新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.6.3 平面与平面垂直

1、8.6.3平面与平面垂直 1.理解二面角及其平面角的概念,会作简单的二面角的平面角. 2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直. 3.掌握平面与平面垂直的性质定理,会用相关定义、定理解决平面与平面垂直问题. 二面角 半平面的定义平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的相关概念这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面二面角的画法二面角的记法二面角-l-或-AB-或P-l-Q或P-AB-Q 续表二面角的平面角定义在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l

2、的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角图形范围AOB的范围是0AOB180 平面与平面垂直的定义文字语言一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直图形语言符号语言 平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直图形语言符号语言l,l作用面面垂直线面垂直;作面的垂线 平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直图形语言符号语言, =l,a,ala1.若l,则过l有无数个平面与垂直.()2.两个互相垂直的平面所形成的四个二面角

3、的大小均为90.()3.若,=l,al,则a.()提示：缺少条件a.4.二面角-l-的棱l上任一点O满足AOBO,AO,BO,则AOB是二面角-l-的平面角.()提示：“AOBO”不符合二面角-l-的平面角的定义,应该为“AOl,BOl”.5.若两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.()提示：这条直线与另一个平面可以垂直、平行或斜交.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” . 如何证明平面与平面垂直 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,证明平面PCD与平面PAD垂直. 1.在平面PCD中,找出一条与平面PAD垂直的直线.提示:在平面PCD中,与

4、平面PAD垂直的直线是CD.2.如何证明问题1中的线面垂直?提示:因为PA平面ABCD,所以PACD,因为四边形ABCD为矩形,所以CDAD,又ADPA=A,AD平面PAD,PA平面PAD,所以CD平面PAD.3.如何证明平面PCD与平面PAD垂直?提示:因为CD平面PAD,CD平面PCD,所以平面PCD平面PAD. 证明平面与平面垂直的方法 1.利用平面与平面垂直的定义来证明. 基本步骤: 找出两相交平面的平面角; 证明这个平面角是直角; 根据定义,这两个相交平面互相垂直. 2.利用平面与平面垂直的判定定理:若一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直. 基本步骤: 定思路:分析题意

5、,根据题中已知条件,在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直; 证线面:选择恰当方法证明线面垂直; 证面面:根据面面垂直的判定定理证明. 3.若一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面互相垂直.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABCD,BAD=90,PAD为等边三角形,M是PB的中点,AB=AD=DM=2CD=2.(1)证明:平面PAD平面ABCD;(2)求直线DM与平面PBC所成角的正弦值.思路点拨(1)要证面面垂直,需先证线面垂直,可根据面面垂直的判定定理求证.(2)通过VP-BCD=VD-PCB求出点D到平面PBC的距离d,再结合正弦函数定义即可求解.解析(

6、1)证明:取PA的中点N,连接MN,DN,M,N分别是PB,PA的中点,MNAB,且MN=AB=1,易知DN=,又DM=2,DN2+MN2=DM2,DNMN,ABDN.ABAD,ADDN=D,AB平面PAD,AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)如图,连接BD,CM,由(1)知,AB平面PAD,ABPA,在RtPAB中,PB=2,同理PC=,在直角梯形ABCD中,BC=,BD=2,PC=BC,又M为PB的中点,CMPB,CM=,由题意得SPCB=PBCM=2=,SBCD=CDAD=12=1,设O为AD的中点,连接PO,由题意得POAD,PO=,平面PAD平面ABCD,PO平面PAD,

7、平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD,设点D到平面PBC的距离为d,VP-BCD=VD-PCB,SDCBPO=SPCBd, 解得d=,设直线DM与平面PBC所成的角为, DM=2, 直线DM与平面PBC所成角的正弦值sin =.如图,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.思路点拨(1)取EC的中点F,连接DF,证明RtEFDRtDBA,从而可得DE=DA.(2)取CA的中点N,连接MN,BN,可得MNBD,由EC平面ABC,可得ECBN,又CABN,从而可得BN

8、平面ECA,进而得平面BDM平面ECA.(3)由DMBN,BN平面ECA可推出DM平面ECA,再由面面垂直的判定定理得平面DEA平面ECA.证明(1)如图,取EC的中点F,连接DF.因为EC平面ABC,BC平面ABC,所以ECBC. 易知DFBC,所以DFEC.因为BDEC,所以BD平面ABC,因为AB平面ABC,所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中,因为EF=EC,EC=2BD,所以EF=BD.又FD=BC=AB,DFE=DBA,所以RtEFDRtDBA,故DE=DA.(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MNEC,且MN=EC,CABN.因为ECBD,所以MNBD,所以MN平面BDM

