2022年《电动力学》考点归纳及典型试题研究

1、电动力学习题 集一、学问点归纳学问点1：一般情形下,电磁场的基本方程为：此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布 ）的自由空间或匀称介质）的电磁场方程为：齐次的麦克斯韦方程组）学问点 2：位移电流及与传导电流的区分；答：我们知道恒定电流是闭合的：在交变情形下,电流分布由电荷守恒定律制约,它一般不再闭合；一般说来,在非恒定情形下,由电荷守恒定律有现在我们考虑电流激发磁场的规律：取两边散度,由于,因此上式只有当时才能成立；在非恒定情形下,一般有,因而 式与电荷守恒定律发生冲突；由于电荷守恒定律是精确的普遍规律,故应修改 式使听从普遍的电荷守恒定律的要求；把 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移

2、电流的物理量,它和电流 合起来构成闭合的量并 假 设 位 移 电 流 与 电 流 一 样 产 生 磁 效 应 , 即 把 修 改 为； 此 式 两 边 的 散 度 都 等 于 零 , 因 而 理 论 上 就 不 再 有 矛 盾 ； 由 电 荷 守 恒 定 律较可得电荷密度与电场散度有关系式两式合起来得：与式比的一个可能表示式位移电流与传导电流有何区分：位移电流本质上并不是电荷的流淌,而是电场的变化；它说明,与磁场的变化会感应产生电场一样,电场的变化也必会感应产生磁场；而传导电流实际上是电荷的流淌而产生的；学问点 3：电荷守恒定律的积分式和微分式,及恒定电流的连续性方程；1 / 22 答：电荷守

3、恒定律的积分式和微分式分别为：恒定电流的连续性方程为：学问点4：在有介质存在的电磁场中,极化强度矢量和磁化强度矢量的定义方法；与；与；以及的关系；答：极化强度矢量：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和,没有电偶极矩；另一类介质分子的正负电中心不重和,有分子电偶极矩,但是由于分子热运动的无规性,在物理小体积内的平均电偶极矩为零,因而也没有宏观电偶极矩分布；在外场的作用下,前一类分子的正负电中心被拉开,后一类介质的分子电偶极矩平均有肯定取向性,因此都显现宏观电偶极矩分布；而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量描述,它等于物理小体积内的总电偶极矩与之比,为第i个分子的电偶极矩,求和

4、符号表示对内全部分子求和；磁化强度矢量：介质分子内的电子运动构成微观分子电流,由于分子电流取向的无规性,没有外场时一般不显现宏观电流分布；在外场作用下,分子电流显现有规章取向,形成宏观磁化电流密度；分子电流可以用磁偶极矩描述；把分子电流看作载有电流 i 的小线圈,线圈面积为 a,就与分子电流相应的磁矩为：介质磁化后,显现宏观磁偶极矩分布,用磁化强度 M表示,它定义为物理小体积 内的总磁偶极矩与 之比,学问点 5：导体表面的边界条件；答：抱负导体表面的边界条件为：；它们可以形象地表述为：在导体表面上,电场线与界面正交,磁感应线与界面相切；学问点 6：在球坐标系中,如电势不依靠于方位角,这种情形下

5、拉氏方程的通解；答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：式中为任意的常数,在详细的问题中由边界条件定出；为缔合勒让德函数；如该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,就电势 不依靠于方位角,这球形下通解为：为勒让德函数,是任意常数,由边界条件确定；学问点 7：争论磁场时引入矢势 的依据；矢势 的意义；答：引入矢势 的依据是：磁场的无源性；矢势 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回2 / 22 路为界的任一曲面的磁通量；只有的环量才有物理意义,而每点上的值没有直接的物理意义；学问点 8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式；答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式

