机械控制工程基础 课件

1、贾光政 教授机械控制工程第二章 系统的数学模型大庆石油学院机械科学与工程学院2011年5月内 容 提 要熟悉典型线性环节的应用特性。了解物理系统在数学形式上的相似原理。 掌握控制系统微分方程的列写方法；掌握非线性方程的线性化方法；掌握传递函数的定义、概念和性质；掌握典型线性环节的传递函数；掌握传递函数的方框图绘制和等效变换方法与原则。定量描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能的关系。系统数学模型的作用：分析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来推到出数学表达式。建立系统数学模型的方法：实验法是根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际系统的数学模型。2.1 系统的微分方程当系统的数学

2、模型能用线性微分方程描述时，该系统称为线性系统。线性系统的输入、输出满足叠加原理。1线性系统的叠加原理线性系统：线性系统基本特性：2.1 系统的微分方程1线性系统的叠加原理线性叠加原理：对一个线性系统，一个输入的存在并不影响另一个输入引起的输出；当系统同时有多个输入时，可以对每个输入分别考虑，单独处理以得到相应的每个输出响应，然后将这些输出叠加起来就得到系统的输出响应。2.1 系统的微分方程1线性系统的叠加原理系统x1y1系统x2y2非线性系统x1+x2y1+y2线性系统x1+x2=y1+y22.1 系统的微分方程当系统的数学模型不能用线性微分方程描述时，该系统称为非线性系统。非线性系统的输入

3、输出不满足叠加原理。非线性系统：1线性系统的叠加原理2.1 系统的微分方程在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的非线性。本质非线性：死区、饱和、滞环、继电器和摩擦力等1线性系统的叠加原理在工作点附近可用切线来代替，进行线性化处理的非线性。非本质非线性：2.1 系统的微分方程 （1）分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输入量及输出量；（2）根据物理定律，依次列出系统中各部分的动力学方程；并将非线性方程线性化；2系统建模的一般步骤（3）消去各方程中的中间变量，求出描述系统输入量与输出量之间关系的微分方程；（4）整理微分方程，将与输入有关的各项放在方

4、程右边，与输出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列。2.1 系统的微分方程举例1: 两个串联的RC电路组成的滤波网络u1R1C1R2i1i2C2u22系统建模的一般步骤2.1 系统的微分方程 确定输入输出：解：输入u1，输出u2。 根据克希霍夫电压定律列出下列方程2系统建模的一般步骤2.1 系统的微分方程消去中间变量 i1，i2。 2系统建模的一般步骤整理微分方程 mkcy(t)f(t)2.1 系统的微分方程 3系统微分方程变量形式选择举例:2.1 系统的微分方程（1）以实际坐标作为变量 （2）以坐标的增量作为变量3微分方程变量形式选择2.1 系统的微分方程ff0y0yyffy3微分方

5、程变量形式选择2.1 系统的微分方程（3）以无量纲坐标作为变量3微分方程变量形式选择2.1 系统的微分方程4系统元件间的负载效应对于由两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如一个对另一个施加了负载，这一影响称为负载效应，或称耦合。 负载效应(耦合)：m1k1y1(t)f(t)m2k2y2(t)2.1 系统的微分方程举例2: 两个由质量-弹簧串联而成的振动系统4系统元件间的负载效应2.1 系统的微分方程 确定输入输出：解：输入f，输出y1或y2。 根据牛顿定律列出动力学方程4系统元件间的负载效应2.1 系统的微分方程消去中间变量y1或y2。

6、 4系统元件间的负载效应研究y1，消去y2: 研究y2，消去y1: 2.1 系统的微分方程整理微分方程 4系统元件间的负载效应对y1: 对y2: 2.1 系统的微分方程采用某种方法将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程。在由控制系统的诸变量所决定的广义坐标中，与系统预期工作状态相对应的点。5系统非线性微分方程的线性化预期工作点：线性化：2.1 系统的微分方程非线性微分方程进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小。非线性微分方程进行线性化的基本工具是泰勒级数展开法5系统非线性方程线性化将具有两个自变量 x 和 y 的非线性函数在预期工作点（x0，y0）邻域展开成泰勒级数为

