《最大值、最小值问题》北师大版选修课件

1、第1页，共57页。课程目标设置第2页，共57页。第3页，共57页。第4页，共57页。主题探究导学第5页，共57页。第6页，共57页。1.在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a,b上一定存在最值和极值吗？提示：一定有最值，但不一定有极值.如果函数f(x)在a,b上是单调的，此时f(x)在a,b上无极值；如果f(x)在a,b上不是单调函数，则f(x)在a,b上有极值.第7页，共57页。2.极值和最值的区别与联系？提示：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.(2)函数的最大值

2、、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.第8页，共57页。3.求函数y=f(x)在a,b内最值的步骤.提示：第9页，共57页。典型例题精析第10页，共57页。第11页，共57页。第12页，共57页。第13页，共57页。第14页，共57页。第15页，共57页。第16页，共57页。第17页，共57页。第18页，共57页。第19页，共57页。第20页，共57页。第21页，共5

3、7页。第22页，共57页。第23页，共57页。第24页，共57页。第25页，共57页。第26页，共57页。第27页，共57页。第28页，共57页。第29页，共57页。第30页，共57页。第31页，共57页。第32页，共57页。第33页，共57页。第34页，共57页。第35页，共57页。知能巩固提高第36页，共57页。一、选择题（每题5分，共15分）1.下列命题中，真命题是( )(A)函数的最大值一定不是函数的极大值(B)函数的极大值可以小于该函数的极小值(C)函数在某一区间上的极小值就是函数的最小值(D)函数在开区间内不存在最大值和最小值【解析】选B.极值是函数的局部性质，极大值可以小于该函数

4、的极小值.第37页，共57页。2.函数f(x)=x+2cosx在0， 上的最大值为( )(A) (B)2(C) + (D) +1【解析】选C.f(x)=1-2sinx，令f(x)=0得x= ,当x0, )时，f(x)0,当x( , 时，f(x)0,f(x)max=f( )= + .第38页，共57页。第39页，共57页。3.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间-1，2上的最大值为3，最小值为-29，且a0，则（ ）(A)a=2,b=29 (B)a=2,b=3(C)a=3,b=2 (D)a=-2,b=-3【解析】选B.f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f(x)=0，得x=0或x

5、=4(舍去).又f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b,a0，最大值为b，最小值为-16a+b.第40页，共57页。二、填空题（每题5分，共10分）4.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值、最小值分别为_.【解析】f(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1).又x0,3，由f(x)=0得x=2,f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4,f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.答案：5,-15第41页，共57页。5.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四

6、边折起，焊接成铁盒，使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边长为_.【解析】设小正方形边长为x cm，铁盒体积为y cm3，y=(48-2x)2x=4x3-192x2+2 304xy=12x2-384x+2 304=12(x-8)(x-24).48-2x0，0 x24,当x(0,8)时，y是增加的，x(8,24)时,y是减少的,x=8时，ymax=8 192.答案：8 cm第42页，共57页。三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.求下列函数的最值：(1)f（x）=3x-x3(- x3);(2)f(x)=sin2x-x(- x ).【解析】(1)f(x)=3-3x2=3(1-x)

7、(1+x).令f(x)=0，得x=1或x=-1,且f(1)=2,f(-1)=-2.又f(x)在区间端点的函数值为f(- )=0,f(3)=-18,所以f(x)max=2,f(x)min=-18.第43页，共57页。（2）f(x)=2cos2x-1.令f(x)=0，得cos2x= ，又x- ， ，所以2x-,，所以2x= ，所以x= .且f( )= - ,f(- )=- + .又f(x)在区间端点的取值为f( )=- ,f(- )= ,所以f(x)max= ,f(x)min=- .第44页，共57页。7.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消

8、耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?第45页，共57页。【解析】设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)=(kx3+200) =a(kx2+ ).由已知条件，得40=k203,k= ，f(x)=a( x2+ ).由f(x)= =0，得x= 当0 x 时，f(x)0;当 x0.当x= 时，f(x)有最小值，即速度为 km/h时，总费用最少.第46页，共57页。第47页，共57页。第48页，共57页。1.（5分）对于函数f(x)=x3-3x(|x|1)，下列说法正确的是( )(A)有

9、最大值，但无最小值(B)有最大值，也有最小值(C)无最大值，也无最小值(D)无最大值，但有最小值【解析】选C.f(x)=3x2-3=3(x2-1)0，f(x)在（-1，1）上是减少的.第49页，共57页。2.（5分）设函数f(x)=ax3-3x+1(xR),若对于任意x-1,1,都有f (x)0成立,则实数a的值为 _.【解析】若x=0,则不论a取何值,f(x)0显然成立;当x0即x(0,1时，f(x)=ax3-3x+10可化为 设g(x)= ,则g(x)= ,所以g(x)在区间(0, 上是增加的,在区间 ,1上是减少的.因此g(x)max=g( )=4,从而a4;第50页，共57页。当x0即

10、x-1，0）时，f(x)=ax3-3x+10可化为 g(x)在区间-1，0）上是增加的，因此g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上可得a=4.答案：4第51页，共57页。第52页，共57页。第53页，共57页。3.（5分）青海玉树地震灾区在党的领导下积极恢复生产、重建家园时,某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为_.【解析】设堆料场的长为x m,宽为y m.则xy=512,y= ,l=x+2y=x+ ,l=1- =0,x=32.知当0 x32时,l32时,l0.当x=32时,l最小.此时y= =16.答案：32 m,16 m第54页，共57页。4.（15分）已知函数f(x)= x2+lnx.（1）求函数f(x)在区间1，e上的最大值，最小值；（2）求证：x1时f(x) x3.【解析】（1）f(x)=x+ ，x0时，f(x)0则f(x)在区间1，e上是增加的.当x=1时，f(x)有最小值