10-3单自由度体系的强迫振动

1、2013-6-2513. 简谐荷载下强迫振动的动力系数动力系数的：3 y(t)max 1它是频率比值/的函数。y 221 2st特性：1123 0 时， 1，作静荷载处理0 1 时， 1, 随频率比的增大而增大 1 时， 的绝对值随频率比的增大而减小 1 时， ， 3. 简谐荷载下强迫振动的动力系数平稳阶段：其最大振幅为：y(t) y 1 sint yst st 2y(t) max 21 21 2最大振幅与最大静位移之比称动力系数： y(t)max 1 即有： y y sinty 2stst1 22. 简谐荷载下强迫振动微分方程的解y(t) y 1 sintF (x) F sintst 2P1

2、 2y 2 y F sint则其一般解为：my(t) C1 sin t C2 cost 解特解振动部分强迫振动部分平稳阶段：y(t) y 1 sintst 21 2y1 sintst 21 2简谐荷载下强迫振动微分方程的解简谐荷载：FP (t) F sint设其特解为：y 2 y F sint my Asin tF2 2 Asin t sin t求得：my Fsin tF2 2 A 22m 1 2 m 1 令： y F F 得特解： y(t) yst 2 sintst m 21 21. 强迫振动微分方程强迫振动：结构在动荷载作用下的振动。ymy ky FP (t)kmFP(t) kymkyFP

3、(t) 2 F (t)myyy Pm单度体系的强迫振动Forced-vibration of single degree of freedom system教学目标：掌握单度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。理解振动和强迫振动的本质区别。教学内容：强迫振动微分方程简谐荷载下强迫振动微分方程的解简谐荷载下强迫振动的动力系数一般荷载下的强迫振动2013-6-2523. 简谐荷载下强迫振动的动力系数 拓展动荷载不在质点上FP t F sin ty t my11 1P FP t EImy t 1P 荷载F 1作用时，沿质P0.5l0.5l量运动方向产生的位移 1 F t F sint11kP11my

4、 k y 1P F t my11P113. 简谐荷载下强迫振动的动力系数拓展动荷载不在质点上FP t F sintmmy k11 y r1P FP t 0EI3EI50.5l0.5lmy y F sint l316 PF t F sintmyPr1P FP t k11 yr1P FP t r F t 1P Pr1P为力FP(t)1作用(y0)，质点m上沿运动方向所需的力。k 3EIr 5 F11l31P16 P3. 简谐荷载下强迫振动的动力系数拓展支座为弹簧例：已知m=300kg，EI=90105Nm2 ,k=48EI/l3 ，FP=20kN,=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 l

5、 3 1 1 FPsint1 2 48EI 2 2km l ll 3k 2mEI 2mEIEIEI 192EI 134.16s1 11.5525ml31 2 2y F F 5l 1.552 2010 5 4 .75103333maxPP 192EI192 901055mM 1 ( F )l 1 1.552 20 4 31.04 k N .mmax4P41m3. 简谐荷载下强迫振动的动力系数计算示例 3.866P(t)10sint 最大位移与最大弯矩W2m2mymax yW yP yW yst W P 0.00776mM max MW MP 1 58.66kN m43. 简谐荷载下强迫振动的动力

6、系数计算示例 自振频率P(t)10sint W l 32m2m48EI 48EIg 481.008104 kN m2 9.8m / s2 1Wl 320kN 43 m360.81s 荷载频率 2n 60 1 3 866 动力系数 21 1 m3. 简谐荷载下强迫振动的动力系数计算示例例：一无重，在跨中有重W20kN的电机，电机偏心所产生的干扰力P(t)10sint，电机每分钟转数n=500r/min，梁EI1.008104kN.m2。求梁的最大位移和弯矩。P(t)10sintW2m2m1分析 为了求最大位移和弯矩， 2只需求动力系数。1 22013-6-2534. 一般荷载下强迫振动阶段 (t

7、u)：y(t) y 2sin u sin (t u )st22动力系数的大小与荷载持续时间长短有关（设系统自振周期为T）：2sin u ,u 12 TT2u 112,T21/6 1/2uT4. 一般荷载下强迫振动（2）短时突加荷载FP(t)0,当t 0F (t) F ,当0tut0u阶段 (0tu)：荷载情况与突加荷载相同 y(t) = yst(1-cost)阶段 (tu)：为振动。以阶段i终了时刻(t=u)的位移和速度为起始位移和起始速度：y(t) 1 u F sin (t )d FP 0 cos(t u) costm 0 P 0m 2 y 2 sin u sin (t u )st224.

8、一般荷载下强迫振动（1）突加荷载FP(t)0,当t 0Fp (t) F ,当t 0FP0 P 0t当t0时：0y(t)1 t F sin (t )d FP 0 (1 cos t) y (1 cost)m 0 P 0m 2stFP0作用下所产生的静位移： FP 0 yst动力系数：023tyst y(t)max 2yst2ysty(t)4. 一般荷载下强迫振动F ( )dFP(t)dy P sin (t )m由叠加原理得开始一般荷载作用下强迫振动位移为：ty(t) 1 t F ( ) sin (t )ddm 0 p(Duhamel)积分t具有初始速度和位移一般荷载作用下强迫振动位移为：y(t)

9、y cost 0 sin t 1 t F ( ) sin (t )d0m 0 p 思考 Duhamel积分可以求解简谐荷载作用下的动位移吗？4. 一般荷载下强迫振动思路：将荷载作用看成是由一系列瞬时冲FP(t)量的叠加，求出每个冲量引起的位移后，叠加即为动荷载引起的位移。设体系在初始时刻处于状态，在t=t时有瞬时冲量S作用d体系在任意荷载下的强迫振动：tS FP ( )dy S sin t Pt sin tdy FP ( )d sin (t )mmm4. 一般荷载下的强迫振动预备知识：设体系在初始时刻处于状态，有瞬时冲量S作用。FP(t)S Pt初速度： v S初位移：y0 P0m代入tty y sin t v0 costy S sin t Pt sin t0mm2013-6-254作业习题 P481：10-8、10、11下一节课内容10-4 阻尼对振动的影响要点：阻尼比小结振动微分方程刚度法 kmy ky 0柔度法 y (my)振动微分方程的解y(t) y cost v0 sin t0结构的自振频率 1 g mWgstkm4. 一般荷载下强迫振动（3）线性渐增荷载 F2 0FP(t) P0 t,当0 t tr , 1 8F F (t) tP0prF ,当t t1