概率论第概率公理化定义以及概率性质

1、关于概率论第概率的公理化定义及概率的性质第一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”几何概型的定义设随机试验的样本空间为有界区域 事件试验结果落在区域 中的面积的面积称为几何概型注：事件 发生的概率与位置无关,只与 的面积有关，这体现了某种“等可能性” 第二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 (约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。这是一个几何概型，所求概率是 设 分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是解例第三张，PPT

2、共三十二页，创作于2022年6月例3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.第四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S = d( /2). 第五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x l sin ( /2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得第六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月由蒲丰投

3、针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N.用频率代替概率得： 2lN/(dn).历史上有一些实验数据. 的随机模拟第七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月(三)概率的基本性质 性质证因为概率为实数,故性质若 是两两不相容的事件,则证故由可列可加性，有有限可加性第八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月性质若 则证因 互不相容,故由有限可加性有再由概率非负性得事件解释为区域概率解释为区域面积事件与概率的图示第九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月性质性质性质对任何事件 有(加法公式)对于三事件 有

4、挖挖挖补由定义第十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月挖补原理 多事件的加法公式对于 个事件，有全加减二加三挖补规律: 加奇减偶减四第十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)例4 得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2， 所以 P( ) = 10.2 = 0.8.第十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例5解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(

5、AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB). 第十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例6解：因为A、B、C 都不出现的概率为= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.第十四张，PPT共三十二页，

6、创作于2022年6月例7 口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为“第k 次取到白球” .而“第k 次取到白球” 意味着：“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”第十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例8解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为 一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月甲参加有奖问答竞猜活动，他能答出第一道题的概率是0.8，能答出第二道题的概率是0.3，例9两道题都能

7、答出的概率是0.2，试求：（1）能答出第一道题而答不出第二道题的概率（2）至少有一道题能答不出的概率 （3）两道题都答不出的概率 解已知？0.80.3（1）（2）（3）第十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月因为概率是事件(集合)的函数， 所以先讨论事件(集合)的“极限” .本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4 概率的连续性第十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为第十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6

8、月 设P()是一个集合函数， (1) 若任对单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.集合函数的连续性 (2) 若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的. 第二十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数， 则P() 既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性第二十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月性质1.3.8若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P() 有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件第二十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月N 个产品，其中M个不合格品

9、、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)常见模型(1) 不返回抽样从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：此模型又称 超几何模型. n N, m M, nmNM.第二十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.思 考 题第二十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. 从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：常见模型(2) 返回抽样条件： m n , 即 m = 0, 1, 2

10、, , n.第二十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN) 常见模型(3) 盒子模型第二十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 第二十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n.求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4) 配对模型第二十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n!P(A1A2An)= 配对模型(续)第二十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 (匹配问题) 将四把能打开四间不