6、；它是传播方向肯定的电磁波,它的波阵面是 垂直于传播方向的平面,也就是说在垂直于波的传播方向的平面上,相位等于常数；平面时谐电磁波的性质：1）电磁波为横波,和都与传播方向垂直；2）和同相,振幅比为沿波矢方向；3 和相互垂直,学问点 9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区分；电磁波在导体中的透射深度依靠的因素；答：区分 :1 ）在真空和抱负绝缘介质内部没有能量的损耗,电磁波可以无衰减地传播 在真空和抱负绝 缘介质内部）；2）电磁波在导体中传播,由于导体内有自由电子,在电磁波电场作用下,自由电子运动形 成传导电流,由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗；因此,在导体内部的电磁波是一种衰减波 在

7、导体 中）；在传播的过程中,电磁能量转化为热量；电磁波在导体中的透射深度依靠于：电导率和频率；学问点 10：电磁场用矢势和标势表示的关系式；答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：学问点 11：推迟势及达朗贝尔方程；答：推迟势为：达朗贝尔方程为：学问点 12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理 或基本假设）是及其内容；答： 1）相对性原理：全部的惯性参考系都是等价的；物理规律对于全部惯性参考系都可以表为相同的 形式；也就是不论通过力学现象,仍是电磁现象,或其他现象,都无法觉察出所处参考系的任何“ 肯定运动” ；相对性原理是被大量试验事实所精确检验过的物理学基本原理；对于任何惯性系沿任一方向恒为 c

8、,并与光源运动无关；2）光速不变原理：真空中的光速相学问点 13：相对论时空坐标变换公式 洛伦兹变换式）和速度变换公式；3 / 22 答：坐标变换公式洛伦兹变换式）：洛伦兹反变换式：速度变换公式：学问点 14：导出洛仑兹变换时,应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系；答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性；基本假设为：光速不变原理狭义相对论把一切惯性系中的光速都是作为基本假设,这就是光速不变原理）、空间是匀称的并各向同性,时间是匀称的、运动的相对性；洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系,所涉及的速率都远小于光速；洛仑兹变换是存

9、在于相对论力学中的一种变换关系,并假定涉及的速率等于光速；当惯性系即物体）运动的速度时,洛伦兹变换就转化为伽利略变换,也就是说,如两个惯性系间的相对速率远小于光速,就它以伽利略变换为近似；学问点 15：四维力学矢量及其形式；答：四维力学矢量为：1）能量动量四维矢量或简称四维动量）：；2）速度矢量：；3）动量矢量：4）四维电流密度矢量：；6）四维势矢量：5）四维空间矢量：7）反对称电磁场四维张量：；8）四维波矢量：学问点 16：大事的间隔：4 / 22 答：以第一大事P 为空时原点 0, 0,0,0）；其次大事Q 的空时坐标为：x,y,z,t）,这两大事的间隔为：两大事的间隔可以取任何数值；在此

10、区分三种情形：1）如两大事可以用光波联系,有r ct ,因而类光间隔）；类时间隔）；a）肯定将来；b）绝2）如两大事可用低于光速的作用来联系,有,因而有对过去；3）如两大事的空间距离超过光波在时间t 所能传播的距离,有,因而有类空间隔）；学问点 17：导体的静电平稳条件及导体静电平稳时导体表面的边界条件；答：导体的静电平稳条件：1）导体内部不带电,电荷只能分布在于导体表面上；2）导体内部电场为零；3）导体表面上电场必沿法线方向,因此导体表面为等势面；整个导体的电势相等；导体静电平稳时导体表面的边界条件：学问点 18：势方程的简化；答：采纳两种应用最广的规范条件：（ 1）库仑规范：帮助条件为适用

11、于一般规范的方程组）；洛伦兹规范：帮助条件为：（ 2）例如：对于方程组：如采纳库仑规范,可得：；如采纳洛伦兹规范,可得：此为达朗贝尔方程）；学问点 19：引入磁标势的条件；答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所围绕,或者说,该区域是没有传导电流分布的单连通区5 / 22 域,用数学式表示为：学问点 20：动钟变慢：系中同地异时的两大事的时间间隔,即系中同一地点,先后 ）发生的两大事的时间间隔在 S 系的观测：称为固有时,它是最短的时间间隔,学问点 21：长度收缩 动尺缩短）尺 相 对 于系 静 止 , 在系 中 观 测在S 系 中 观 测即 两 端 位 置 同 时 测 定称为固有长度,固有

