伯努利方程的解法

1、中文摘要 错误！未定义书签。ABSTRACT 错误！未定义书签。 TOC o 1-5 h z 引言 1.伯努利方程的解法 1变量代换法 1一般解法 1函数变换法 2求导法 3恰当导数法 3常数变易法 4积分因子法 6解法举例 7.伯努利方程的应用 10在一阶微分方程中的应用 10y(x)y(x)y(x)在形如？ y )y = p(x) 4 ydy+ q(x)(* *y)dy) ( ( *y)dy 存在且不为零)方程中的应用 10在形如f R)+x0h()y= g() + yx3hd)方程中的应用 11x x xx在黎卡提方程中的应用 12.总结 13参考文献 14致谢 错误！未定义书签。引言在

2、数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如yP(x)y = Q(x)yn,其中P(x)、Q(x)为x的连续函数，n为常数且n #0, 1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程， 一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分 法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解 -1本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。 同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。本文主要分成两个部分，结构如下：第

3、一部分是伯努利方程的解法，主要 给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二 部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分 方程的求解中的应用。.伯努利方程的解法变量代换法变量代换法、常数变易法的混合运用伯努利方程：dy + P(x)y =Q(x)yn (n=0, 1) (1.0)dx其一般解法步骤如下：方程两端同除以yn得：y，dy p(x)yi =Q(x).dx变量代换令2= y1即可化为一阶线性微分方程：dz一十 (1n)P(x)z = (1 n)Q(x).dx常数变易通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方 程的通解.

4、变量代换最后将z代换yj得原方程的通解：1(n _1 ) p X d x_ ( 1 n ) p X d xriy=(1-n)e， g Q(x)e 布x.j3C为任意常数1.1.2函数变换法设y=u(x)v(x)是(1.0)式的解，则对y =u(x)v(x)两边求导得：y = u(x)v(x) +u(x)v(x),将上式代入方程得：u (x)v(x) u(x)v(x) p(x)u(x)v(x) = Q(x)un(x)vn(x),整理得：u(x)/ x )u x( v)x ( p) x v (x ) = Q 闪 un x(vn) x ( (1.1)令 v(x) + p(x)v(x) =0 解得：一

5、 p(x)dxv(x)=e ,将其代入(1.1)式得：-p(x)dxn-n p(x)dxu (x)e J =Q(x)un(x)e ，整理得：n(1-n) lp(x)dxu (x)u (x)=Q(x)e,两边积分得：1 n(1 -A) |p(x)dxu (x) = (1 -n). Q(x)e dx c,故伯努利方程的通解为： 1 n、(n1)p(x) dx(1 _n) p(x)dx，一,y =(1n)e JQ(x)e dx + c .C 为任息常数1.1.3求导法令 z =A(x)y1jn B(x),对上式两边求导得:z = A(x)yJ +A(x)(1 n)y/y+B(x),即有:yy =z

6、-B (x)-A(x)yi1,(1-n)A(x)代入(1.0)式得:z+(1n)A(x) p(x) A(x)yZ B(x) (1 n)Q(x)A(x) =0 .令(1 -n)A(x)p(x) - A(x) =0B(x) +(1n)Q(x)A(x) =0 .解得:(1 -n) p(x)dxA(x) =e,这时伯努利方程变为z = 0,解得z=c.(5 )B(x)= (n 1) Q 仅 ep x d xdx于是得到伯努利方程的通解为:1 -ny e(n)p(x)dx(1 -n) p(x)dx，(1-n),Q(x)edx + c . 3 C为任意常数1.1.4恰当导数法一 p(x)dx令u(x) -

7、e即：.一 p(x)dx有 u (x) = -p(x)e则(1.0)式变形为:y -需y=Q(x)广儿，U (X)nJ y .nJ=Q(x)u (x), u(x)u(x)(lny) -(lnu) =Q(x)un(x) n,u(x)(ln?) =Q(x)un(x)n，uu(x)设y = uz得：(Inz) =Q(x)un(x)zn，Fq=Q(x)un(x)(可分离变量微分方程) z两边积分解之得：z1=(1 -n) Q(x)un(x)dx c,用z = 2 , u(x) =e-p(x)dx,回代得伯努利方程的通解为： u1(n)p(x) dx(1_n) p(x)dx口yj=(1 n)efQ(x)

