外売中赫姆霍兹共振器的内部阻抗对消声性的影响和多模态耦合式 赫姆霍兹共振器的设计进行了研究。运用了 了一个共振器一外壳交互模型的分析 解，在频带宽中定义了一个能量减小指数，定义能量减小指数是为了得到一个最 佳的共振器内部阻抗，共振器的耗散能屋和辐射能星这两个双重过程在本文中被 定量的表达了出來，共振器最佳阻抗和它对谐振器一外壳交互模型的影响被数值 的估计了出来，并且将它在频宽带上进行了分类。通过实验，预测的共振器的性 能被证实了，在本文中也完成了在不同标准的基础上与现有的模型进行的比较。 本文也展示了为了完成在包括声共振的频率中声咅的减少

2、，被提议的模型作为一 个有效的用来决定共振器内部阻抗的工具。I 引言对赫姆霍兹共振器的研究已经引起很多年持续的兴趣，这个可以从现今大量 的文献來证明。一方面，赫姆霍兹共振器被广泛的应用到在各种系统屮控制噪声 的传播，如：导管，圆柱外壳，双而板。另一方面，人们也将赫姆霍兹共振器用 来作为一个声音放大设备用来执行不同类型的声能最转换，这种用途可以在一些 非常近期的工作中看到。如果不考虑实际应用的情况，设计一个具有合适特性的 共振器依然是一个关键问题，在这个问题上的努力不仅在对预测模态的发展上也 在赫姆霍兹共振器的设计和实现上。早期的工作涉及赫姆霍兹共振器耦合到外壳，可以追溯到Van Leeuwan

3、提出 的在以电路类比的基础上设计一个图表，。由于赫姆霍兹共振器的简单性，它通 常被用來在外壳中控制噪音，我们也可以看出Van leeuwan提出的设计一个图表 可能导致同实验中的外壳的共振会有一个明显的差异。随后，Fahy和Schofield 通过考虑单一的共振器和单一的感兴趣的外壳模态之间的耦合提出了另一个模 型改进了 Van leeuwan的工作。通过共振器在目标频率中声能星耗散的最大值, 一个用來决定共振器力学品质因素的公式被提了出来。尽管他们已经很谨慎了， 然而，用他们的公式设计出來的共振器不能在外壳里面共振频率周伟1导致声斥级 减小的最大值。为了在共振频率周用覆盖一个小的频率范圉，我

4、们姑且称它为带 宽。他们使频宽带中主要的顶心相等进而提供一个决定共振器力学品质因素的方 M式。另外，他们的工作中，在共振器中运用了三个类型不同的阻尼材料，用来 改进能量的耗散和扩展工作频宽带。实验结果显示:共振器的性能因过大和过小 的共振器阻尼的影响而被降低，只有合适的阻尼材料才能使共振器在外壳屮共振 频率周围达到一个最佳的声压级减少。最近，Slaton和Zeegers在研究赫姆霍兹 共振器阻尼的流动一导管体系时，得到了一个相似的结果，在他们的实验中清晰 显示了确实存在一个共振器阻抗的最佳值。Fahy和Schofield的研究的最主要之 处是：在指导共振器设计方面提供了一个具有长远眼光的信息，

5、他们也在赫姆霍 兹共振器的设计上建立了一个里程碑，缺至仃到今人我们依然在用，与此同时, 他们的工作也显示了，从普遍的模态到共振器和外売的多个声模态之间计算声的 相互作用的必要性，以期待将来增加对共振器性能的控制，随着对外壳多模态的 考虑,Cummings将Fahy和Schofield的模型扩展到多模态共振器,通过认为共 振器为一个近似的球脉冲源，球面平均声压的特点，使得在方程的建立当中躲避 了奇点的问题并且这种等效成球脉冲源的方法，使得在预测耦合频率和测量耦合 频率Z间减少一个大的差异。最近，Li Cheng提出来了一个新的模型，目的是为 了分析声共振排列和外壳多模态之间的相互作用。和Cumm

