数学建模,第一章 数学模型概论

1、数学建模（Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室能力上的锻炼观察能力、分析能力、归纳能力和数据处理能力在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领Google图书馆方法多思考分析实践 黑龙江科技学院 数 学 建 模 激发兴趣、介绍方法、培养能力、学有所用开设课程的目的 理学院预备技能数学知识分析，代数，几何，概论，统计，优化软件使用Microsoft Word, Visio, LaTeXMatlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo编程C/C+GUI Programming 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院第一

2、章 数学模型概论 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院一些简单的实例数学模型概论第一章数学建模的重要意义数学建模的方法和步骤重点:数学建模的思想、方法、步骤难点:数学建模的方法、步骤和实例从现实对象到具体模型 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院怎样学习数学建模、数学建模竞赛我们从小就接触过数学模型：应用题“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？”物体“从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？”数学竞赛 黑龙江科技学院 数 学 建 模 数学模型早就知1.1 从现实对象到数学模型 理学院1. 手机电话卡的选择已知：

3、全球通电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金。问：选择哪种卡比较省钱？生活中的问题 黑龙江科技学院 数 学 建 模 2. 银行问题去中国工商银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快的经历。我平均每次去取钱都至少要花上半个小时的时间，这促使我考虑是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率。 理学院3.打水问题每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期

4、霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60 分钟方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，

5、这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征我们常见的模型你碰到过的数学模型“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解 黑龙

6、江科技学院 数 学 建 模 理学院航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、

7、求解、解释、检验等）数学模型数学建模 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 数学建模的基本方法机理分析测试分析根据

8、对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.3 数学建模的方法和步骤 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化

9、之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用 数学建模的一般步骤 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象

10、用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？ 似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会

11、合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？ 黑龙江科技学院 数 学 建 模 1.4 一些简单的实例 理学院例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证

12、明） 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶

13、过的路程 ，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D）/v。 DL 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例4 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远

14、方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 Zn(n1)n(n1)由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少有点出人意料。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例5 某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的 C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车次多些吗？请你帮

15、助他找一下原因AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。 由于距离不同，设 A到C行驶31分钟，B到C要行驶 30分钟，考察一个时间长度 为10分钟的区间，例如，可以从 A方向来的车驶 离C站时开始，在其后的 9分钟内到达的乘客见到先来的车均为 B开往A的，仅有最 后1分钟到达的乘客才见到 由A来的车先到。由此可见，如果此人 到C站等车的时间是随机的，则他先遇 上B方向来的车的概率为 90% 。 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院例6 商人们怎样安全过河问题(智力游戏) 3名商人 3名随从随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案

16、由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人) 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1,

17、2 允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策问题 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院模型求解xy3322110 穷举法 编程上机 图解法状态s=(x,y) 16个格点 10个 点允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,

18、2,3; x=y=1,2 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院1.5 怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院怎样撰写数学建模的论文？1、题目。简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分2、作者。注明地址 （邮编） 3、摘要。 摘要应包括以下内容：所研究的问题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。需要概括、简练的语言反映这些内容，尤其是突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算

19、法、合理的推广等。4、主要变量及其符号和计量单位说明 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院5、问题分析与重述。不要抄原题，应把握住问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。6、模型假设7、分析与建立模型8、模型求解9、模型检验10、模型评价与推广11 、参考文献 。 作者 文献名 地址 出版社 时间12、附录 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)全国大学生数学建模竞赛 http:/ 全国高校规模最大的课外科技活动 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院数学建模竞赛

20、(Mathematical Contest in Modeling)简介内容 赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛 可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院年A题B题C题D题2000DNA序列分类钢管订购和运输飞越北极空洞探测2001血管的三维重建公交车调度基金使用计划

21、公交车调度2002车灯线光源的优化设计彩票中的数学车灯线光源的计算赛程安排2003SARS的传播露天矿生产的车辆安排SARS的传播抢渡长江2004奥运会临时超市网点设计电力市场的输电阻塞管理饮酒驾车公务员招聘全国大学生数学建模竞赛近5年的题目（本科队从A, B题中选一题，专科队从C, D题中选一题 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院2005A题： 长江水质的评价和预测B题： DVD在线租赁2006A题:出版社的资源配置B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007A 人口预测问题B题：乘公交，看奥运 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院美国大学生数学建模竞赛 (MCM)1985年开始举办，每年一次(2月)现称“国际竞赛”