12、长度最长,即；学问点 22：电磁场边值关系也称边界上的场方程）学问点 23：AB 效应1959 年 Aharonov 和 Bohm提出一种后来被试验所证明的新效应这简称 AB 效应）,同时AB 效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用描述；学问点 24：电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：平面电磁波的能流密度为：能量密度和能流密度的平均值为：6 / 22 学问点 25：波导中传播的波的特点：电场和磁场不同时为横波；通常选一种波模为的波,称为横电波TE）；另一种波模为的波,称为横磁波b,就波有最低截止频率运算公式: m,n型的截止频率为：如管内为真空,此最低截止频率为,相应的截止波长为：在波导中

13、能够通过的最大波长为 2a）学问点 27：相对论的试验基础 : 横向多普勒 Doppler ）效应试验 证明相对论的运动时钟延缓效应）；高速运动粒子寿命的测定 证明时钟延缓效应）；携带原子钟的环球飞行试验 证明狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应）；相对论质能关系和运动学的试验检验 对狭义相对论的试验验证）学问点 28：静电场是有源无旋场：此为微分表达式）稳恒磁场是无源有旋场：此为微分表达式）学问点 29：相对论速度变换式：其反变换式依据此式求；学问点 30：麦克斯韦方程组积分式和微分式,及建立此方程组依据的试验定律；7 / 22 答：麦克斯韦方程组积分式为：麦克斯韦方程组微分式为：依据的试

14、验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理；二、典型试卷分析1、证明题：1、试由毕奥沙伐尔定律证明证明：由式：所以原式得证；又知：,因此由2、试由电磁场方程证明一般情形下电场的表示式证：在一般的变化情形中,电场的特性与静电场不同；电场一方面受到电荷的激发,另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的；因此在一般情形下,电场是有源和有旋的场,它不行能单独用一个标 势来描述；在变化情形下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必定包含矢势在内 ；势描述,得：,该式表示矢量是无旋场,因此它可以用标；因此,在一般情形下电场的表示式为：；即得证

15、；3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式；答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系；如下列图,设物体沿 x 轴方向运动,以固定于8 / 22 物体上的参考系为；如物体后端经过 点 第一大事）与前端经过 点 其次大事）相对于 同时,就定义为 上测得的物体长度；物体两端在 上的坐标设为；在 上 点的坐标为,点的坐 标 为, 两 端 分 别 经 过 和 的 时 刻 为； 对 这 两 事 件 分 别 应 用 洛 伦 兹 变 换 式 得,两式相减,计及,有 式中 为 上测得的物体长度 由于坐标 是在 上同时测得的）,为 上测得的物体静止长度；由于物体对静止,所以对测量时刻没有任何限制；由式

16、得；4、 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系答：由于静电场的无旋性,得：设为由的两条不同路径；合成闭合回路,因此即因此,电荷由而只和两端点有关；把单位正电荷由电场 E 对它所作的功为：这功定义为的电势差；如电场对电荷作了正功,就电势下降；由此,由这定义,只有两点的电势差才有物理意义,一点上的电势的肯定数值是没有物理意义的；相距为的两点的电势差为由于如取因此,电场强度等于电势的负梯度得矢势的微分5、试由恒定磁场方程证明矢势的微分方程；答：已知恒定磁场方程在匀称线性介质内）,把满意规范条件,方程由矢量分析公式得矢势的微分方程6、试由电场的边值关系证明势的边值关系9 / 22 证：电场的边值关

