输出时滞控制系统稳定性分析及控制器设计

1、 输出时滞控制系统稳定性分析及控制器设计邵敏强 陈卫东（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016）摘 要 考虑滤波器时滞对受控系统的影响，研究受控输出时滞系统的稳定性能。根据稳定性切换理论，确定多自由度受控系统的稳定时滞区域。经过分析获得受控系统脉冲响应衰减时间接近最短时的时滞量，在此基础上采用时滞引入法和滤波器设计法进行控制器设计。结合悬臂梁模型进行数值分析，结果表明：根据时滞系统稳定性分析设计的控制器能够使受控系统脉冲响应衰减速度提高80%以上，有效改善系统的控制效果和稳定性能。关键词：振动主动控制；LQ控制；时滞；稳定性切换；滤波器中图分类号：O321 328

2、 文献标识码：A引言时滞现象在振动主动控制中普遍存在，如响应信号采集、在线数据处理和控制力的计算等，都会产生时滞1。控制系统中的时滞主要有两种，一是由系统硬件产生，包括信号采集或测试仪器、信号转换设备等带来的时滞；二是由控制算法或信号处理方法本身产生的时滞，如滤波器群时延2 ADDIN NE.Ref.5D01862A-1345-4440-A740-58E712D1DDC3。时滞问题的研究主要包括时滞消除和利用两个方面3，在时滞消除的研究方面，最早人们普遍认为时滞会给系统带来不利影响，使系统控制效果下降，甚至导致失稳。一些处理手段如泰勒展开，状态预估等方法4, 5不断被提出，在处理小时滞量的问题

3、上取得了显著的效果。李卫等6针对输入时滞系统，在进行离散化之后采用扩维方法将系统转换为不含时滞的标准离散状态方程，结合线性二次型(Linear Quadratic, LQ)最优控制方法进行控制器设计，解决了任意时滞情况下的控制问题。Cai等7, 8对该方法进行更加深入的研究，并应用于三层楼模型的振动主动控制。该受控系统的时滞主要来源于作动器输出与输入之间的时间延迟。在此基础上，Haraguchi等9进一步研究了任意输入时滞影响下离散系统的控制问题，所提出的方法在原时滞系统转换至不带时滞的离散状态方程的过程中无需增加维数，避免了扩维，大大减少了计算工作量。仿真结果表明，既使在状态不完全可测的情况

4、下，对应的控制器仍具有良好的振动控制性能。在时滞利用方面，旨在通过控制律设计和时滞量选择，确保控制器不仅能够镇定系统，还能有效抑制外扰作用时受控系统的振动幅度。过去20年，时滞反馈控制作为振动控制领域的一个活跃分支，取得了许多标志性成果。例如，Sipahi和Olgac用直接法研究了一般形式的时滞反馈振动主动控制问题10, 11；Udwadia等12研究了主动增加时滞在提高系统稳定性和控制效果方面的作用，分别讨论了时滞对典型和非典型阻尼系统的影响。研究结果表明，在受控系统中适当增加时滞能够同时提高控制器的稳定性和控制效果。文中以无时滞状态下的LQ控制为基础，分析滤波器时滞对受控系统稳定性能的影响

5、。结合滤波器通带范围内相频特性的近似线性关系，将其产生的时滞简化为不随信号频率变化的固定时滞，得到输出时滞恒定的系统。针对这一系统，采用稳定性切换理论13进行稳定性分析，确定稳定和非稳定时滞区域。然后，进一步在稳定时滞区域内分析能够实现有效控制的时滞区域，获得使系统达到最佳控制效果的时滞量。在此基础上，提出调节系统时滞的控制器设计方法，确保系统稳定的同时有效改善系统控制效果。在进行稳定性分析时采用悬臂梁有限元模型作为受控对象，根据输入和输出的位置，将多自由度系统方程转换为输入输出方程，有效简化系统的复杂程度，提高运行效率。1 无时滞系统LQ控制1.1 状态反馈LQ控制针对由计算机执行的控制系统

6、，可以视为离散时间的控制范畴。离散时间系统的状态方程和输出方程为7,9(1)其中，、分别为维状态向量和维控制向量，为维输出向量，。若系统输出为全部状态，则。可以采用LQ最优控制方法设计控制器，具体形式表示为(2)其中，为正定对称矩阵，满足黎卡提方程(3)该全状态反馈最优控制的目标函数为(4)其中，、分别为和维权矩阵，且，。1.2 输出反馈LQ控制在实际应用中通常无法测量受控对象的全部状态，系统输出为部分状态，即。对于这种情况，要得到系统的最优状态反馈控制，则首先需要估计系统未知状态，控制律可以表示成，其中为估计状态。为避免由状态估计导致的计算量大幅提升，这里采用降低系统维数的办法将状态方程转换

