2023届高三数学一轮复习课时过关检测(36)平面向量的数量积及应用

1、课时过关检测(三十六) 平面向量的数量积及应用A级基础达标1向量a(1,2)，b(x,1)若(ab)(ab)，则x()A2Beq r(2)C2D2解析：C法一：ab(1x,3)，ab(1x,1)，因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，即(1x)(1x)30，解得x2法二：因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|a|b|，所以x2故选C2(2022淄博三模)已知向量a，b满足|a|b|ab|1，则|2ab|()A3Beq r(3)C7Deq r(7)解析：D由已知可得|ab|2a22abb222ab1，则abeq f(1,2)，因此，|2ab|eq r(2ab

2、2)eq r(4a24abb2)eq r(7)故选D3(2022襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10eq r(3) km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()A北偏西30，20 km/hB北偏西60，10eq r(2) km/hC北偏东30，10eq r(2) km/hD北偏东60，20 km/h解析：A如图，船从点O出发，沿eq o(OC,sup7()方向行驶才能垂直到达对岸，|eq o(OA,sup7()|10，|eq o(OB,sup7()|10eq r(3)，则|eq o(OC,sup7()|eq r(|OA|2|OB|2

3、)20，则cosBOCeq f(|eq o(OB,sup7()|,|eq o(OC,sup7()|)eq f(r(3),2)，因为BOC为锐角，故BOC30，故船以20 km/h的速度，以北偏西30的方向行驶，才能垂直到达对岸故选A4(2022金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量eq o(OA,sup7()与eq o(OB,sup7()关于y轴对称，向量a(1,0)，则满足不等式eq o(OA,sup7()2aeq o(AB,sup7()0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为()解析：BA(x，y)，向量eq o(OA,sup7()与eq o(OB,sup7()关于y轴对称，B(x，

4、y)，eq o(AB,sup7()(2x,0)eq o(OA,sup7()2aeq o(AB,sup7()0，x2y22x(x1)2y210，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部故选B5(多选)(2022滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ac)b不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析：BD由于b，c是不共线的向量，因此(ab)c与(ca)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，ab构成三角形，因此B正确；由于(

5、bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的故选B、D6(多选)(2022青岛质检)已知平面向量a(1,2)，b(2,1)，c(2，t)，下列说法正确的是()A若(ab)c，则t6B若(ab)c，则teq f(2,3)C若t1，则cosa，ceq f(4,5)D|ac|3解析：BCab(1,3)，若(ab)c，则t60，所以t6，故A错误；若(ab)c，则23t0，所以teq f(2,3)，故B正确；若t1，则cosa，ceq f(ac,|a|c|)eq f(4,r(5)r(5)eq f(4,5)，故C正确；ac(3

6、，t2)，则|ac|eq r(9t22)3，故D错误故选B、C7在四边形ABCD中，eq o(AC,sup7()(3，1)，eq o(BD,sup7()(2，m)，eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()，则该四边形的面积是_解析：由题意，向量eq o(AC,sup7()(3，1)，eq o(BD,sup7()(2，m)，由eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()，可得eq o(AC,sup7()eq o(BD,sup7()32(1)m0，解得m6，所以四边形的面积为eq f(1,2)|eq o(AC,sup7()|eq o(BD,sup7()|eq f(1,2

7、) eq r(3212)eq r(2262)10答案：108已知向量a，b，其中|a|eq r(3)，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_，a(ab)_解析：由题意，设向量a，b的夹角为，因为|a|eq r(3)，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32eq r(3)cos 0，解得cos eq f(r(3),2)又因为0，所以eq f(,6)，则a(ab)|a|2|a|b|cos 32eq r(3)eq f(r(3),2)6答案：eq f(,6)69(2022淮安模拟)已知平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BADeq f(,3)，平面内动

8、点E，满足|ED|2|EC|，则(eq o(DB,sup7()eq o(DA,sup7()eq o(AE,sup7()的取值范围为_解析：平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BADeq f(,3)，建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2eq r(3)，D(2,2eq r(3)，设E(x，y)，平面内动点E满足|ED|2|EC|，(x2)2(y2eq r(3)24(x5)2(y2eq r(3)2，即(x6)2(y2eq r(3)24，(x6)244x8，(eq o(DB,sup7()eq o(DA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(AB,sup7()eq

9、 o(AE,sup7()(3,0)(x，y)3x12,24答案：12,2410(2022天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|eq o(OC,sup7()|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若eq f(3,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|的最小值；(2)若eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，向量meq o(BC,sup7()，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的值解：(1)设D(t,0)(0t1)，由题意知Ceq blc(rc)(avs4alco1(