17、系为：2 的法线；利用,式可写为, 可用标势将表为：式中为由介质1 指向介质势的边值关系即得证；7、 试由静电场方程证明泊松方程；在匀称各向同性线性介质中,将并知道答：已知静电场方程为：3）式代入 2）得,为自由电荷密度；于是得到静电势满意的基本微分方程,即泊松方程；8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程；答：麦克斯韦方程组 说明,变化的磁场可以激发电场,而变化的电场又可以激发磁场,因此,自然可以推论电磁场可以相互激发,形成电磁波；这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到,在真空的无源区域,电荷密度和电流密度均为零,在这样的情形下,对麦克斯韦方程的其次个方程取旋度 并 利 用 第 一 个 方 程 ,

18、 得 到,从上面两个方程消去,得到；这就是标准的波动方程；对应的波的速度是9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件解：10 / 22 对 于 磁 场, 把 应 用 到 边 界 上 无 限 小 的 扁 平 圆 柱 高 斯 面 上 , 重 复 以 上 推 导 可 得 ：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路,矩形回路所在平面与界面垂直,矩形长边边长为,短边边长为；由于,作沿狭长矩形的 E 的路径积分；由于 比 小得多,当 时, E沿 积 分 为 二 级 小 量 , 忽 略 沿 的 路 径 积 分 , 沿 界 面 切 线 方 向 积 分 为 ：即 ：；可以用矢量形式表示为：式中 为沿着矩形长边

19、的界面切线方向单位矢量；令矩形面法线方向单位矢量为,它与界面相切,明显有将,就,利用混合积公式,改写式为：此式对任意 都成立,因此,此式表示电场在分界面切线方向重量是连续的；10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程；在肯定的频率下,有,把时谐电磁波的 电 场 和 磁 场 方 程 ：代 入 麦 氏 方 程 组 消 去 共 同 因 子 后 得在此留意一点；在 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的；取第一式的散度,由于,因而,即得第四式；同样,由其次式可导出第三式；在此,在肯定频率下,只有第一、二式是独立的,其他两式可由以上两式导出；取第一式旋度并用其次

20、式得,上式变为由此为亥姆霍兹方程；11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上,在静电的情形下,导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情形下,导体内的电场线总是平行于导体表面；证明 ：1 ） 导 体在静 电条件下 达到静电 平衡,所 以导体内, 而：11 / 22 2）导体中通过恒定的电流时,导体表面,；导体内电场方向和法线垂直,即平行而：于导体表面；12、 设是 满 足 洛 伦 兹 规 范 的 矢 势 和 标 势 , 现 引 入 一 矢 量 函 数 赫 兹 矢 量 ） , 如 令满意洛伦兹规范,故有证明：2、运算题：1、真空中有一半径为接地导体球,距球心为处有一点电荷Q,求空

21、间各点的电势；应在连解：假设可以用球内一个假想点电荷来代替球面上感应电荷对空间电场的作用；由对称性,线上；关键是能否挑选的大小和位置使得球面上的条件使得满意？因此考虑到球面上任一点P；边界条件要求式中 r 为 Q 到 P 的距离,对球面上任一点,应有由图可看出,只要选的位置使设距球心为b,两三角形相像的条件为由1）和 2）式求出3）和 4）式确定假想电荷的位置和大小；由和镜象电荷激发的总电场能够满意在导风光上的边界条件,因此是空间中电场的正确解答；球外任一点p的电势是：的距离,为由式中r 为由到 P 点到 P 点的距离, R为由球心O 到 P 点的距离,2、两金属小球分别带电荷和,它们之间的距

22、离为,求小球的电荷数值和符号）同步地作周期变化,这就是赫兹振子,试求赫兹振子的辐射能流,并争论其特点；12 / 22 解：可知赫兹振子激发的电磁场：取球坐标原点在电荷分布区内,并以 方向 为 极 轴 , 就 可 知 沿 纬 线 上 振 荡 ,沿 径 线 上 振 荡 ； ） ； 赫 兹 振 子 辐 射 的 平 均 能 流 密 度 为 ：因子表示赫兹振子辐射的角分布,即辐射的方向性；在的平面上辐射最强,而沿电偶极矩轴线方向没有辐射；试运算频率为 50、和Hz 的三种电磁波在海水中的透入深3、已知海水的度；解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射,透射深度4、电荷 Q匀称分布于半径为 a 的球体内,求