7、为输入输出方程。同时在方程(1a)两边左乘向量，可得(8)求矩阵的Moore-Penrose广义逆15(9)其中，和是正交矩阵，且的奇异值分解为。结合式(9)，将式(1b)代入式(8)，整理可得输入输出方程(10)其中，。根据式(10)建立目标函数(11)其中，、分别为和维权矩阵，且，。使目标函数取得最小的反馈控制增益为(12)其中，为正定对称矩阵，且满足黎卡提方程(13)此时，使方程(10)取得最优的控制输入为(14)2 滤波器时滞对LQ控制的影响2.1滤波器时滞为使控制系统具有更强的抗干扰和适应恶劣工作环境的能力，在系统输出端设置滤波器能够有效消除测量信号中的干扰成分。根据实际需要设计一低

8、通滤波器DLPF1，通带截止频率为10Hz，通带波纹小于3dB，阻带起始频率为50Hz，阻带衰减为60dB。若系统采样率为1000Hz，结合Matlab工具箱(buttord)计算得到滤波器阶数，归一化截止频率。利用工具箱butter函数可以得到满足以上技术要求的离散低通Butterworth滤波器系数，。滤波器时滞通常被称为群时延，定义为滤波器相频响应对频率一阶微分的负数。若为滤波器响应的相角，则群时延表示为16(15)2.2局部相位线性化根据滤波器DLPF1的设计性能，在阻带范围内信号得到很大程度的衰减，对系统控制性能不会产生影响。这里需重点考虑的是通带范围内信号相位的变化，在通带010H

9、z范围内相位随频率变化基本呈线性关系。所以，可以假设滤波器相频响应在通带内具有线性特性，表示为(16)其中为拟合相位，、为待定系数。经最小二乘法(Least Square Method)求解得到式(16)满足最优解的系数为，(17)其中，为实际相频曲线上的对应点。根据式(15)可得滤波器通带近似时滞(18)结合式(17)和式(18)，经计算得到滤波器DLPF1通带时滞。线性拟合曲线如图1所示。图1低通滤波器DLPF1近似相频曲线2.3滤波器时滞引起的失稳现象为验证滤波器时滞对控制系统造成的影响，结合实际工程中常用的柔性悬臂梁作为受控对象进行数值仿真。梁的基本物理参数为：密度，杨氏模量，长，横截

10、面尺寸，。具体模型如图2所示，系统输出为梁端部的加速度信号，控制力作用在梁端部。外扰采用集中力形式，作用在梁中间位置。图 2悬臂梁模型将模型划分八个单元建立有限元离散系统。经转换得到式(10)所示方程的系数矩阵分别为，。其中，。式(11)中的权矩阵分别取为，经计算可得输出反馈LQ控制律。采用窄带随机的激励方式对悬臂梁模型施加外扰，使其产生振动。激励信号中心频率为8Hz，带宽为5Hz ，均方值为0.27。图3反映了系统在无时滞状态下分别采用全状态反馈和输出反馈LQ控制方法得到的控制效果。输出反馈LQ控制方法对系统一阶共振具有很好的抑制作用，系统位移响应的均方值由m2降至，下降至未施加控制时的22

11、.9%，其效果与状态反馈LQ控制相接近。图4反映了系统输出端含滤波器DLPF1情况下的控制效果，系统受脉冲激励，输出反馈控制器保持不变。由图可知系统发散，说明该滤波器对系统稳定性产生影响，导致失稳。 图3窄带随机激励作用下无时滞系统控制效果图4含DLPF1滤波器的控制系统脉冲响应(1s时刻施加脉冲激励)3 受控输出时滞系统稳定性分析3.1 受控系统稳定时滞域为了便于理论分析，在连续时间域内对受控系统进行稳定性讨论。连续时间域内的受控模型、滤波器与离散域内的模型、滤波器在有效频带内具有同样的频域特性和动力学性能，分析结果可以直接应用于离散时间系统。由于滤波器作用，系统输出信号可表示为两个不同频带

12、信号的组合，即(19)其中为滤波器通带范围内的信号，为阻带范围内的信号。当输出信号经过滤波器之后，阻带范围内的信号得到很大程度衰减，主要保留了通带范围内的信号。同时考虑滤波器产生的时滞，则系统控制输入可以表示为(20)系统状态可表示成各阶模态的叠加，满足，其中为第阶固有振型，为模态坐标。假设，其中振型()所对应的固有频率处于滤波器通带范围内，而()对应的固有频率处于滤波器阻带范围内。因此，满足，且通带内系统输出满足(21)结合式(20)，可得(22)因此，受控系统状态方程可以表示为(23)式(23b)的稳定性能与开环系统一致。因为开环系统是稳定的，所以闭环系统的稳定性能只取决于式(23a)，该

