高中数学选修第一册：选择性必修第一册第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

1、21.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线的斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定图示对应关系l1l2(两直线的斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l2思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？答案不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在1若l1l2，则k1k2.()2若两条直线中有一条直线的斜

2、率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()3若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行()一、两条直线平行的判定例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明解四边形ABCD是平行四边形，证明如下：AB边所在直线的斜率kABeq f(1,2)，CD边所在直线的斜率kCDeq f(1,2)，BC边所在直线的斜率kBCeq f(3,2)，DA边所在直线的斜率kDAeq f(3,2).因为kABkCD，kBCkDA，所以ABCD，BCDA.因此四边形ABCD是平行四边形反思感悟判断

3、两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1(1)已知l1经过点A(3,2)，B(3,10)，l2经过点M(5，2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行解l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，l1l2.(2)试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行解由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在kABeq f(m0,5m1)eq f(m,6m)，kCDeq f(53,04)eq f(1,2)，由于ABCD，所以kABkCD，即eq f(m,6m)eq f(1,2)，得m2.经验证m2时直线AB的斜率存在，所以m2.二、

4、两条直线垂直的判定例2已知ABC的顶点为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值解若A为直角，则ACAB，kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，解得m7；若B为直角，则ABBC，kABkBC1，即eq f(11,15)eq f(m1,21)1，解得m3；若C为直角，则ACBC，kACkBC1，即eq f(m1,25)eq f(m1,21)1，解得m2.综上所述，m7或m3或m2.反思感悟判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两

5、条直线也垂直跟踪训练2判断下列各题中l1与l2是否垂直(1)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解(1)k110，k2eq f(32,2010)eq f(1,10)，k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k2eq f(4040,1010)0，则l2x轴，l1l2.垂直与平行的综合应用典例已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，

6、由斜率公式可得kABeq f(53,24)eq f(1,3)，kCDeq f(03,36)eq f(1,3)，kADeq f(03,34)3，kBCeq f(35,62)eq f(1,2).所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkADeq f(1,3)(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形素养提升用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查1若过点P(3

7、,2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，1)和点N(3,4)的直线平行，则m的值是()A.eq f(1,3) Beq f(1,3) C2 D2答案B解析由kPQkMN，即eq f(2m2,3m)eq f(41,32)，得meq f(1,3).经检验知，meq f(1,3)符合题意2已知直线l1的斜率为a，l2l1，则l2的斜率为()A.eq f(1,a) Beq f(1,a)Ca Deq f(1,a)或不存在答案D解析当a0时，由k1k21知，k2eq f(1,a)，当a0时，l2的斜率不存在3已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2mx30(mR)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A

8、平行 B垂直C可能重合 D无法确定答案B解析由方程3x2mx30，知m243(3)m2360恒成立故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在设两根为x1，x2，则k1k2x1x21，所以l1l2，故选B.4(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是1，2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A若l1l2，则斜率k1k2B若k1k2，则l1l2C若l1l2，则倾斜角12D若12，则l1l2答案ABCD5若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b，3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_答案1解析若a3b，则P，Q两点重合，不合题意故PQ斜率存在由kPQeq

9、 f(3ab,3ba)1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为1.1知识清单：两直线平行或垂直的条件2方法归纳：分类讨论，数形结合3常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况1过点A(2,5)和点B(4,5)的直线与直线y3的位置关系是()A相交 B平行 C重合 D以上都不对答案B解析斜率都为0且不重合，所以平行2已知过A(2，m)和B(m，4)的直线与斜率为2的直线平行，则m的值是()A8 B0 C2 D10答案A解析由题意可知，kABeq f(4m,m2)2，所以m8.3直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A(3,0)

10、 B(3,0)C(0，3) D(0,3)答案D解析设P(0，y)，因为l1l2，所以eq f(y1,01)2，所以y3.即P(0,3)4若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与斜率为eq f(2,3)的直线垂直，则实数a的值为()Aeq f(2,3) Beq f(3,2) C.eq f(2,3) D.eq f(3,2)答案A解析易知a0不符合题意当a0时，直线l的斜率keq f(2,a2a2)eq f(1,a)，由eq f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)1，得aeq f(2,3)，故选A.5(多选)设点P(4,2)，Q(6，4)，R(12,6)，S(2,1