8、e J dx+c. 4C 为任意常数1.2直接常数变易法常数变易法一：(1.0)式的齐次方程的通解为：-p(x)dxy = ce .设原方程(1.0)式的通解为：Ip(x)dxy=c(x)e，代入(1.0)式得：-p(x)dx n-n |p(x)dxc (x)e =c (x)e L Q(x).这是一个可分离变量的微分方程，可求出c1(x) .1(1 .n) p(x)dx即：c (x) =(1-n) JQ(x)e dx + c,则原方程的通解为：1 n(n J) p(x)dx(1 _n) p(x) dx5 y =(1n)e JJQ(x)eJ dx + c . 5C为任意常数常数变易法二：dy=Q

9、 x yn本方法的创新之处是先解方程dx (1.2),利用变量分离法解式(a)得：y j=(1-n) JQ(xdx + c,现把常数c变易为待定的函数 c( x),即y j=(1-n) fQ(xdx + c (x) (1.3),y,虫二q x .空JL对式(b)两边求微分得：dxdx(1.4),dc x = n -1 p x iQ x dx c x由(1.0)、(1.3)、(1.4)式得 dxJ 利用一阶线性 方 程 的 通 解 公 式 得c(x 户e(n/ypM f(n -1 )p(x )Q (x Jdxe眄、% 十c1 - (1.5),把 式 (1.5) 代 入 式 (1.3) 得yL )

10、=(1 -n) JQ(x Jdx +(1 口溪沙 j(n -1 Jp(x “Q(x )dxe” 眄、dx + c ,利用分部积分公式judv uv jvdu，令u JQ (x x,v = e(啊甘，则伯努利方y(1-n)en,p，Q x e2Pxdxdx , c fcl程的通解为j1. 6C为任意常数。当n0时，方程还有解y=0.1.3积分因子法将(1.0)式两端同除以yn整理为：(p(x)y1-Q(x)dx+ydy = 0 (1.6)M x, y = p(x)y1,Q(x), N x, y = y则:1N x,yfM x,y 汕 x, y(:一一:)=(1 n)p(x)-:y只是关于x的函数

11、，则其积分因子为u(x),(1_n) p(x)dxu (x) = e二(1 _n) p(x)dx将u(x)=e1 乘以(1.6)式得:(1 -n)Q(x)ep(x) dx(1 -n) p(x)dx1(1-n) p(x)dx(1.7)L dx = y e dy + y p(x)e ， dx对(1.7)式右边进行凑微分得：(1-n)Q x e1 dx dy1%1 pxdx两边同时积分得：J(1 -n )Q (x e I)dx +c = y je眄,，整理得：y j =el p dx (J(1 -n )Q (x eldx + g)令 0=01/(1-n)从而伯努利方程的通解为:1(n J) p(x)

12、dx(1 -n) p(x) dx7 y =(1 n)elQ(x)e , dx + c . 7C为任意常数1.4解法举例利用上面各种求解方法求解方程了一卬二的通解解：现将方程y变为标准型的伯努利方程，即_ydie x解法一（变量代换、常数变易法）：在 两边同除以产得:1 dz z i_ + _ = _V ,则dr立x（C为任意常数）解法二（函数变换法）：令y=u（x）v（x）为 式的通解由上述讲解知：（工）令 c=-c1 则（C为任意常数）解法三（求导法）z=ji(x)y+S(x)述讲解知：州二_c-Jf(r)_x+c二，牛) x（C为任意常数）方法四（恰当导数法）：令n卜血1由上述讲解知：一仅

13、中）血3 ” 令 c=-cl,则 Z=x+cy4=外(工)-=-（C为任意常数）方法五（直接常数变易法） ：式的通解（一）、对 式的其次方程的通解进行常数变易，从而得-=0二五x的通解为二西=X式的通解经常数变易后设二瑞T即看（C为任意常数）=_p式的通解（二）、先求 而 上 的通解，然后再利用常数变易法求y=由上述讲解知：r+c（C为任意常数）六（积分因子法）：化简题目中的方程为:时（天，）-1不（2）=-二 期工 V刎”）：1期（苍y）二0看 城 0C加（芭y）涮（卬）dyQjca/(xy) av(xy)dySr _ 1Mw) x式的积分因子为at-jty = 0为全微分方程（C为任意常数