23、各点的电场强度,并由此直接运算电场的散度；解：作半径为r的球 与电荷球体同心）；由对称性,在球面上各点的电场强度有相同的数值,并沿径向；当球面所围的总电荷为Q,由高斯定理得因而写成矢量式得如 就球面所围电荷为：应用高斯定理得：由此得现在运算电场的散度；当E 应取式,在这区域,由直接运算可得13 / 22 因而当应取式,由直接运算得5、 一半径为 R 的匀称带电球体,电荷体密度为,球内有一不带电的球形空腔,其半径为,偏心距离为a,）求腔内的电场；解：这个带电系统可视为带正电 的 R球与带负电的 的 球的迭加而成；因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点 M之电场强度为：6、无穷大的平行板电容器内有两

24、层介质,极板上面电荷密度为 , 求电场和束缚电荷分布；解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向,把 应用于下板与介质 1 界面上,因导体 内 场 强 为 零 , 故 得同 样 把式 应 用 到 上 板 与 介 质2界 面 上 得由 这 两 式 得束 缚 电 荷 分 布 于 介 质 表 面 上 ； 在 两 介 质 界 面 处 , 由得在介质 1 与下板分界处,由 得在介质 2 与上板分界处,简洁验证,介质整体是电中性的；b ,如极化强度为,沿轴7、截面为S ,长为的细介质棍,沿X 轴放置,近端到原点的距离为；求：（ 1）求每端的束缚电荷面密度；2）求棒内的束缚电荷体密度；3）总束缚电荷；解： 15

25、 / 22 象电荷只有 5 个；各象电荷所在处的直角坐标为：各个 r 由相应的象电荷坐标确定；9、在一平行板电容器的两板上加的电压,如平板为圆形,半径为a,板间距离为d,试求1）、两板间的位移电流；2）、电容器内离轴r 处的磁场强度；3）、电容器内的能流密度；解： 1） 2 ）16 / 22 3）10、静止长度为的车厢,以速度相对于地面S 运行,车厢的后壁以速度为向前推出一个小球,求地面观看者看到小球从后壁到前壁的运动时间；解： S 系的观看者看到长度为的车厢以运动,又看到小球以追逐车厢；小球从后壁到前壁所需的时间为：11、求无限长抱负的螺线管的矢势 设螺线管的半径为a,线圈匝数为n,通电电流

26、为I ）解：分析：时,可得：；1）当2）当 时,同理可得：12、在大气中沿Z 轴方向传播的线偏振平面波,其磁场强度的瞬时值表达式（ 1）求；2）写出 的瞬时值表达式解：；13、内外半径分别为a 和 b 的球形电容器,加上的电压,且不大,故电场分布和静态情形相同,运算介质中位移电流密度及穿过半径R的球面的总位移电流；解：位移电流密度为：17 / 22 穿过半径 R 的球面的总位移电流 为：14、证明匀称介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷密度的 倍；证：即证明白匀称介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷密度；15、一根长为 的细金属棒,铅直地直立在桌上,设所在地点地磁场强度为 H ,方向为南北,如金属棒自静止状态向东自由倒下,试求两端同时接触桌面的瞬时棒内的感生电动势,此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度由下式给出） , g 为 重 力 加 速 度 , 代 入 得式 中 为 棒 的 质 量 , I为 棒 绕 端 点 的 转 动 惯 量 ,棒接触桌面时的感生电动势为：此时棒的 A 点电动势高；16、点电荷q 放在无限大的导体板前,相距为a,如 q 所在的半空间布满匀称的电介质,介质常数为,求介质中的电势、电场和导风光上的感生面电荷密度；解：设象电荷位于尝试解为：1）