尼科尔森《微观经济理论基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第2章最优化的数学表达)

1、985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解尼科尔森微观经济理论-基本原理与扩展（第9版）第2章最优化的数学表达课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。1.已知U(x,y)，4x2+3y2。（1）计算偏导数Ux，Udy。（

2、2）求出上述偏导数在x，1，y，2处的值。（3）写出U的全微分。（4）计算dU，0时dy/dx的值这意味着当U保持不变时，x与y的替代关系是什么？（5）验证：当x，1，y，2时，U，16。（6）当保持U，16时，且偏离x，1，y，2时，x和y的变化率是多少？（7）更一般的，当U，16时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数U（x,y），4x2+3y2，其关于x和y的偏导数分别为:UUx（2）当x，1，y，2时，（1）中的偏微分值分别为:UoU，8，xx=1yy=2，12985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解dyd

3、x-4x13x2，-2/3（3）U的全微分为:dU，dx+dy，8xdx+6ydyxdy（7）当U，16时，该函数变为：4x2+3y2,16，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由当dU，0时，由（3）可知：8xdx+6ydy，0，从而可以解得：y，*x，“x。dx6y3y将x，1，y，2代入U的表达式，可得：U，4x1+3x4，16。由（4）可得，在x，1，y，2处，当保持U，16不变，即dU，0时，有：可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：dy,-加2假定公司的总收益取决于产量（q）,即总收益函数为：R70q-q2;总成本也取决于产量（q）:Cq2,30q,100。（1）为了使利润（R-C

4、）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。解：（1）公司的利润函数为：冗RC-2q2,40q100利润最大化的一阶条件为：d冗=-4q+40=0dq从而可以解得利润最大化的产量为：q10；相应的最大化的利润为：冗-2102+4010-100100。（2）在q10处，利润最大化的二阶条件为：d2兀-40，因而满足利润最大化的二dq2阶条件。（3）在q10处，边际收益为：MRdR70-2q50；dq边际成本为：MCdC2q,3050；dq因而有MR=MC=50

5、，即“边际收益等于边际成本”准则满足。3.假设f（x,yLxy。如果x与y的和是1，求此约束下f的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。解：（1）代入消元法由x+y1可得：y1-x，将其代入f可得：fxyxx2。从而有：df1-2x0，可以解得：x=0.5。从而y1-x=0.5，f=0.25dx（2）拉格朗日乘数法f的最大值问题为：maxxys.t.x,y1构造拉格朗日函数为：Lxy+九(1-x-985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解一

6、阶条件为:985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解弘0，y九，0dxdL，x九，0dy弘,0，1xy，0族从而可以解得：x，y，0.5，因而有：f，xy，0.25。4.对偶函数为：minxys.t.xy，0.25利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。解：设最小化问题的拉格朗日函数为：L，xy(0.25xy)一阶条件为：dL，1九y，0dxdL，1-九x，0dydL，0.25xy，0d从而有：x，y，xy，x2，0.25，从而可以解得：x，y，0.5。5以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间(t)的函数：f(t)，-0.5gt240t其中，g

7、是由重力所决定的常数。小球处于最高处的时间t如何取决于参数g?利用你在(1)问中的答案来描述：随着参数g的变化，小球的最大高度如何变化。利用包络定理直接给出(2)问中的答案。在地球上，g，32，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？解：(1)对高度函数f(t)，-0.5gt240t关于时间求导数可得：df，-gt40，0dt从而可以解得使高度最大的时间为：t*，40，从而可知小球处于最高处的时间t与参数gg成反比例关系。985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解将

8、t*40代入高度函数中可得:g=-0.5g4040+40 xg800g985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解从而有：”*=-8000，即：随着g的增大，最大高度将变小。dgg2由包络定理可知：苗=-1()取决于g，因为护取决于g。强2因而有:苗=-0.5=-0.540-8000；112212方程2.114为：ff22fff+ff20f(x)+10)f(x，则称函数f(x)为凹函数。1212函数f(x)，对定义域S(凸集)上任意两点x，xeS，0e【0,1，如

9、果有12f0 x+(10)xmin函数f(x)为拟凹函数。1212可知，对于凹函数有：f0 x+(10)x0f(x)+(10)f(x)minf(x,f(x)“121212因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。(2)直观的，从图形上看，函数f(x)为拟凹表示线段x、x之间的点的函数值要高12于点A，或者说曲线ACB之间的点都高于点A。显然，当函数f(x)是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。但是，这不是必要的。如图2-2所示，在曲线AC段，函数是凹的；而在CB段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。985/211历年真题解析，答案

10、，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解图2-2凹函数与拟凹函数柯布-道格拉斯函数：y，xax卩，其中，a和都是小于1的正的常数。12(1)利用方程ff2-2fffff0计算，从而验证该函数是个拟凹函数。1121212221985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解（2）通过验证任何y，c（c为任何正的常数）的上水平线都是凸的，从而任何满足yc的集合都是凸的，来验证柯布一道格拉斯函数是拟凹函数。（3）验证：如果a1，则柯布一道格拉斯函数不是凹函数

11、（从而表明不是所有的拟凹函数都是凹函数）。证明：（1）分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：f=aXa-1X0Xa-2X012112f?，卩xax-10f，a(a-1)f=(-1)XaX-202212f，f，axa-1x卩-10122112从而可得:ff2-2fffff20，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。1121212221985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这一经济学历年考研真题及详解（2）如果y，c，xax，则x，c1/x-a/，因而当a、0时，X是X的凸函数

12、。关122121于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数f（X）是拟凹的，则当且仅当集合S，rf（x）k是凸集，其中k是任意常数。集合S，xf（x）1时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。10.幂函数y=x,其中，0,1(有时，也可以考虑为负的情形，此时利用y=xs/来确保导数有恰当的符号)。证明：此函数是凹函数。注意到当=1的特殊情况，以及仅当1时，该函数才是“严格”凹的。证明：幕函数的多元形式y=fx,x)=x+x也是一个凹函数(和拟凹函数)。1212解释在这种情况下，为什么f=f=0使得凹形的确定变得极其简单。1221一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对(2)问中的函数进行单调变换：gx,x)=y丫=C+xs)1212其中，y是一个正的常数。这种变换是否仍保持函数的凹性？g是拟凹的吗？证明：(1)当0,0，y=-1)x-20，所以此时函数y=x是严格凹函数。对于幕函数y=fx,x)=xs+xs，有：f=x5-1,f=(-1)(x5-2;121211111f=x5-1，f=(1-)(x8-2。22222因为f，f0满足，因而该函数是凹函数。11221221112212因为yy是拟凹函数，所以g是拟凹函数。但是，当y1时，yy不是凹函数。所有这些结论可以通过对y的偏微分以及方程ff-f20和ff2-2fff+ff20来验1122