高等数学教学课件导数与微分

1、第一节 导数的概念第二节 求导法则第三节 微分及其在近似计算中的作用导数与微分第一节 导数的概念一 两个实例四 求导举例二 导数的概念三 可导与连续一、 两个实例1. 变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动2. 曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增

2、量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的概念定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .在点的某个右 邻域内2. 左 右导数若极限则称此极限值为在 处的右 导数,记作即(左)(左)定义2 . 设函数有定义,存在,定理

3、 函数在点且存在简写为在点处右 导数存在定理3. 函数在点必 右 连续.(左)(左)若函数与都存在 ,则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且3.导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程:法线方程:三、 可导与连续定理1.证: 设在点 x 处可导,存在 ,因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意: 函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即*例 3 求函数 y = c(c为常数) 的导数.解 因为 y = c为常数,所以 y = 0,这就是

4、说:常数的导数等于零.即例如:若 y = 8 ,则四、求导举例 解(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.*例 4求函数 y = sin x 的导数.即同理可得1,2,3步合并解即(ex) = ex.特别地,当a=e 时,有(ax) = ax lna .例 5求函数 y = ax ( a0 , a1) 的导数 .(当x0 时,与 xlna 是等价无穷小)1,2,3合并*例 6求函数 y = ln x (x (0, ) ) 的导数.解即同理可得1,2,3合并y = (x+ x)3 - x3 = 3x2x + 3x(x)2 + (x)3 解3x2+ 3xx + (x)2

5、即 例 8 求函数 y = x3 的导数.同理可得幂函数求导公式: ( a 为任意实数 )例 9求下列函数在指定点处的导数:(1)(2)解(1) 因为所以(2) 因为所以思考题： 3. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意:有什么区别与联系 ?？与导函数4. 设存在 , 则小结 1.导数的概念:2.可导与连续:3.求导举例:可导必定连续,连续不一定可导4.已学过的导数公式(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.(ex) = ex.(ax) = ax lna .作业 P60 2. 3. 6. 7谢谢同学们 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复

6、合函数的求导法则 四、初等函数的求导公式 三、反函数的求导法则 五、三个求导方法六、高阶导数第二节 求导法则 第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 例2. 求证证: 类似可证:二、复合函数求导法则证:在点 u 可导,故（当 时 )故有例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.解 对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算 例5. 求下列导数:解: (1)(2)(3)说明: 类似可得例6. 设求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同练习: 设例7. 设解:记则(反双曲正弦)的

7、反函数三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此例9. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则类似可求得利用, 则2) 设则特别当时,小结:解:1.基本初等函数的导数公式 四、初等函数的求导公式3复合函数的求导法则 2函数的和、差、积、商的求导法则 小结.和，差，积，商求导法则.复合函数求导法则.反函数求导法则.初等函数的求导公式、进一步练习 练习1 电流电路中某点处的电流i是通过该点处的求其电流函数i(t) ？ (2)t=3时的电流是多少？ (3) 什么时候电流为28？电量q关于时间的

8、瞬时变化率，如果一电路中的电量为。解(1)(2) (3) 解方程得即当 练习2 速度已知某物体做直线运动，路程(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为 ，求物体在解物体运动的速度为乘积的求导法则时的速度？R为的电路中的电压由下式给出： 解电压V关于可变电阻R的变化率为：商的求导法则在时电压关于可变电阻R的变化率为：练习3 电压的变化率 一个电阻为 ，可变电阻时电压关于可变电阻R的变化率求在练习4 制冷效果 某电器厂在对冰箱制冷后断电问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少？解冰箱温度T关于时间t的变化率为测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为 练习5 并联电阻当电流通过两个并联电阻r1,r2时，总电

9、阻由下式给出： 求R关于r1的变化率，假定r2是常量.解由 知 ，因为r2是常数，所以 练习6 放射物的衰减放射性元素碳-14（1g） 的衰减由下式给出： 其中Q是t年后碳-14存余的数量(单位：g)问碳-14的衰减速度（单位：g/年）是多少？解碳-14的衰减速度v为 (g/年) 复合函数的求导法则 案例7 电阻中电流与电压的关系解 因为其中 是电流的峰值（最大值），称振幅，相位 由 复合函数的求导法则求电流i.在电容器两端加正弦电流电压从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：（1）电流i与电压U是同频率的正弦波；（2）电流i比电压Uc相位提前（3）电压峰值与电流峰值之比为电工中称为容抗（容性

10、电抗）. 作业 P6.(2)(3)(5)(6)(9) 10. 15.(2)(7)(11)谢谢同学们五、三个求导方法若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此.隐函数求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)例12. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例13. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例14. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导2

11、.对数求导法 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:例14 求对 x 求导两边取对数的导数 . 3.由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,不要求掌握切线方程为:例17. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为达到最高点的时

12、刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向六、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动定义.若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 ,记作的导数为依次类推 ,分别记作则称(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.设求解:依次类推 ,例19.思考: 设问可得例20. 设求解:特别有:解:规定 0 ! = 1思考:例21. 设求例22. 设求解: 一般地 ,类似可证:作业 P6221.(1) 24.(2) 25.(2) 27 谢谢同学们 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分

13、在近似计算中的应用 第三节 微分及其在近似计算中的作用一、微分的概念 例1: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其的微分,定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理: 函数在点 可微的充要条件是即在点可微,说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当二 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记三、 微分的运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数基本初等函数的微分公式 (见 P57表)例9.求 解:例10. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例11. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.数学中的反问题往往出现多值性 , 例如四、 微分在近似计算中的应用当很小时,使用