数学学科导论课件

1、经济数学学院欢迎您343678/7/20221实变函数论的产生 及其意义 朱文莉 西南财经大学经济数学学院8/7/20222 实变函数论 是数学专业的一门重要的基础课程, 通过学习使学生掌握近代抽象分析的基本思想, 加深对数学分析知识的理解, 深化对中学数学有关内容的认识, 同时为今后学习泛函分析、函数论、概率论、微分方程、拓扑学、金融随机分析等课程提供必要的测度论和积分论的基础, 并为进一步学习现代数学基础打下必要的基础.8/7/20223世界数学发展史,一般划分为四个时期：数学的产生(公元前3000年公元前5世纪)；常量数学即初等数学 (公元5世纪公元17世纪)；变量数学即近代数学 (公元

2、17世纪19世纪末)；现代数学 (19世纪至今)；8/7/20224 变量数学发展的第二个决定性步骤, 是英国的牛顿和德 国的莱布尼兹完成了微积分的创建. 微积分是17世纪发现 的最伟大的数学工具. 有了它, 数学研究的许多崭新的、 广泛的领域才得以迅速开辟和发展. 恩格斯高度评价这一人类智力奋斗的结晶：“在一切理论成就中, 未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利”. 微积分在数学发展中的地位是十分重要的, 它是继欧几里得几何学之后, 全部数学中的一个最伟大的创造. 但是微积分的发展经历了漫长而曲折的道路, 才成为数学中的一大部门数学分析, 成为现代科学技术发展的

3、强有力的计算工具.8/7/20225一、牛顿、莱布尼兹的微积分 17世纪是科学技术发展的一个重要时期, 在这一时期有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的重要因素. 归结起来, 大体有四类问题：第一类问题是研究物体运动时直接表现出来的, 也就是求瞬时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线问题; 第三类问题是求函数的最大最小值问题; 第四类问题是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体作用于另一个物体产生的引力等问题. 17世纪许多著名的数学家、天文学家对上述问题作了大量的研究工作, 如费马、笛卡尔、开普勒等都提出过许多有价值的理论, 为

4、微积分理论的创立做出了十分重要的贡献.8/7/20226 牛顿研究微积分着重于以运动来考察. 1669年在一篇 名为运用无穷多项分析学的论文中, 牛顿不仅给出 了求一个变量对另一个变量瞬时变化率的普遍方法, 而且还证明了面积可由求变化率的逆过程得到, 因为面积也正是用无穷小面积的和来表示的. 莱布尼兹是德国博学的哲学家和著名的数学家, 他在研究求曲线切线和求曲边梯形的面积中, 独立地建立了一套微积分理论. 他注意到求曲线的切线需要确定曲线的纵坐标之差和横坐标之差的比, 而求曲边梯形的面积, 则需要确定曲线的纵坐标之和, 于是他把微分问题与积分问题联系起来, 把两者看作互逆运算, 从而创立了一套

5、关于无限小量的“求差法”和“求和法”, 即微分学和积分学. 牛顿和莱布尼兹在创建微积分上的基本功绩是把前人在实际中应用的某一方法加以概括和提升使之变成适合一般的运算方法, 并且指出微分和积分的互逆过程.ppt曲边梯形面积问题在p9, 稍后讲8/7/20227微积分继续发展的三个方向 外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）下面我们就给大家介绍一下黎曼积分.8/7/20228黎曼积分问题举例1. 曲边梯形的面积矩形面积梯形面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .8/7/20229解决步骤

6、:1) 大化小.在区间 a , b中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得8/7/2022103) 近似和.4) 取极限.令则曲边梯形面积8/7/202211 解决问题的方法步骤:“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式: 特殊乘积和式的极限黎曼积分定义一组分点任取且有界, 在中任意取时只要8/7/202212总趋于确定的常数 I ,则称此极限 I 为函数在区间上的黎曼积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上黎曼可积 .记作

7、8/7/202213积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和黎曼积分仅与被积函数及积分区间有关 .8/7/202214定理1.定理2.且只有有限个间断点 黎曼可积的充分条件:8/7/202215xi-1 xixi-1 xif(x)在a , b上Riemann可积8/7/202216xi-1 xi8/7/202217xi-1 xi8/7/202218二、积分学的一次革命 测度论、勒贝格积分1. 勒贝格积分的产生 在微积分学中, 主要是以连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来研究函数(包括函数序列的极限函数). 如果说微积分学中所涉及的函数其性质都是比较“好”的函数, 至少“基本”上是连续的

8、函数, 那么实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面来讨论最一般的函数. 如果间断点太多, 则无论是可导性还是可积性就都成问题了, 但非连续的函数是我们常常会碰到和必须处理的. 8/7/202219 十九世纪初, 微积分学已经基本上成熟了但是数学家 却逐渐发现分析学的基础本身还存在着问题, 诸如极端病态函数D(x) 是黎曼意义下不可积函数的最简单代表. 著名的Dirichlet函数在Riemann积分意义下就是个处处不连续的不可积的函数.8/7/2022200 1这是因为或者因为所以D(x)不是黎曼可积的.8/7/202221注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组