6、ings的研究不同，为 了得到模态的反应，他们解决了在外壳里面的曲互作用方程，并且运用模态的反 应来找到共振器孔口处的声压，当计算以点声源为中心并通过它门己进行的辐射 的声压时，同样也躲避了在Cummings的研究中遇到的奇点问题。将理论结果和 实验结果进行对比发现，Li Cheng提出的模型在建立真正多模态上提供了一个很 好的近似。尽管过去一直持续的努力，但研究仍旧需要一种方法和工具來实现最佳的赫 姆霍兹共振器的设计，现今仍然涉及广泛的试验一错误基础上的实验测量，众所 周知的，共振器和外壳的相互作用一方面是通过能最的耗散，另一方面是通过辐 射能量返回外壳。这两种效果Z间清晰的界限和定量表示可

7、能是解释设计最佳共 振器这项工作的关键元素之一。另一方面插入的声共振器在原始共振顶点周围产 生了一个新的顶点，一个理想共振器的设计应该是目标频宽带应包括目标和耦合 顶点，紧接着扩大研究的频宽带，在共振器上多模态耦合的效果可能需要一个定 量表示和在设计过程中以某种方法考虑。不幸的是直到现在，这些问题没有得到 全而的研究，主要是由于掌握可靠数据的匮乏和模态的单一。Li和Cheng所提出的模态承认当只涉及一个赫姆霍兹共振器的时候有解析解, 本文提供了一个为解决上述问题的机会，本文尝试解决这独一无二的模态特征和 在以下儿个方面做了贡献：（1）当耦合到外壳的多模态时，共振器的能星辐射和 耗散的结果的体系

8、界限和定量表达。（2）共振器内部阻抗的确定，以确保在目标 共振频率周围的频宽带中外壳里面声能最减小的最大值，随着实验的证实。（3） 频宽带的冲击的定量表达和模态耦合对共振器设计作用。（4）通过和现今模态的 对比重新估计存在的模态。这些分析相信阐明了在赫姆霍兹共振器影响下的物理 现象和为了在外壳中声能量减少而运用现有的知识设计的赫姆霍兹共振器而带 来了重大意义的改善。1【理论研究之下的体系包括一个刚性的声音外壳镶嵌着一个经典的赫姆霍兹共振 器。共振器由一个体积为vR的空腔连着一个面积为sR有效长度为lR的颈，由图 1中可以看到，全文中上标和下标e, r, s分別代表外壳，共振器，声源，在这 一段

9、中，在分析解的基础上建立了能量减少指数，依靠共振器的内部阻抗，推导 了赫姆霍兹共振器中耗散能量和辐射能量的计算公式。A.赫姆霍兹共振器中的能量辐射和耗散。当在外壳中安装一个共振器时会有一个最主要的声源（这里说共振器为主要 声源可能是在计算辐射能量时是要关闭扬肖器的，所以说它为主要的声源，不知 道这样理解是否正确），在共振器颈中集中质量的振动辐射声能量到外壳中，导 致了与外壳中声能量的相互作用，同时共振器颈中也产生能量耗散，这两个过程 同时发生，并且它依靠共振器的属性，特别是颈中粒子速度的强度和共振器的阻 抗，集中质量服从牛顿第二定律，外壳中的声压由波动方程支配。然后乂假设所 有变量依赖时间是谐

10、波，外壳中的扩展声压可以用pj（r）为基失展开，并应用正 交特性，Cf的解析解的方向由共振器到外壳，并给了 Cf,片的公式，并解释了 公式中个符号的意思。介绍了方程（2）给出的重要信息，并介绍了方程（2）两部分分别是由什么 引起的。和期待的一样，共振器和所有其它的外壳模态相耦合，如果外壳目标模 态与其它模态相分离则这些模态和共振器之间的相互作用可以忽略，相反的，一 个高的模态密度或者一个大的感兴趣的频宽带，则必须考虑共振器和外壳多模态 之间的相互作用，如果控制共振器的性能可以在带宽中被估算的话则有相同的应 用。方程（2）显示，当共振器的位置被确定的话内部阻抗可以通过AR计算出 來，在决定共振器

