2021年秋八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线1角的平分线的性质授课课件新版沪科版

1、15.4 角的平分线第1课时 角的平分线的性质1课堂讲解角的平分线的画法角的平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点角的平分线的画法问题：怎样作出角的平分线？知1导知识点角的平分线的画法1：通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如图.知1讲归 纳知1讲角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 知1讲角的平分线的画法2：也可以用量角器来画一个角的平分线.角的平分线的画法3：下面介绍用尺规作图的方法作出AOB的平分线（如图）.作法：1.以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,OB于点M,N,如图（1）.2.分别以点M,N

2、为圆心，以大于 MN长为半径(为什么？）在角的内 部画弧交于点P,如图（2）.3.作射线OP,则OP为所要求作的AOB的平分线，如图（3）.知1讲思考：1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是AOB的平分线吗？2.当AOB的两边成一直线时（即AOB= 180），你会作 这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？知1讲拓展：过一点作已知直线的垂线：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线： 如图所示，已知直线AB和AB上一点C，作AB的垂线，使它经过点C. 作法：如图所示 第一步：作平角ACB的平分线CF； 第二步：反向延长射线CF.直线CF就是所要求作的垂线知1讲2经过已知直线外一

3、点作这条直线的垂线： 如图所示，已知直线AB和AB外一点C， 作AB的垂线，使它经过点C. 作法：如图所示 第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D 、 E两点的弧； 第二步：作 DCE的平分线CF； 第三步：反向延长射线CF.则直线CF就是所要求作的垂线知1讲思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理吗？归 纳知1讲 1.理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判 定方法：“SSS” 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等 分线2.易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线” 时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线 段，角平分线是射线而不是线段知1讲 如

4、图所示，已知AOB， 求作：AOM AOB. 导引：利用尺规作图作两次角平分线， 可得原角的四分之一角. 解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在 AOB的内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作AOC的平分线OM. AOM即为所求(如图所示)例1 总 结知1讲将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作两个半角的平分线，可将原角四等分.1在下面尺规作图中，了解作图道理，保留作图痕迹，不要求写作法.已知一直角边和斜边作直角三角形.知1练2作AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为

5、半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应()A大于 CD B等于 CDC小于 CD D以上答案都不对(中考玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： _，然后证明你的结论(不要求写已知、求证)知1练34利用尺规作AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于 CD的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点P，作射线OP.此作法的依据是()ASASBASA CAAS DSSS知1练2知识点角的平分线的性质知2导思考：如图，OP是AOB的平

6、分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PCOA,PD OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.知2讲下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明.证明：OP平分AOB，（已知） AOP=BOP.(角平分线定义） 又 PCOA，PD OB，（已知） PCO=PDO= 90.(垂直的定义） 在PCO 和 PDO中， PCO PDO.(AAS) PC=PD.知识点知2讲1.角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离 是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证 明两条线段相等2书写格式：如

7、图，OP平分AOB， PDOA于点D，PEOB于点E, PDPE.3易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两 边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离知识点知2讲例2 如图，OD平分EOF，在 OE，OF上分别取点A， B，使 OA=OB，P为OD上一点，PMBD，PNAD，垂足分别 为M，N. 求证：PM=PN.导引：在图中找出符合角平分线性质的模型，利用角平分线的 性质证线段相等.证明：OD平分EOF， BOD=AOD. 在BOD和AOD中， BODAOD（SAS）. BDO=ADO，即DO平分BDA. 又P为DO上一点，且PMBD，PNAD， PM=PN. 总 结知2

8、讲在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用三角形全等或角的平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角的平分线的性质 .运用角的平分线的性质证明线段相等时，不需要利用三角形全等 .知识点知2讲例3 如图，在ABC中，C90，BCAC， AD是BAC的平分线，DEAB于点E.若AB8 cm，求DBE的周长导引：运用角的平分线的性质及全等 三角形的性质，将DEB的周长 转化为线段AB 的长.知识点知2讲解：在ABC中，C=90， DCAC. 又DEAB，AD平分CAB， DC=DE. 在RtACD和RtAED中， RtACDRtAED（HL）. AC=AE. AC

9、=BC，AE=BC. DEB 的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+ EB=AB=8 cm.1 已知：如图，ABC中，AB=AC,AD是BAC的平分线，DEAB，DF AC，垂足分别为点E，F. 判断下列结论是否正确： （1）DE=DF.（ ） （2）BD=CD.（ ） （3）AD上任一点到AB,AC的距离相等.( ) (4) AD 上任一点到点B,C距离相等.( )2(中考茂名)如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PD6，则点P到边OB的距离为()A6 B5 C4 D3如图，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，

10、若AB6 cm，则DBE的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm知2练34(中考湖州)如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC5，DE2，则BCE的面积等于()A10 B7 C5 D4知2练如图，已知AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCCD.(1)求证：BCEDCF；(2)若AB15，AD7，求BE的长51.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分AOB，点P在OC上， PDOA，PEOB，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：AOCBOCPDF PEF；ODPOEPDFOEFO DFPEFPPDAPEB90；DPO EPOODFOEF.(2)线段的相等关系