7、 2.1 系统的微分方程 ； 5系统非线性方程线性化非线性函数在预期工作点邻域进行线性化的基本关系式 2.1 系统的微分方程5系统非线性方程线性化举例3：液压伺服系统 q1q2m回油高压回油P1P2Ayxc2.1 系统的微分方程5系统非线性方程线性化符号意义：x：阀芯位移；y：活塞位移；A：活塞面积；c：粘性阻尼系数；q：负载流量，活塞带动负载时进入或流出油缸的流量；p：负载压降， p=p1-p2，活塞两端单位面积上的压力差；2.1 系统的微分方程 确定输入输出：解：输入 x，输出 y。 根据定律列出动力学方程连续方程牛顿定律5系统非线性方程线性化节流方程非线性方程2.1 系统的微分方程非线性

8、方程线性化将该非线性方程在预期工作点（x0，p0）邻域进行小偏差线性化 Kq：流量增益，表示因阀芯位移引起的流量变化 Kc：流量-压力系数，表示因压力变化引起的流量变化 5系统非线性方程线性化2.1 系统的微分方程如当系统在预定工作条件（x0=0，p0=0）下工作，则液压伺服系统流量方程线性化为 5系统非线性方程线性化2.1 系统的微分方程消去中间变量 q、 p5系统非线性方程线性化整理微分方程 2.1 系统的微分方程线性化表达式应用注意事项：， （1）必须明确系统的预定工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。（2）如果变量在较大范围内变化，线性化数学模型在工作点外的其他工况会有较大

9、误差。（3）如果非线性函数是不连续的，则在不连续点附近不能进行线性化，这类非线性称为本质非线性。5系统非线性方程线性化2.1 系统的微分方程， （4）线性化表达式中的变量不是绝对量，而是增量；若是把预定工作点看作广义坐标的原点，则有x0=0，p0=0，增量可写为绝对量；而预定工作点不是广义坐标的原点则是普遍情况。 5系统非线性方程线性化2.2 系统的传递函数 拉氏变换 拉氏变换的微分性质：2.2 系统的传递函数 拉氏变换 拉氏变换的积分性质：拉氏变换的终值定理：2.2 系统的传递函数 拉氏变换 常用拉氏变换：2.2 系统的传递函数 拉氏变换 常用拉氏变换：2.2 系统的传递函数 1传递函数 在

10、初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号的Laplace变换（拉氏变换）与其输入信号的Laplace变换之比，称为该系统或元件的传递函数.（1）传递函数的定义G(s)Xi(s)Xo(s)2.2 系统的传递函数 G(s)Xi(s)Xo(s)1传递函数|定义2.2 系统的传递函数（2）传递函数的求取Laplace变换可得 设有线性定常系统，若输入Xi(t)，输出Xo(t)，系统微分方程为1传递函数2.2 系统的传递函数传递函数为 1传递函数|求取（3）传递函数的性质2.2 系统的传递函数 传递函数只与自身的结构有关，与系统的输入、输出形式无关。 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特

11、性；分子代表输入与系统的关系。1传递函数2.2 系统的传递函数 对于物理可实现系统，传递函数分母中s 的阶数n 必不小于分子中s 的阶数m，即 n m。 传递函数不代表描述系统的物理结构，物理性质不同的系统、元件,可以具有相同类型的传递函数。传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转换。1传递函数|性质2.2 系统的传递函数传递函数G(s)的零点与极点与s 平面上一定的零极点图相对应。 传递函数是系统单位脉冲响应w(t) 的拉氏变换。1传递函数|性质zi 及 pi 分别为传递函数G(s)的零点与极点；k为比例系数。 2.2 系统的传递函数 传递函数的概念只适用于单输入-单输出的线性定常系统

12、。 传递函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。 （4）传递函数的局限性1传递函数2.2 系统的传递函数2开环与闭环传递函数 G(s)E(s)Xo(s)H(s)Xi(s)B(s)2.2 系统的传递函数（2）反馈传递函数H(s)定义为反馈信号B(s)与输出Xo(s)之比 （1）前向通道传递函数G(s)定义为输出Xo(s)与偏差E(s)之比2开环与闭环传递函数2.2 系统的传递函数（3）开环传递函数Gk(s) 定义为闭环系统的前向通道传递函数G(s)与反馈回路传递函数H(s)之乘积 ,或定义为反馈信号B(s)与偏差E(s)之比2开环与闭环传递函数2.2 系统的传递函数（4）闭环传递函数GB(s)定