11、影响的时候扮演一个重要的角色，并且指出过高阻抗的话，共 振器是无用的，过低的话会是aR在共振频率内趋于无穷大，当插入共振器后， 在耦合频率外导致一个不可接受过高的振幅，以上两种情形都不是我们所期望的, 因此，需要进一步研究和选择合适的内部阻抗。共振器孔径发出來的辐射能量。共振器的辐射能量是由关闭在外壳中最主要声源而决定的，这种情况下 仅仅是共振器颈中集中质最的振动作为声源，并且另方程（2）中的QS为0, 从而得到了由共振器辐射单独引起的模态声斥反应Pj的方程（3）,并解释了 方程（3）中Ph的由來，又给出了被共振器辐射单独引起的声压的表达式即 方程（4）0在一个典型的声场中，埔的波动与声压比起

12、来是很小的，因此，爛的偏 离所带來的影响是可以忽略的。乂给出了在一周期内共振器辐射能量的表达 式即方程（5）,并给出了方程（5a）中各符号所代表的意思，并且给出了 Wd 的详细表达式。然后乂从另一个角度即在外壳边界和外壳里而增加能量的耗 散导致热传导和粘性阻力的角度给出了 Wd的表达式，并逐个解释了方程（5c） 中各符号所代表的意思。这一段主要介绍了声能量的时间平均W按体积V展开的积分表达式即方 程（6）, 乂阐述了方程（6）中前后两项代表的意思，如果考虑体积V为整个 外壳体积则方程（6）可写成方程（7）。通过共振器的耗散能量。首先给出了在一周期内耗散能量的表达式方程（8）,然后对方程（8）

13、进行了一系列的推导，并指出仅仅考虑一个目标模态时，方程（17）和Refll 中的表达式是一样的。B.赫姆霍兹共振器平均带宽性能的量化。在接近目标频率时为了达到一个很好的控制性能，我们在目标频率周围的频宽带 中定义了一个“能量减小指数”，它经常被用来作为一个客观参最来决定共振器 的最佳阻抗。以上在方程（2）中也得到了模态的声圧反应，方程（6）中乂给出 了外壳中声能星的表达式，这段乂给出了在频宽带Wi,W2中平均能量的表达式方 程（18）,又阐述了W】,W2的选取在接近最初的目标共振顶点中要包括主要频率 组成部分，并阐述了体积既可以是本地的体积也可以是整个外壳的体积，并给出 了能暈减少指数的表达式

14、。III.仿真和实验确认。在数字仿真和实验中用到了图2中一个正平行六面体的外壳，给了长宽高，外壳 由六个夹板组成，其中五个是连在一起的形成一个空腔，一个是可以移动的用来 覆盖。为了防止一些缺陷，在固定板和移动板Z间使用了隔音条，硅胶化体也被 用到了各个固定板的连接处，在（100,59） mm处挖了一个100*100mm2的洞，安 装一个扬声器，作为在外壳中最主要的声源，安装共振器之前，从测量频率反应 函数中得到了外壳中的力学品质因素（Table 1）：每个模态的力学品质因素可以 用共振器频率除以带宽。由于在高频中增加了模态的密度，所以高模态的力学品 质因素猜想为45,这个值和测星模态（2,0丄

15、）时得到的力学品质因素是一样的。 又给定了温度，湿度和声速和空气密度。给定了仿真当屮的目标模态即预测频率为228.4M的（1,U/L）模态，被设计 的赫姆霍兹共振器也具有228.4Hz的频率，乂给了颈部的直径和长度，乂给了共 振器主干的内部直径和长度，共振器被安装到(100,300,0)处。在仿真中，用了外壳216模态，Refl4中给出了外壳的正交函数pj有一个热 粘性阻力边界条件，在Table中显示了计算出來的13个自然频率。任意估算了 一个点(816,70,1028) mm的外壳声斥级。在Fig3中显示了在相同的地方没有共 振器时的预测声压级线。图中4个主要顶点与前4个模态相对应。实验确认