11、2)，下面四个结论正确的是()APQSR BPQPSCPSQS DPRQS答案ABD解析由斜率公式知，kPQeq f(42,64)eq f(3,5)，kSReq f(126,212)eq f(3,5)，kPSeq f(122,24)eq f(5,3)，kQSeq f(124,26)4，kPReq f(62,124)eq f(1,4)，PQSR，PQPS，PRQS.而kPSkQS，PS与QS不平行，故ABD正确6若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_答案eq f(14,5)解析由题意可知kleq f(1,4)，又因为kleq f(m3,2m)，所以eq f(

12、m3,2m)eq f(1,4)，解得meq f(14,5).7直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m_，若l1l2，则m_.答案22解析由一元二次方程根与系数的关系得k1k2eq f(m,2)，若l1l2，则eq f(m,2)1，m2.若l1l2，则k1k2，即关于k的二次方程2k24km0有两个相等的实根，(4)242m0，m2.8已知点A(3，2)，B(6,1)，点P在y轴上，且BAP90，则点P的坐标是_答案(0，11)解析设P(0，y)，由BAP90知，kABkAPeq f(12,63)eq f(y2,3)eq f(y2,9)1，解得y11.

13、所以点P的坐标是(0，11)9当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解(1)由kABeq f(m3,2m2)tan 1351，解得meq f(3,2)或m1.(2)由kABeq f(m3,2m2)，且eq f(72,03)3，则eq f(m3,2m2)eq f(1,3)，解得meq f(3,2)或m3.(3)令eq f(m3,2m2)eq f(93,42)2，解得meq f(3,4)或m1.经检验，当meq f(3,4)或m1时，均符合题意10已知ABCD

14、中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)(1)求点D的坐标；(2)试判定ABCD是否为菱形？解(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kABkCD，kADkBC，所以eq blcrc (avs4alco1(f(02,51)f(b4,a3)，,f(b2,a1)f(40,35)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b6.)所以D(1,6)(2)因为kACeq f(42,31)1，kBDeq f(60,15)1，所以kACkBD1，所以ACBD，所以ABCD为菱形11(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1，0)，且直线AB

15、与直线CD平行，则m的值为()A1 B0C1 D2答案BC解析当m0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时ABCD.当m0时，kABeq f(m43,2mm)，kCDeq f(20,m11)，则kABkCD，即eq f(m1,m)eq f(2,m)，得m1，m0或1.12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是()A(3,1) B(4,1)C(2,1) D(2，1)答案A解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即AOBC1，ABOC2，AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C

16、，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.13若点P(a，b)与Q(b1，a1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()A135 B45 C30 D60答案B解析若ab1，则P，Q重合，不合题意，故直线PQ斜率存在kPQeq f(a1b,b1a)1，kPQkl1，l的斜率为1，倾斜角为45.14下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有_(填序号)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，eq r(3)，N(2，2eq r(3)；l1经过点E(2,6)，F(2,3)

17、，l2经过点P(3，3)，Q(3，6)答案解析kABeq f(51,32)eq f(4,5)，kCDeq f(73,83)eq f(4,5)，kABkCD，l1l2.eq f(21,21)12，l1不平行于l2.tan 60eq r(3)，eq f(r(3)2r(3),12)eq r(3)，l1l2.l1，l2的斜率均不存在，l1l2.15直线l的倾斜角为30，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m1)，B(m，2)，则m_.答案4eq r(3)解析如图，直线l1的倾斜角为303060，直线l1的斜率k1tan 60eq r(3).由l1l2知，直线l2的斜率k2k1eq r(3).直线AB的斜率存在，且kABeq f(1,k2)eq f(r(3),3).eq f(m12,1m)eq f(m3,1m)eq f(r(3),3)，解得m4eq r(3).16已知ABC三个顶点坐标分别为A(2，