《复变函数》(第四版)第三讲课件

1、第三讲 解析函数的充要条件初等函数第1页，共46页。 1. 解析函数的充要条件 2. 举例2.2 解析函数的充要条件第2页，共46页。 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题 如何判断函数的解析性呢？第3页，共46页。一. 解析函数的充要条件第4页，共46页。第5页，共46页。第6页，共46页。 记忆定义 方程称为Cauch

2、y-Riemann方程(简称C-R方程).第7页，共46页。定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有最易记忆仅用u 表示仅用v 表示第8页，共46页。证明（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。函数 w =f (z)点 z可导，即则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且第

3、9页，共46页。u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可写为因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y第10页，共46页。所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：第11页，共46页。第12页，共46页。定理2 函

4、数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.第13页，共46页。使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， (因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可微) ii) 验证C-R条件.iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别

5、关于x,y求导简单拼凑成的.第14页，共46页。二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则第15页，共46页。解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny第16页，共46页。仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则第17页，共46页。例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为第18页，共46页。例3 证明第

6、19页，共46页。例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.第20页，共46页。ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=， k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水

7、平的，另一条是铅直的, 它们仍互相正交。练习: 用C-R方程可解得 a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第21页，共46页。 1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数第22页，共46页。 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内 容 简 介第23页，共46页。一. 指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义第24页，共46页。第25页，共46页。 这个性质是实变指数函数所没有的。第26页，共46页。 例1例2例3第27页，共46页。二. 三角函数

8、和双曲函数推广到复变数情形定义第28页，共46页。正弦与余弦函数的性质第29页，共46页。思考题第30页，共46页。第31页，共46页。由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)第32页，共46页。第33页，共46页。定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质第34页，共46页。第35页，共46页。三. 对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，(1) 对数的定义第36页，共46页。故第37页，共46页。特别 第38页，共46页。(2) 对数函数的性质见1-6例4第39页，共46页。例4第40页，共46页。四. 乘幂 与幂函数 乘幂ab定义 多值 一般为多值推广到复数情形：第41页，共46页。q支第42页，共46页。 (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。 (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。第43页，共46页。解例5第44页，共46页。 幂函数zb定义