新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的思想方法. 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0. 3.三个重要公式 (1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|=. (2)两

2、点间的距离公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2),则|= . (3)向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则cos = =. 重要结论 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|ab|a|b|x1x2+y1y2 |. 2.设非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是 ,其中正、负号分别表示与a同向和反向. 3.设非零向量a=(x,y),则与a垂直的单位向量的坐标是 .1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ()2.|的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ()

3、3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y20;反之,若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y20,则它们的夹角为锐角.()判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .提示：当a与b的夹角为0时,cos =1,此时ab=x1x2+y1y20,但它们的夹角不是锐角.4.两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的夹角公式cos =的使用条件是a0且b0.()5.在直角三角形ABC中,=(1,1),=(-4,m),则m=4. ()提示：在直角三角形ABC中,若B为直角,则可得m=4,否则,不能得到m=4.故此题错误. 平面向量

4、数量积的坐标运算 1.进行向量的数量积运算时,需要牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是直接依据已知条件计算. 2.对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解. 3.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决,特别是二次函数与三角函数,借助向量数量积的坐标运算构造函数,再利用函数的性质求出最值.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC边的中点,点E在线段AB上运动,则 的取值范围是()A. B.C.D.0,1思路点拨建立适当的平面直角坐标系,借助向量数量积的坐标运算构造

5、函数,再利用函数性质求出取值范围.C解析建立如图所示的平面直角坐标系,设E(x,0),0 x1.由题意得M,C(1,1),所以=,=(1-x,1),所以=(1-x,1)=(1-x)2+.因为0 x1,所以(1-x)2+,即的取值范围是.答案C 平面向量数量积的坐标运算的应用 1.解决与向量的模有关问题的方法 (1)利用公式|a|=求解,其中a=(x,y); (2)利用数量积求模; (3)利用公式a2=|a|2求解; (4)利用表示向量的有向线段的起点、终点坐标和两点间的距离公式求解. 2.解决两向量夹角问题的方法 已知两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),利用公式cos=求两向量夹

6、角的余弦值,进而可求夹角. 已知向量a,b的夹角的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:00;90180ab0. 3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为=(x2,y2)=.给出下列三个命题:a=(1,2),b=(1,1),且a与a+b的夹角为锐角,则的取值范围为;设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=;a=(4,-2),b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的坐标为.其中的真命题为.(填序号)思路点拨根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.解析对于,a=(1,2),b

7、=(1,1),a+b=(1+,2+).a与a+b的夹角为锐角,解得的取值范围为(0,+),故错误.对于,ac,2x-4=0,解得x=2.bc,-4=2y,解得y=-2,a+b=(3,-1),|a+b|=,故正确.对于,b=(2,1),|b|=,=,a在b方向上的投影向量为=,故正确.答案已知ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.(1)求证:ABAC;(2)求点D和向量的坐标;(3)设ABC=,求cos .思路点拨(1)证明ABAC,只需证明=0.(2)设出点D的坐标,根据及与共线,即可求出点D的坐标,进而可求出的坐标.(3)确定向量与向量的坐标,代入公式即可.解析(1)证明:=(-1-2,-2-4)=(-3,-6),=(4-2,3-4)=(2,-1).=-32+(-6)(-1)=0,即ABAC.(2)设D点坐标为(x,y),则=(x-2,y-4),又=(4+1