2023版高三一轮数学复习习题（新高考人教版）：练案51　第八章　第六讲　双曲线

1、练案51第六讲双曲线A组基础巩固一、单选题1(2021山东青岛黄岛区期末)已知相距1 400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差2 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点在()上(D)A圆B椭圆C抛物线D双曲线解析设爆炸点为P，B听到爆炸声晚，则|PB|PA|6800，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq r(5).P是C上一点，且F1PF2P，若PF1F2的面积为4，则a(A)A1B2C4D8解析由题意，设|PF2|m，|PF1|n，可得mn2a，eq f(1,2)mn4，m2n24c2，可得4c2164a2，又eeq f(c,a)eq r(5)，解得a1，故选A.

2、3(2020新课标)设F1，F2是双曲线C：x2eq f(y2,3)1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积是(B)Aeq f(7,2)B3Ceq f(5,2)D2解析由题意可得a1，beq r(3)，c2，|F1F2|2c4，|OP|2，|OP|eq f(1,2)|F1F2|，PF1F2为直角三角形，PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c216，|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|6，PF1F2的面积为Seq f(1,2)|PF1|PF2|3，故选B.4(2020天津)设双曲线C的方程为eq f(x2,

3、a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(D)Aeq f(x2,4)eq f(y2,4)1Bx2eq f(y2,4)1Ceq f(x2,4)y21Dx2y21解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为yb(x1)，双曲线C的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线方程为yeq f(b,a)x，eq f(b,a)b，eq f(b,a)(b)1，a1，b1，双曲线C的方程为x2y21，故选D.5(2021福建厦门质检)已知双曲线C

4、经过点(eq r(2)，3)，其渐近线方程为yeq r(3)x，则C的标准方程为(D)Aeq f(x2,3)y21Bx2eq f(y2,3)1Cy2eq f(x2,3)1Deq f(y2,3)x21解析由题意知可设双曲线方程为x2eq f(y2,3)，(eq r(2)2eq f(32,3)1，故C的标准方程为eq f(y2,3)x21.故选D.6(2021河南商丘、新乡联考)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左支交于E点，且H恰为线段EF2的中点，则双曲线C的

5、离心率为(D)Aeq r(2)Beq r(3)C2Deq r(5)解析连EF1，因为点O，H分别为F1F2和EF2的中点，所以OHEF1，且EF1EF2，设点F2(c,0)到一条渐近线yeq f(b,a)x的距离deq f(|bc|,r(a2b2)b，所以|EF2|2b，又|EF2|EF1|2a，所以|EF1|2b2a，RtEF1F2中，满足(2b2a)24b24c2，整理为：b2a，双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(5).故选D.7(2021山东滨州二模)已知F1，F2分别是双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右

6、焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(A)A(1,2)B(1,3)C(3，)D(2,3)解析在PF1F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又因为点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|2c得，3aa2c，即2ac，所以eeq f(c,a)1，所以1e0，解得m1或m1时，c2(2m)(m1)2m3，当m0)的一条渐近线l：y2eq r(2)x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，

7、且|OF1|OP|，O为坐标原点，则(ABD)AC的虚轴长为4eq r(2)BF1PF290C|PF1|PF2|2DPF1F2的面积为6eq r(2)解析双曲线C的渐近线方程为ybx，b2eq r(2)，双曲线C：x2eq f(y2,8)1，a1，b2eq r(2)，显然A正确；又|OF1|OP|OF2|，即O为PF1F2外接圆的圆心，F1PF290，B正确；因为满足条件|PF1|PF2|2的点P的轨迹为双曲线C，不合题意，C错误；因为c2a2b29，所以F1(3,0)，|OP|OF1|3，设P(m，2eq r(2)m)，则m28m29，m1，所以P(1,2eq r(2)或(1，2eq r(2

8、)，即SPF1F2eq f(1,2)62eq r(2)6eq r(2).D正确故选ABD.10(2021山东聊城模拟)已知双曲线C：eq f(x2,3)eq f(y2,9)1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则(BCD)A双曲线C的离心率为eq f(2r(3),3)B焦点到渐近线的距离为3C点P到两条渐近线的距离之积为eq f(9,4)D当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3解析双曲线C：eq f(x2,3)eq f(y2,9)1的aeq r(3)，b3，c2eq r(3)，则eeq f(c,a)2，故A错误；焦点(2eq r(3)，0)到渐近线3xeq r(3)y0

9、的距离为eq f(6r(3),r(93)3，故B正确；设P(m，n)，可得3m2n29，则点P到两条渐近线的距离之积为eq f(|3mr(3)n|3mr(3)n|,r(93)r(93)eq f(|9m23n2|,12)eq f(27,12)eq f(9,4)，故C正确；由kPAkPBeq f(b2,a2)3知D正确故选BCD.三、填空题11(2021全国高考)双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,5)1的右焦点到直线x2y80的距离为eq r(5).解析由已知，ceq r(a2b2)eq r(54)3，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x2y80的距离为eq f(|