13、式的特征方程为(24)设计基于系统输出的LQ控制器，参照式(11)所示的离散时间系统输出LQ控制目标函数，取连续时间系统的输出和输入加权矩阵、 。根据Matlab工具箱lqr命令求得连续时间状态下图2所示受控系统的控制器增益为。以下讨论在该控制增益下受控系统的稳定性能。当时特征方程对应的特征值均处于复平面的左半开平面，系统稳定。当时，方程(24)成为超越方程，具有无数多个解。随着由零逐渐增大，方程(24)的根有可能穿越虚轴进入复平面的右半平面，导致系统失稳。若实部最大的根恰好落在虚轴上，则此时系统临界稳定。将式(24)展开，可表示为(25)当系统处于临界稳定时，存在，根据稳定性切换理论13，可

14、得系统纯虚根及临界时滞如表1。表1方程(25)纯虚根及系统临界时滞 (注：的符号决定特征根的穿越方向)纯虚根穿越方向临界时滞 (s)54.06i1从左向右0.03370.14990.26610.38240.49860.614847.35i-1从右向左0.09410.22670.35940.49210.62480.7575表1所示结果表明方程存在两个正实根，临界时滞重新排列后得(26)结合临界状态下特征根的穿越方向，可知系统时滞在区间，和内渐进稳定，在，及时失稳，且时滞从零逐渐增大至无穷的过程中稳定性切换次数为9次。以上分析表明系统存在多个稳定时滞区间，对于具有两个临界频率的系统，如果，且，时，

15、系统稳定区间的时间间隔可以表示为(27)其中，为临界状态下与特征方程(25)实部和虚部有关的常数，为系统停止稳定性切换时的取值。由于，所以随着k的增加逐渐减小至小于等于零，当时表明该稳定区间不存在，属于无效稳定区间。在即将进入且未进入无效稳定区间时的满足(28)其中，表示对实数向下取整。由此可知当系统时滞时系统彻底失稳且不再发生稳定性切换，在时滞从零逐渐增加的过程中，系统发生稳定性切换的次数为。本系统，根据式(28)可知。系统稳定区域为，与表1所列关系一致。3.2 稳定时滞域内的有效控制控制系统在临界时滞状态下将会发生分叉现象，分别取时滞，在1s时刻对系统施加一幅值为1，带宽为0.1s的脉冲扰

16、动。图5显示了系统在临界时滞下由该扰动引起的分叉周期运动，可知系统在各临界时滞状态下受扰动后产生等幅周期振荡，无法衰减至平衡点。在实际工程应用中，临界状态以及不稳定状态在控制律设计时是需要避开的，保证系统稳定是控制律设计首先必须满足的要求。然而，有时即使控制系统稳定，但控制效果也不一定能够达到要求，不能产生有效控制，图6显示了在第一个稳定区域内系统控制失效的实例。由图可知，采用输出LQ控制在无时滞的情况下具有很好的控制效果，其阶跃响应达到稳定的时间比无控情况下缩短很多，而当系统输出存在时滞的情况下，阶跃响应达到稳定的时间反而比无控状态下要长，这就表明在这种时滞状态下系统增加了到达稳定状态的调节

17、时间，虽然能够保证稳定，但其控制是失效的。系统阶跃或脉冲响应从起始时刻达到稳定状态的时间是衡量一个系统性能的重要指标，通常被称为调节时间14。响应进入稳定幅值5%范围内不再超出该范围的状态在工程中可以被认为系统进入稳定状态。图7为系统调节时间随输出时滞在稳定域内的变化情况。在稳定域I内调节时间随着时滞的增加而逐渐延长，当时控制系统的调节时间与无控时一致，因此在稳定区间内当时控制失效，能保证控制有效的时滞区间为。稳定区域II内能保证控制有效的时滞区域为，当时滞为126ms时系统具有最小调节时间，比稳定域I内的最小调节时间少0.25s。稳定域III内能保证有效控制的时滞区域为，该区域内最小调节时间