13、义为闭环系统的输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比 2开环与闭环传递函数2.2 系统的传递函数3 典型环节的传递函数输出量与输入量成正比，不失真也不延时。比例环节：2.2 系统的传递函数比例环节举例：三极管 齿轮副 3典型环节的传递函数运算放大器 2.2 系统的传递函数动力学方程为一阶微分方程形式。惯性环节：3典型环节的传递函数2.2 系统的传递函数惯性环节举例：3典型环节的传递函数阻尼-弹簧系统 阻容电路 u1RCi1u2kcxo (t)xi (t)2.2 系统的传递函数输出正比于输入的微分。微分环节：3典型环节的传递函数2.2 系统的传递函数微分环节举例：3典型环节的传递函数微分运算

14、电路ui(t)uo(t)CR2.2 系统的传递函数3典型环节的传递函数微分环节对系统的控制作用如下： 使输出提前，预测了输入的情况，因而有可能对系统提前施加校正作用，提高系统的灵敏度。 增加系统的阻尼。 强化噪声的作用，增大了因干扰引起的误差。 2.2 系统的传递函数输出正比于输入的积分。积分环节：3典型环节的传递函数2.2 系统的传递函数积分环节：3典型环节的传递函数xi(t)xo(t)tT0积分环节输入输出关系x(t)2.2 系统的传递函数积分环节举例：3典型环节的传递函数水箱液位h与流量Q的关系Q1(t)负载阀Q2(t)控制阀h(t)2.2 系统的传递函数积分环节举例：3典型环节的传递函

15、数电路的有源积分网络ui(t)uo(t)CR2.2 系统的传递函数振荡环节：3典型环节的传递函数2.2 系统的传递函数振荡环节举例：3典型环节的传递函数uiLRiLiCCuoiR2.2 系统的传递函数是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节延时环节：3典型环节的传递函数2.3 系统的传递函数方框图及其简化 1系统的传递函数方框图一个系统可由若干个环节组成，将这些环节的传递函数以方框表示，其间用相应的变量联系起来，就构成系统的传递函数方框图。系统方框图具体而形象地表示了系统内部各环节的数学模型、各变量之间的相互关系以及信号流向。 2.3 系统的传递函数方框图及其简化 函数（元件）方框: 函数

16、方框是传递函数的图解表示。图中指向方框的箭头表示输入的拉式变换；离开方框的箭头表示输出的拉式变换；方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。（1）方框图的结构要素G(s)Xi(s)Xo(s)1系统的传递函数方框图2.3 系统的传递函数方框图及其简化 相加点（比较点）：相加点是信号之间代数求和运算的图解表示。每一个指向相加点的箭头表示一个输入信号（信号有+、-），离开相加点的箭头表示一个输出信号；相加点处的信号量纲必须相同；相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。（1）方框图的结构要素A-B+CCBA1系统的传递函数方框图2.3 系统的传递函数方框图及其简化 （1）方框图的结构要素 分支点（引

17、出点）：分支点表示同一信号向不同方向的传递。分支点引出的信号量纲相同、数值相同。X(s)X(s)X(s)1系统的传递函数方框图2.3 系统的传递函数方框图及其简化 （2）系统方框图的建立 建立系统或元件的原始微分方程。 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来，系统输入置于左端，输出置于右端，便得到系统的传递函数方框图。 对这些原始微分方程进行拉式变换，并根据各拉式变换中的因果关系绘出相应的方框图。1系统的传递函数方框图举例1：液压伺服系统 连续性方程力平衡方程流量方程拉氏变换：2.3 系统的传递函数方框图及其简化 1系统的传递函数方框图X(s)KqQ(s)KqP(s)

18、Y(s)P(s)Q(s)Y(s)2.3 系统的传递函数方框图及其简化 1系统的传递函数方框图X(s)KqKqP(s)Q(s)Y(s)传递函数：2.3 系统的传递函数方框图及其简化 1系统的传递函数方框图举例2：RLC电路uiLRiLiCCuoiR拉氏变换：1系统的传递函数方框图Ui(s)Uo(s)LsIL(s)Uo(s)IR(s)2.3 系统的传递函数方框图及其简化 Ic(s)IL(s)IR(s)csUo(s)IC(s)1系统的传递函数方框图2.3 系统的传递函数方框图及其简化 Ui(s)Uo(s)LsIL(s)Ic(s)IR(s)cs传递函数：1系统的传递函数方框图2.3 系统的传递函数方框