10、3208|,r(1222)eq f(5,r(5)eq r(5).故答案为eq r(5).12(2022江苏盐城联考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)离心率为eq r(2)，则其渐近线与圆(xa)2y2eq f(1,4)a2的位置关系是 相离 .解析由eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(2)得eq f(b,a)1.双曲线渐近线方程为xy0，又圆心到渐近线的距离deq f(a,r(2)req f(a,2)，故渐近线与圆相离13(2021全国高考)已知双曲线C：eq f(x2,m)y21(m0)的一条渐近

11、线为eq r(3)xmy0，则C的焦距为 4 .解析由渐近线方程eq r(3)xmy0化简得yeq f(r(3),m)x，即eq f(b,a)eq f(r(3),m)，同时平方得eq f(b2,a2)eq f(3,m2)，又双曲线中a2m，b21，故eq f(3,m2)eq f(1,m)，解得m3，m0(舍去)，c2a2b2314c2，故焦距2c4.14(2021上海青浦区期末)点A是椭圆C1：eq f(x2,25)eq f(y2,16)1与双曲线C2：eq f(x2,4)eq f(y2,5)1的一个交点，点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，则|AF1|AF2|的值为 21 .解析对于椭圆C1：

12、焦点在x轴上，c2a2b225169；对于双曲线C2：焦点在x轴上，c2a2b2459；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设|AF1|m，|AF2|n，不妨设0n0)的一条渐近线方程为yeq f(r(5),2)x，则该双曲线的离心率是eq f(3,2).解析双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,5)1(a0)的一条渐近线方程为yeq f(r(5),2)x，可得eq f(r(5),a)eq f(r(5),2)，所以a2，所以双曲线的离心率为：eeq f(c,a)eq f(r(45),2)eq f(3,2).16(2020新课标)已知F为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1

13、(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 .解析F为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点(c,0)，A为C的右顶点(a,0)，B为C上的点，且BF垂直于x轴所以Beq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，若AB的斜率为3，可得：eq f(f(b2,a)0,ca)3，b2c2a2，代入上式化简可得c23ac2a2，eeq f(c,a)，可得e23e20，e1，解得e2.B组能力提升1(2022广西桂林、崇左等五市联考)设P为双曲线x2eq f(y2,15)1右支上一点，

14、M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为m、n，则|mn|(C)A4B5C6D7解析双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为m(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.同理可得求得n1.则|mn|6.2(2021四川巴中诊断)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，过点F垂直于渐近线的直线恰与圆x2y24x0相切，则双曲线C的离心率为 2

15、 .解析双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，所以c2，圆x2y24x0的圆心(2,0)，半径为2，过点F垂直于渐近线的直线方程为：y0eq f(a,b)(x2)，即axby2a0，(或axby2a0)，由题意可得eq f(4a,r(a2b2)2，即eq f(4a,c)2，所以双曲线的离心率为：eeq f(c,a)2.3(2022湖北武汉部分重点中学联考)已知圆锥曲线C1：mx2ny21(nm0)与C2：px2qy21(p0，q0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C1、的一个公共点，且满足F1MF290，若圆锥曲线C1的离心率为eq

16、f(3,4)，则下列说法错误的是(AD)AC2的离心率为eq f(9,2)BC2的离心率为eq f(3r(2),2)CC2的渐近线方程为yeq f(r(14),2)xDC2的渐近线方程为yeq f(3r(2),2)x解析如图，设|F1M|s，|F2M|e，由e1eq f(r(s2t2),st)eq f(3,4)得eq f(st,s2t2)eq f(7,18).(e2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(s2t2),st)2eq f(1,1f(2st,s2t2)eq f(9,2)，故e2eq f(3r(2),2).(K渐近线)2eeq oal(2,2)1eq f(7,2).C2的

17、渐近线方程为yeq f(r(14),2)x.B、C正确，故选AD.4(多选题)(2021湖北天门一中、南漳一中、宜城一中联考)已知双曲线C：eq f(x2,m)eq f(y2,m7)1(mR)的一条渐近线方程为4x3y0，则(BD)A(eq r(7)，0)为C的一个焦点B双曲线C的离心率为eq f(5,3)C过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|15的直线有且只有两条D设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为eq f(16,9)解析因为双曲线C：eq f(x2,m)eq f(y2,m7)1(mR)的一条渐近线方程为4x3y0，所以eq f(m7,m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)2，解得m9，所以双曲线C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，所以a3，b4，ceq r(a2b2)5，所以其焦点为(5,0)、(5,0)，离心率eeq f(c,a)eq f(5,3)，故A错误，B正确；过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，因为(5,0)为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时|AB|eq f(2b2,a)eq f(32,3)15，当直线的斜率为0时，AB2a60，b0)，点P(x0，y0)