18、为1.44s，大于前两个稳定域内的最小调节时间。稳定域IV和V内系统阶跃响应的调节时间均大于无控时系统调节时间，且稳定域V内的调节时间均大于20s，因此在这两个稳定域内均不存在对控制有效的时滞。因此，能使系统产生有效控制的时滞区域为、和。图5临界时滞状态下系统分叉周期运动图6输出时滞系统LQ控制阶跃响应比较图7稳定时滞域内时滞系统调节时间4基于稳定性分析的控制器设计4.1 时滞引入法根据以上分析，DLPF1产生的时滞恰好处于第一个不稳定时滞区域内，因此系统失稳。根据图7知系统在稳定时滞区域II内存在最最小调节时间，此时系统时滞为。所以，可以采用两种方法使系统稳定，并达到最佳控制效果，即使系统调

19、节时间达到最小。其一是直接引入附加时滞，采用与DLPF1具有同样频域特性和时滞特征的滤波器；其二是设计新的滤波器，使其通带内产生的时滞接近。为进一步理论分析，将离散滤波器DLPF1转换为满足同样技术参数和物理性能的连续滤波器CLPF1，其系数阵为 直接引入附加时滞，系统控制输入其中为系统输出经过CLPF1滤波后的信号。受控系统在单位阶跃激励作用下的响应如图8所示。由图可知，对含有低通滤波器CLPF1的控制系统采用LQ控制，即系统附加时滞时，系统发散；在增加附加时滞之后，系统稳定，并且阶跃响应衰减时间由无控时的3.58s降低到0.66s，响应衰减速度提高了82%。图8 时滞引入法控制系统阶跃响应

20、()4.2 滤波器设计法设计新滤波器，要求通带范围内产生的群时延在第二个有效控制区域内，尽可能接近。满足时滞要求的滤波器CLPF2具有如下技术指标：通带截止频率为10Hz，通带波纹小于3dB，阻带起始频率为18Hz，阻带衰减为60dB。计算得到滤波器阶数，连续滤波器截止频率。满足技术指标的连续无源IIR低通滤波器系数为CLPF2在通带范围内的群时延近似为127ms，系统受单位阶跃激励作用下的响应如图9所示。由图可知，对含有低通滤波器CLPF2的控制系统采用输出LQ控制时，系统稳定，阶跃响应衰减时间由无控时的4.16s降低到0.99s，响应衰减速度提高了76%。图9滤波器设计法控制系统阶跃响应4

21、.3 系统控制效果验证根据以上分析，基于稳定性分析结果设计的控制器能够大幅度提高受控系统的脉冲响应衰减速度。但是，该项指标只反映了受控系统控制性能的一个方面。为了更全面了解系统受控性能，考察系统强迫振动情况下的控制效果。图10和图11为系统受简谐激励作用时的控制效果，激励频率为系统一阶固有频率8.1Hz，幅值为10N，其中图11的控制效果考虑了系统输出受白噪声干扰的情况，白噪声的幅值为无控情况下系统输出信号幅值的50%。图 10 周期激励作用下系统控制效果经数值仿真可知，受控系统能够将振幅抑制到未施加控制时的20%以下，并且当输出信号受强噪声干扰时系统依然稳定，且能够保持未受干扰时的控制效果，

22、表明滤波器在消除噪声方面起到了积极作用，有效改善了系统稳定性能。图 11 输出信号受白噪声影响系统控制效果为进一步验证受控系统的鲁棒性能，考察系统在稳定时滞区域II内的有效控制效果，仿真所采用的激励信号频率为8.1Hz，幅值为10N。针对滤波器CLPF1作用的系统，采用时滞引入法得到位移响应幅值随时滞变化的曲线如图12所示。受控系统在有效控制区域内能够将受控系统振动幅值抑制到无控时的35%以下，始终保持良好的控制效果。并且，在最佳引入时滞附近不超过15ms的区域内系统振动抑制效果始终保持在80%以上，在各不同时滞点的响应偏差皆小于2%，表明系统具有较好的鲁棒性。图12 有效时滞控制区域内位移响

23、应幅值5 结论针对输出LQ控制系统在引入滤波器之后产生的不稳定现象，分析了输出时滞对受控系统稳定性的影响。采用稳定性切换理论得出了系统稳定、临界稳定及不稳定的时滞区域，为含有输出时滞的系统控制器设计提供了依据。讨论了柔性悬臂梁模型受低通滤波器DLPF1的影响，使原本稳定的LQ控制器产生了失稳现象。通过时滞引入法和滤波器设计法实现控制器设计，达到理想的控制效果。仿真结果表明，受控系统能够大幅提高对脉冲激励的响应衰减速度；在受到强迫激励时，能够将系统振幅抑制到较低的水平，并且在时滞出现微小变化的情况下保持良好的鲁棒性能。同时验证了滤波器能够有效提升系统的抗干扰能力。参考文献:1Ali M S, H

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