16、。首先论证和实验确认了以228.4Hz，20Hz为带宽的共振器内部阻抗的效果, 通过选择三个不同阻抗值。声圧级的变化在Fig4中显示出来，并且在Fig4中 和没有共振器时进行对比。注意到与 曙3.82札I对应的事例得到的,作为一个 最佳的结果，这个会在secIIlB中详细讨论，Fig4中可以看到当共振器由一个 最佳的阻抗值R产3.82时，声压级会减少5。8分贝，当阻抗值增加到9.62时 共振器的性能会恶化，导致了只有4.5分贝的声床级减少。当一个很小的共 振器阻尼时(Ri=2.25)两个尖锐的峰值会出现，这是不可接受的，因为在研 究的频宽带中要求整体的声压级减少。实验的测量确认了以上的测量结果

17、和模拟相似。在测最自然频率225Hz，外 壳模态(1A1)被选为冃标模态，三个共振器都具有225Hz的共振频率，但 具有不同的内部阻抗，分别设计，组装，发声，安装。在共振器的颈部插入 一个薄的阻尼材料，用來产生不同的内部阻抗，对每个不同的例子，从测量 频率反应曲线中共振器的力学品质因素首先被确定了下來，力学品质因素经 常被用来计算共振器的内部阻抗。不同于仿真中用到的，在现实中很难组装 一个精确相同的最佳内部阻抗值，最佳的结构和仿真中用到的有轻微的不同， 然后说明了叶2.25低于理论上Rpt=3.82所决定的最佳值，R产3.59接近，而 Ri=9.62 过高。本段阐述了在(816,70,1028

18、) mm处插入一个麦克风，用来收集外壳中的声床 级，Fig5描绘了测量得到的声圧级曲线。并指出和预期的结果相似，R产3.59 比其它两个要接近最佳值，声压级减少了 3。74分贝，对比Fig5和Fig4发现 了一个相同的趋势，当阻抗是最佳值或者接近最佳值时噪声的减少是最大的 和在共振频率上的极值是相对半稳的，例如在频宽带电导致总体的声音减少。 当阻抗比最佳值低的多的时候，插入的共振器会产生两个显苦的顶点，会在 频宽带内影响共振器减弱声咅的能力，在这个例子中大部分的能量辐射回了 外壳中，小部分的能量被共振器耗散掉了。过高的阻抗值也会危害共振器的 作用效果，这种属性导致共振器的孔径有了一个低的活动性

19、。因此，共振器 和外壳不能有效的耦合，大致的说，预测的数据和实验的数据是相吻合的， 因此，对于共振器的设计模态是可靠的。分析阻抗对消声性的影响为了达到最优，228.4Hz为中心20赫兹范围内的频宽带首先被选择作为研 究的频宽带。在仿真中阻抗从0.55到50之间不同的选择，随着不同的阻 抗值，声能最减少可以由方程(19)来计算。并且耗散能最和辐射能最在 测量外壳力学品质因素的基础上可以由方程(5a)-(5c)和(13)分别來计算。 注意声能量W由方程(17)來计算，与阻抗相对应Fig (6a)-6c分别代表 了外壳中的声能量减少，平均耗散能最和平均辐射能最，在图6a中可以 看到当R.=3.82时

20、，声能最减少了最大的3分贝，它可以提供作为最佳值， 一个相同变量趋势在Fig6屮显示了出來，除了最大的耗散能量发声在R冃.99外,比Fig6a决定的最佳值高了百分之四,这就证实了,在这考虑 的频宽内，共振器对能星减少的彤响主要是通过耗散能力的大小來判断的。 Fig6b和Fig6c也显示了共振器和外壳之间的强有力的耦合发生在低的R. 值中，从共振器孔径中声音辐射的有效性中可以得到证实，意思是更多的 能量从孔径返回到了外壳中。当&增加时，更多的能量被共振器耗散了 和辐射能量大大的减少了，过高的內使孔径振动人大的减少，结果能量 传输到共振器，因此，耗散能量和辐射能量是相妥协的。频宽带的影响选取一个可