9、成.0 1由此可见, 引起函数f(x)黎曼不可积的原因是: 当把曲边梯形分为若干个小曲边梯形时, 在小区间上函数值变化很大, 从而用小矩形去替代曲边梯形时误差就会相当大. 针对这种情况, 可以尝试一种改进的方案.8/7/202222 象Dirichlet这种病态函数的出现, 破坏了18世纪古典 数学的优美, 人们究竟该如何对待它？一种批评意见认为“这是一种变态的不健康的函数”, “它是无秩序和混乱的标志”, “脱离实际的空洞的抽象的理论”,其中法国大数学家庞加莱(1854-1912)尤其怀疑这种理论. 这些都促使数学家们深入研究, 设法处理这些函数, 仅仅依靠直观观察和猜测是不行的, 必须深入

10、研究各种函数的性质. 比如, 连续函数必定可积, 但是具有什么样性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义, 可积的条件又是什么样的？等等. 8/7/202223 对病态函数的研究, 说明真理并不因为庞加莱 权威的反对而变得停滞不前. 法国数学家勒贝格(1875 -1941) 不声不响地研究各种病态函数 , 终于导致了一场积分学的革命. 为使f(x)在a,b上Riemann可积, 按Riemann积分思想, 必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小(正是这一点, 使定义出来的积分, 严重的依赖于被积函数的连续性), 这迫使在较多地方振动的函数不可积 .Lebesgue提出, 不从分割定义域入

11、手, 而从分割值域入手.8/7/2022242. Lebesgue积分思想简介yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出.(参见:Lebesgue积分的产生及其影响, 数学进展, 2002.1)8/7/202225yiyi-1即即 f(x)在 Ei上的振幅不会大于,其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，8/7/202226 即采取对值域作分划, 相应得到对定义域的分 划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类.yiyi-18/7/202227 例:如下图表示关于函数f(x)的一种

12、分划, 就相 应于“第二个小区间”的E2 , 即x轴上用粗线标出的四个小区间的并集, 而mE2 自然应当理解为这四个小区间的长度之和.xyoy1y28/7/202228 对此Lebesgue自己曾经作过 一个比喻, 他说： 假如我欠人家一笔钱, 现在要还, 此时按钞票的面值的大小分类, 然后计算每一类的面额总值, 再相加, 这就是Lebesgue积分思想. 如不按面额大小分类, 而是按从钱袋取出的先后次序来累计计算总数, 那就是Riemann积分思想.8/7/2022293. Lebesgue积分构思产生的问题 上述的这个想法是否可行呢? 从要求和式 S 的极限存在的角度看, 这个方案无疑优于

13、黎曼积分的思想, 这是因为:8/7/202230 例如对D(x), 如果1yi-1,yi,那么集 Ei 就是0,1中有理数全体; 如果0 yi-1,yi, 那么集 Ei 就是0,1中无理数全体. 问题就是区间的 “长度” 概念能否推广到这种复杂的点集上呢?yiyi-18/7/202231 因此, 要实施新方案, 第一步我们自然希望把“长度”概念推广到一些较为复杂的点集上去.这样的话, 一切有界函数都可以积分了. 我们只能做到直线上相当广泛的一类集合(即勒贝格可测集)都有“长度”(即勒贝格测度). 然而, 一般说来这是办不到的. 既然只有一部分集合才具有“长度”, 那么第二步就要解决对怎样的函数

14、 f(x) 才能使Ei=x|yi-1f(x)yi是有“长度”的集.8/7/202232 最后, 第三步我们再来讨论上面这类函数什么 时候可积、积分 (即勒贝格积分) 的性质和应用 以及它和黎曼积分的关系.实变函数论包含四部分: 第一部分是集合论; 第二部分是Lebesgue测度论; 第三部分是可测函数; 第四部分是Lebesgue积分论.实变函数论的理论基础和方法： 集合论为基础、测度论为理论、极限为方法. 8/7/2022334. 集合论中的一些例子(1) Achilles追龟 8/7/2022340(甲) （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度为1，乙的速度为1/2问题：时间由时刻

15、组成, 每一时刻, 甲、乙都在一确定点上. 由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样, 故甲、乙所用“时刻数”一样, 从而跑过的点的“个数”也一样.8/7/202235(2) Hilbert旅馆问题1, 2, 3, 4, 5, 6,a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下：1. 又来了有限个人b1, b2, b3, , bn3. 每个人带无限多个亲戚(亲戚可排个队)4. 又来了0,1个人2. 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, 8/7/202236Hilbert旅馆问题解答1, 2, 3, 4, 5, 6,a1, a2, a3, a4, a5,

16、 a6, 1. b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 2. b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3. a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, 不能安排进去因为(0,1是不可数集)8/7/202237 例1 将若干个红球与白球排成一排, 且红白 球交叉排列, 任意两个红球之间有白球, 任意两个白球之间有红球, 在其中任意截取一断, 红白球的个数有三种可能：或红白球一样多或红球多一个或白球多一个, 即在任意截取的一断中红白球个数至多相差一个.有理数与无理数谁更多？8/7/202238 直线上的有理数、无理数表面看来很类似, 任意两个有理数中间有无理数, 任意两个无理数中间有有理数, 在其中任取一节线段, 无理数、有理数的个数似乎也有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个, 即在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个.