14、）注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常 数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为 一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线 性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于 x的函数，再代回原方 程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程 凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变 易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当 导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍 微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程

15、简洁，方法简单。2.伯努利方程的应用在一阶微分方程中的应用y(x)y(x)y(x)211在形如 y)y= p(x)10*ydy + q(x)(f0y)dy)n(J0?y)dy存在且不为零)方程中的应用y (x)令夕y(x)尸L * y dy,有dx则原方程化为:dx_)= p(x)穹 y(x) )+q(x)代 y(x) jn.此方程为伯努利方程，可求得i1(y(x).故原方程的通解为：1(n J) p(x) dx(1 _n) p(x)dx中(y(x) =(1-n)e q(x)e dx c.例 1: 2yy=xy2+2xy4 .解：令 Rx 产 y2,则 d2 x)= 2yy：代入原方程得：d.

16、 x )=碑 x ) + 2x重 x J2, 解得：(x) =ce2 -2 , 则原方程的通解为：2J.x2y (x) =ce 2 -2.2.1.2在形如f (y) +x%d)y = gd/yxhd)方程中的应用x xxx y=xu代入上方程中，然后整理把u取作自变量.则得到一个伯努利方程:dxg(u) -uf (u) =xf (u) x 1h(u)du(2.1 )求得（2.1 ）的通解为:x-：( ag(u) -uf (u) eh(u)-ag(u) -uf (u)du c)ef(u) du - g(u)-uf(u)然后将u换成得到原方程的通解. x例 2: x(4 xy)y =2y 2x x

17、y2.解：方程中二=2, f(-) -4,g(-)二益 2,h(-) = y设u =丫得：x TOC o 1-5 h z dxq(2 -2u)= 4x + x u ,du把u取作自变量，解这个伯努利方程得：x=(1u-1u +c)(1 -u)4 ,34将u换成丫得原方程的通解为：xx2=1d-1d)+c(1丫)4.3 x 4 xx2.1.3在黎卡提方程中的应用黎卡提方程：业=p(x)y2+Q(x)y + R(x),其中p(x),Q(x), R(x)都是连续函 dx数。如果已知黎卡提方程的一个特解为：y = y1(x),作变量替换 y(x) =z(x) +y1(x),则dy = dz dy_dx

18、 dx dx 代入原方程得：乎器=p(x)(z yi)2 Q(x)(z yi) R(x)dx dx,、2_一 一2一,、 一=p(x)z 2p(x)yi Q(x)z p(x)yiQ(x)y1 R(x).由于y = y1(x)是原方程的特解，因而满足：华 = p(x)y12 Q(x)y1 R(x),dx所以dz=2p(x)y1 +Q(x)z + p(x)z2 .dx容易知道这是一个关于z的伯努利方程且n=2,则由伯努利方程通解：(n -1) p(x) dx(1-n) p (x) dxy =(1-n)e Q(x)edx + c,可求得:1_2 p(x)yi Q(x)dx(2p(x) Q(x)dxz

19、 = eJp(x)edx + c,即：1_(2p(x)yi Q(x)dx(2p(x) Q(x)dx=-e L p(x)edx + c， y(x)-yi(x)从而原方程的通解为：2 p(x)yi Q(x)dx(2 p(x) Q(x)dx1y(x) =y1(x) e1jp(x)e1dx+c.(其中 c是常数)例 3: y = xy2+2xy-3x .解：易知原方程的一个特解为y1 =1 ,作变量代换y =z(x)+1 ,有曳=虫十色代入原方程得：dx dx dxdy=x(z(x) +1) +2x(z(x) +1) -3x ,dx整理得：* = 4xz + xz2为伯努利方程，dx解得： TOC o 1-5 h z /J2xz = -ce又由y =z(x) +1得原方程的通解为:1x216=-ce一 一 .y -143.总结文中所给解法对一般伯努利方程都行得通。在使