9、.因为EC平面ABC,所以ECBN.又CABN,ECCA=C,所以BN平面ECA.因为BN平面MNBD,所以平面MNBD平面ECA,即平面BDM平面ECA.(3)易知DMBN,又BN平面ECA,所以DM平面ECA.又DM平面DEA,所以平面DEA平面ECA. 如何求二面角的大小 1.求二面角的平面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的平面角的常见方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,AOB为二面角-l-的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两条交线所成的角即二面角的

10、平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角. (3)垂线法:如图,过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则AOB为二面角-l-的平面角.已知RtABC,斜边BC,点A,AO,O为垂足,ABO=30,ACO=45,求二面角A-BC-O的大小.思路点拨过O作ODBC,垂足为D,连接AD,则ADO是二面角A-BC-O的平面角,在三角形中求出ADO的大小,即二面角A-BC-O的大小.解析如图所示,在平面内,过O作ODBC,垂足为D,连接AD.AO,BC,AOBC.又AOOD=O,AO,OD平面AOD,BC平面AOD.AD平面AO

11、D,ADBC.ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO,OB,OC,知AOOB,AOOC.设AO=a,ABO=30,ACO=45,AC=a,AB=2a.在RtABC中,BAC=90,BC=a,AD=a.在RtAOD中,sinADO=.ADO=60.故二面角A-BC-O的大小是60.误区警示二面角的平面角是唯一确定的,与顶点的位置无关,解题时可把顶点选在有利于解题的特殊位置.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点.(1)求证:平面MNF平面NEF;(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 思路点拨(1)将面面垂直的证明转化为

12、线面垂直的证明来解决.(2)作出二面角的平面角,在三角形中求二面角M-EF-N的平面角的正切值.解析(1)证明:因为N,F分别为所在棱的中点,所以NF平面A1B1C1D1.又MN平面A1B1C1D1,所以NFMN.因为M,E分别为所在棱的中点,所以C1MN和B1NE均为等腰直角三角形.所以MNC1=B1NE=45.所以MNE=90.所以MNNE.因为NFNE=N,所以MN平面NEF.又MN平面MNF,所以平面MNF平面NEF.(2)在平面NEF中,过点N作NGEF于点G,连接MG.由(1)知MN平面NEF,又EF平面NEF,所以MNEF.又MNNG=N,所以EF平面MNG.所以EFMG.所以M

13、GN为二面角M-EF-N的平面角.设该正方体的棱长为2.在RtNEF中,NG=,所以在RtMNG中,tanMGN=.所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为.方法总结1.求二面角的关键是找出(或作出)其平面角,再把平面角放到三角形中求解.一般采用垂线法来作平面角,即过在二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角.2.充分理解二面角的意义:(1)要注意二面角与两相交平面所成的角并不一致.(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的半平面内的角的联系与区别. 与垂直有关的探索性问题 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,

14、底面ABCD是边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. 1.若E为BC边上的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD?提示:能在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD.2.如何确定问题1中F点的位置?提示:当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.3.如何证明问题2中的结论?提示:如图,取AD的中点G,连接PG,BG.因为F为PC的中点,所以在PBC中,EFPB.在菱形ABCD中,GBDE,而PBGB=B,EFDE=E,PB,GB平面PGB,EF,DE平面DEF,所以平面DEF平面PGB.易得PGAD,又因为平面PAD平面ABCD,平面

15、PAD平面ABCD=AD,PG平面PAD,所以PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD. 1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是独立的,而是相互关联的.它们之间的关系如下: 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直 2.解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,求出一些所需要的条件,解决一些较复杂的问题,要注意转化思想的应用.如图,已知三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,BAC=90,点M,N分别为AB和BC的中点.当A

16、A为何值时,CN平面AMN?试证明你的结论. 思路点拨设AA的长度为a,利用CN平面AMN列出方程求解.解析连接BN,设AA=a,由题意知BC=2,NC=BN,三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面,平面ABC平面BBCC,AB=AC,AB=AC,又点N是BC的中点,ANBC,又平面ABC平面BBCC=BC,AN平面BBCC,CNAN.要使CN平面AMN,只需CNBN即可,在RtCCN中,NC=,NC=BN=,由NC2+BN2=BC2,得2=,a=,当AA=时,CN平面AMN.如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ADC=DCB=90,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC平面ABCD,在线段AB上是否存在一点E ,使平面PDE平面PAC?若存在,说明E点位置;若不存在,请说明理由. 思路点拨要使平面PDE平面PAC,可在平面PDE内找一直线垂直于平面PAC,易得DEPC,则只需在线段AB上找到一点E,使得DEAC即可.解析在线段AB上存在点E,使平面PDE平面PAC,此时DEAC.证明如下:PC平面ABCD,PCDE.当D