19、图及其简化1系统的传递函数方框图（3）传递函数方框图的优点 可以形象地表示系统内部的情况及各环节、各变量之间的关系。 可以由局部环节的传递函数方框联成整个系统的方框图，再将方框图简化，就易于写出整个系统的传递函数。 可以揭示和评价每个环节对系统的影响。（1）串联环节的等效变换规则 2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换 G2(s)Xo(s)Xi(s)G1(s)X (s)Xo(s)Xi(s)G1(s) G2(s)等效环节串联的等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积。（2）并联环节的等效变换规则 2.3 系统的传递函数方框图及其简化Xo(s)Xi(s)G1(s) G2(s)等效G

20、1(s)G2(s)Xo(s)Xi(s)Xo1(s)Xo2(s)2方框图的等效变换（2）并联环节的等效变换规则 2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换环节并联的等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和。2.3 系统的传递函数方框图及其简化X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)G(s)等效2方框图的等效变换（3）分支点移动规则 分支点前移：若分支点由方框之后移到方框之前，则必须在分支路上串入具有相同传递函数的方框。2.3 系统的传递函数方框图及其简化X2(s)X3(s)G(s)X1(s)等效X2(s)X3(s)G(s)X1(s)1 G(s)2方

21、框图的等效变换（3）分支点移动规则 分支点后移：若分支点由方框之前移到方框之后，则必须在分支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框。2.3 系统的传递函数方框图及其简化X3(s)X2(s)G(s)X1(s)X3(s)X2(s)G(s)X1(s)G(s)等效2方框图的等效变换（4）相加点移动规则相加点后移：若相加点由方框之前移到方框之后，则必须在移动的支路上串入具有相同传递函数的方框。2.3 系统的传递函数方框图及其简化等效X3(s)X2(s)G(s)X1(s)X2(s)1 G(s)X3(s)G(s)X1(s)2方框图的等效变换（4）相加点移动规则相加点前移：若相加点由方框之后移到方框之前，则必须

22、在移动的支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框。2.3 系统的传递函数方框图及其简化AA-BBCA-B+CAA+CCBA-B+C等效2方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 相加点可以前后交换2.3 系统的传递函数方框图及其简化ABCA-B+CAA-BBA-B+CC等效2方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 相加点可以分开，先后相加，结果不变2.3 系统的传递函数方框图及其简化G2AG1G2AG1AG1G1AG1G2AG2AG2等效2方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 对串联的方框，如果中间没有相加点或分支点，可以前后交换2.3 系统的传递函数方框图及其简化AA-BBA-BAA-BBA-

23、BB等效2方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 分支点移到相加点之前，必须在移动的分支路上补上相加点2.3 系统的传递函数方框图及其简化G1G2AG1+AG2AAG1AG2G1AG1+AG2AG21G2等效2方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 相加点在后时，可按图将并联方框图化为单位并联方框图2.3 系统的传递函数方框图及其简化等效G1G2AAG11+G1G22方框图的等效变换（5）其它一些简化规则 相加点在前时，可按图将反馈方框图化为单位反馈方框图1G2G1G2AG11+G1G2A2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换（6）方框图简化过程中的两条原则 各反馈回路开环传递

24、函数的乘积必须保持不变。 前向通道中传递函数的乘积必须保持不变。举例：系统传递函数方框图如下，试进行等效变换后求系统传递函数。 2.3 系统的传递函数方框图及其简化E(s)G2G1XiG3H1H2B(s)Xo2方框图的等效变换分支点后移 2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换E(s)G2G1XiG3H1H2B(s)Xo1/G3E(s)G1XiH1/G3B(s)XoG2 G31+G2G3H2反馈回路简化 2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换反馈回路简化 E(s)XiB(s)XoG1G2 G31+G2G3H2-G1G2H1反馈回路简化 XiXoG1G2 G31+G

25、2G3H2-G1G2H1+G1G2G3当整个系统方框图具备两个条件： 整个系统方框图只有一条前向通道； 各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框图； 2.3 系统的传递函数方框图及其简化注意：在相加点处，对反馈信号相加时取负号；对反馈信号相减时取正号。 2方框图的等效变换则含有多个局部反馈的系统闭环传递函数为 2.3 系统的传递函数方框图及其简化举例1：系统传递函数方框图如下，求系统传递函数。 2方框图的等效变换G1XiG2H1XoH22.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效变换G2G1XiH1H2Xo举例2：系统传递函数方框图如下，求系统传递函数。 2.3 系统的传递函数方框图及其简化2方框图的等效