高中数学选修第一册：1.3 空间向量及其坐标的运算（精讲）（解析版）

1、 1.3 空间向量及其坐标的运算思维导图常见考法考点一 坐标的运算【例1】（1）（2020宜昌天问教育集团高二期末）设，向量， ，则（ ）A B C3D4（2）（2020宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量，则向量与（）的夹角为（ ）AB或CD或【答案】（1）C（2）B【解析】，故选：C.（2）解得，代入得，又向量夹角范围：故的夹角为，则与的夹角，当时为；时为.故选：B.【一隅三反】1（2020全国高二课时练习）下列向量中与向量平行的向量是（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为，又，所以A、C、D选项均不符合的形式，只有满足.故选：B.2（2020全国高二课时练习）已知向量，若，则k的

2、值等于（ ）A1BCD【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故选：D3（2020广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系Oxyz中,点A（2,1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )A（2,1,3）B（2,1,3）C（2,1,3）D（2,1,3）【答案】B【解析】在空间直角坐标系Oxyz中,点A（2,1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（2,1,3）.故选：B.4（2020全国高二课时练习）已知.（1）若，分别求与m的值；（2）若，且与垂直，求.【答案】（1）=，m=3；（2）.【解析】（1）由，得，解得（2），且化简得，解得.因此考点二 坐标运算

3、在几何中的运用【例2】（2020全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.（1）求BM，BN的长.（2）求BMN的面积.【答案】（1）BM的长为，BN的长为；（2）.【解析】以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.（1），.故BM的长为，BN的长为.（2）故.即BMN的面积为.【一隅三反】1（2019天水市第一中学高二月考（理）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）.ABCD【答案

4、】A【解析】，设，根据题意得，,.,.故选：A.2（2020全国高二课时练习） 在直三棱柱ABOA1B1 O1中，AOB ，AO4，BO2，AA14，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标 【答案】【解析】()又|4，|4，|2，().又|2，|4，|4，(4,2，4)考点三 最值问题【例3】（2020全国高二课时练习）已知点，则，两点的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值【一隅三反】1（2020江西高安中学高一期中（理）已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，因为点在直线上运动，所