10、f(r(2),2)，f(r(2),2)，所以eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)t，f(r(2),2)，所以|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|2eq blc(rc)(avs4alco1(tf(r(2),2)2eq f(1,2)(0t1)，所以当teq f(r(2),2)时，|eq o(OC,sup7()eq o(OD,sup7()|最小，最小值为eq f(r(2),2)(2)由题意得C(cos ，sin )，meq o(BC,sup7()(cos 1，sin )，则mn1cos2sin22

11、sin cos 1cos 2sin 21eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)，因为eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，所以eq f(,4)2eq f(,4)eq f(5,4)，所以当2eq f(,4)eq f(,2)，即eq f(,8)时，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)取得最大值1，即mn取得最小值1eq r(2)所以mn的最小值为1eq r(2)，此时eq f(,8)B级综合应用11(多选)引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量m(x1，y1)，n(x2，y2)，规定mnx1x2y1y2，则对于

12、任意的向量a，b，c，下列说法正确的有()AabbaB(a)b(ab)Ca(bc)(ab)cD|a|b|ab|解析：ABD设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)A项，因为abx1x2y1y2，bax2x1y2y1，所以abba，故正确；B项，因为(a)b(x1)x2(y1)y2(x1x2y1y2)(ab)，故正确；C项，a(bc)(x2x3y2y3)a，(ab)c(x1x2y1y2)c，此时a(bc)(ab)c不恒成立，故错误；D项，因为(|a|b|)2( eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2)2xeq oal(2,1)xe

13、q oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)，|ab|2xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)2x1x2y1y2，所以(|a|b|)2|ab|2xeq oal(2,1)yeq oal(2,2)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)2x1x2y1y2(x1y2x2y1)20，所以(|a|b|)2|ab|20，且|a|b|0，|ab|0，所以|a|b|ab|，故正确，故选A、B、D12(2022本溪模拟)骑自行车

14、是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为eq r(3)，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()的最大值为()A8B2eq r(3)C4eq r(3)D4解析：C以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(8,0)，B(6,2eq r(3)，C(2,2eq r(3)圆D的方程为x2y23，可设P(eq r(3)cos ，eq r(3)sin )，所

15、以eq o(AB,sup7()(2,2eq r(3)，eq o(BP,sup7()(eq r(3)cos 6，eq r(3)sin 2eq r(3)故eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()2eq r(3)cos 126sin 124eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)4eq r(3)故选C13(2022珠海模拟)已知平面向量a(eq r(3)，eq r(3)，则与a夹角为45的一个非零向量b的坐标可以为_(写出满足条件的一个向量即可)解析：设b(x，y)，abeq r(3)xeq r(3)yeq r(6)eq r(x2y2)eq f(r(2

16、),2)，eq r(x2y2)xy，xy0，且b为非零向量，x1，y0满足题意，b(1,0)答案：(1,0)(答案不唯一，满足b(x，y)，xy0且x2y20的任意一个均可)14在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB2CD3，AD2，若EF在线段AB上运动，且EF1，则eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7()的最小值为_解析：如图所示，以A为原点，eq o(AB,sup7()为x轴正方向，eq o(AD,sup7()为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F

17、(t1,0)(0t2)，则eq o(CE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)，2)，eq o(CF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)，2)，eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)，2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)，2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)4(t1)2eq f(15,4)(t0,2)，eq o(CE,sup7()eq o(CF,sup7

18、()的最小值为eq f(15,4)，当且仅当t1时取得答案：eq f(15,4)15如图所示，在矩形ABCD中，AB2，AD1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，E7，自左到右依次记作F1，F2，F7，满足eq o(AEi,sup7()eq o(AFj,sup7()2(其中i，jN*,1i，j7)的有序数对(i，j)共有_对解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Eieq blc(rc)(avs4alco1(2，f(i,8)，Fjeq blc(rc)(avs4alco1(f(j,4)，1)(其中i，jN*,1i，j7)，由

19、eq o(AEi,sup7()eq o(AFj,sup7()2得eq f(i,8)eq f(j,2)2，即i4j16当j1,2时，i1,2，7，共2714对；当j3时，i1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对答案：1816已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7()0(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求eq o(PE,sup7()eq o(PF,sup7()的最值解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(PC,sup7()f(1,2)eq o(PQ,sup7() )0，得|eq o(PC,sup7()|2eq f(1,4)|eq o(PQ,sup7()|20，即(x2)2y2eq f(1,