线性代数第五讲-矩阵的初等变换及其性质

1、线性代数第五讲-矩阵的初等变换及其性质1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 一 三种初等变换 同解变换有 (1) 交换两个方程的位置 (2) 把某个方程乘以一个非零数 (3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上交换(A b) 的第1行与第2行增广矩阵的比较 例1(A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 2 (A b)第3行乘以1/2例1增广矩阵的比较 (A b)=2

2、-1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 42 -3 1 -1 23 6 -9 7 92 2 (A b) 第2行乘以(2)加到第1行例如增广矩阵的比较 (A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 90 -3 3 -1 -61 1 -2 1 42 -3 1 -1 23 6 -9 7 9定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作 ；以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 .把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变

3、换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换初等行变换初等列变换 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1例1r12-9 3 7 8 -1 11 -2 1 32 10 -2 -2r1-r42-9 3 7 8 -1 11 -2 1 30 14 -4 -8二 阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵1 行阶梯形行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后

4、面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论有限次初等行变换 例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形5 1 3 8 4 7 20 0 2 5 6 8 7 50 0 3 4 5 2 6 90 0 0 0 0 4 2 80 0 0 0 0 0 0 0 E=例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形

5、例 3 阶梯形,行简化阶梯形，标准形2 3 4 54 6 8 100 0 0 0 2A=2 3 4 50 0 0 0 20 0 0 0 02 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 22 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形0 0 3 1 1 -1 2 2 3 1-2 -1 4 -3A=0 0 3 14 2 3 1-2 -1 4 -32 1 -1 20 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -1例 2 用初等行变换化为行简化阶梯形 0 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -10 0 1 1/32 1 -1 20

6、 0 5 -30 0 0 -22 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 -14/30 0 0 -22 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 10 0 0 0 1 1/2 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 将1所在列上下化为零-4 -3 -5 -3-1 6 4A=-4 -30 3 30 2 1行最简形0 1 1-4 -30 2 1行阶梯形0 1 1 0 10 0 - 1首先，化为行阶梯形0 1 0 0 00 0 1练习 1、用初等行变换化为行简化阶梯形-1 3 -1 1-1 -1 4 23 -2 2 3 4 A=练习2： 用初等行变换化为行简化阶梯形1 -1 3 -1 10 1 -7 6 00 1 -7 6 10 1 -7 6 01 -1 3 -1 10 0 0 0 10 1 -7 6 00 0 0 0 11 0 -4 5 01 1 1 1 12 1 0 -3 60 1 2 3 6 -35 4 3 2 6 1A=练习3： 用初等行变换化为行简化阶梯形 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 1 2 3 6 -30 -1 -2 -3 1 -4 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 0 00 0 0 0 7 -7 0 -1 -2 0