21、以覆盖最初的共振顶点和由于插入共振器而出现的新顶点的 20赫兹的频带宽，如果用一个窄的频宽带，我们可以看出它对赫姆霍兹 共振器的物理效应会和最佳阻抗一样将产生一个意义深远的冲击，这个问 题将在本段中系统的研究。选取了一个以228.4赫兹为中心，0.230赫兹范围内的频宽带，对于-每 个频率，共振器内部阻抗可以由两种不同的方式得到，第一种是在每个频 带里可以由最大声能量减少來决定，导致所谓的最佳阻抗Rpt，第二种是 被最大的耗散能量所决定,通过Rdis表示阻抗值。Rpt和Rdk在Fig7中进 行了对比。为了更好的量化频宽带对Rpt的影响，Fig7分离了三个地域， 和参考两个新出现顶点一半的频宽带

22、（用心2和fs-f4表示），又阐述了 地带3是相对较大的频宽带，包含了前边研究的20赫兹那个事例中的两 个新顶点。在这个地带里汕巩遭受一个轻微的改变，相对的接近Rdis，应 当注意的是，在这个例子中，Rpt的精确值不能简单的作为决定共振器最 大的能量耗散的值，以前在Fig6中讨论过。和地带3相反，地带1对应 一个窄的频宽带，仅仅覆盖了最原始的共振顶点，可以看出Rpt是相对低 的，对应一个较轻的阻尼共振，同Rdk是大不相同的，一个低的Rpt并且 耳Rdk显然不同，这些暗示共振器的耗散变得非常弱，同时辐射非常的强， 结果导致共振器和外壳之间有一个强烈的相互作用，在这个事例中，目标 共振顶点很尖锐的

23、分裂成两个相互接近的顶点，前面Fig4中已经俐述了。 与此同时，在外壳的目标共振中的反应水平在创造两个顶点上是大大的减 少。地带2在两个耦合顶点Z间，是从窄频带带宽频带的一个过渡，在这 个地带中，Rpt遭受一个剧烈的改变，迅速的接近Rd，当频宽带增加时， 暗示能最耗散增加的重要性。模态耦合的影响。以前也有提及，为了设计赫姆霍兹共振器，考虑从当前外壳中单一模态到 多模态，展示这个是必要的，模态耦合的作用在本段中进行了研究。Fig8a向我们展示了以228.4赫兹为中心，20赫兹为范用内的Rpt曲线， 可以看出，只有一个充分的外壳模态数被考虑时Rpt才会集中，这就暗示， 仅仅考虑目标模态或者一个有限

24、的外壳模态不能得到一个可信赖的Ropto 由于选择的频宽带代替一个特殊的频率作为优化性能目标，所示这种现象 是显然的。这就不可避免的增强了更远拒离模态的作用，另一个貌似有理 的解释是基于插入共振器使模态耦A增强的基础上。这假设可以由检査在 共振器安装前后外壳里的能星波动來确定，为此，我们定义了能星波动即 方程（20）,随后介绍了方程（20）中各符号代表的意义。因为在频率和 外壳体积中的整合，能最波动反映了预测声圧领域到频率和空间领域屮的 集合状态（怎么理解）的偏离，随后解释了 Fig8b中两曲线的含义，最后 做出总结即：当没有共振器时能量波动在外壳中快速的集中，表示仅仅一 个小的外壳模态数贡献

25、给了系统，当插入共振器时，更多的模态被激活, 这就暗示插入的共振器可以在外壳模态中通过与共振器有效的相互作用 增强模态耦合强度，被方程（2）的第二项所反映。因此得出结论，在设 计共振器时考虑多模态耦合是必须的。当研究一个频带所期待的性能时可 以推测，如果研究的频带变窄的话，耦合效果将要明显的减弱。C.与Fahy和Schofield模型作对比拿本文提出的模态和Fahy和Schofield提出的模态作比较是必须的。在模 态分离的假设下，Fahy和Schofield提出两种方法来决定共振器内部阻抗。（A） 控制共振的方法，共振器的目标共振频率的耗散能量是最大的，导致方程（21） 和设计一个图表來选择Cf。（B）控制频率的方法，在新的耦合频率和原始共振 频率上的模态反应是等价的，所以导出了方程（22）。当前的工作与Fahy和Schofield的工作大致有两个方面的不同考虑多模 态耦合，2,运用了不同的最佳客观函数