线性系统的能控性和能观性和实现问题

1、线性系统的能控性和能观性和实现问题线性系统的能控性和能观性和实现问题目录(1/1)目 录概述4.1 线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性 线性定常离散系统的能控性和能观性 对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形4.7 实现问题4.8 Matlab问题本章小结线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形和能观规范形(1/3)4.6 能控规范形和能观规范形由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。约旦规范形(对角线规范形)就是

2、以系统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形和能观规范形(2/3)下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。讨论的主要问题:基本定义: 能控规范I/II形、能观规范I/II形旺纳姆能控规范II形龙伯格能控规范II形基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形和能观规范

3、形(3/3)讲授顺序为:能控规范形能观规范形MIMO系统的能控能观规范形 。线性系统的能控性和能观性和实现问题则称该状态空间模型为能控规范I形。能控规范形(1/16)能控规范形定义4.6.1 能控规范形定义 若SISO系统的状态空间模型为且系统矩阵A和输入矩阵B分别为线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(2/16)能控规范形定义若系统矩阵A和输入矩阵B分别为则称该状态空间模型为能控规范II形。 线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(3/16)上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。下面讨论如下两个问题:能控规范形一定是状态完全能控和一定存在线

4、性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。线性系统的能控性和能观性和实现问题即能控性矩阵的秩都为n。故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。能控规范形(4/16)能控规范形一定是状态完全能控?由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵:线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(5/16)由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控,因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。线性系统的能控性和

5、能观性和实现问题定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc1如下Tc1=Qc=B AB An-1B是非奇异的。那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成能控规范I形:能控规范形(6/16)-能控规范I形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。 线性系统的能控性和能观性和实现问题证明 若取变换矩阵Tc1=Qc,则由 能控规范形(7/16)-能控规范I形定理有因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有 线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(8/16)-能控规范I形定理即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。线性系统的

6、能控性和能观性和实现问题定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc2如下式中，T1=0 0 1B AB An-1B-1那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形:能控规范形(9/16)-能控规范II形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。 Qc的逆矩阵的最后一行线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(10/16)证明证明的思路为:先构造变换矩阵P的逆为行向量组成利用变换关系A=P-1AP,确定P-1的行之间的关系利用变换关系B=P-1B,最后确定T1证明过程为: 设变换矩阵Tc2的逆阵为线性系统的能控性和能观性和实现问

7、题能控规范形(11/16)则由 ，可得代入友矩阵 ,则有即线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(12/16)因此,有Ti=T1Ai-1 i=2,3,n即能控性变换矩阵Tc2为线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(13/16)下面讨论T1的计算。由求转置,并代入向量 ,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有即T1=0 0 1B AB An-1B-1线性系统的能控性和能观性和实现问题是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。能控规范形(14/16)例4-19由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。例4-19 试求如下系统的能控规

8、范I和II形:解 系统的能控性矩阵线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(15/16)(2) 求能控规范I形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为 因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为线性系统的能控性和能观性和实现问题能控规范形(16/16)(2) 求能控规范II形。 计算变换矩阵先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2则变换矩阵Tc2可取为因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(1/9)能观规范形定义4.6.2 能观规范形对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵

9、A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范I形；线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(2/9)能观规范形定义对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范II形。线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(3/9)由上述定义可知:能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即能观规范I形与能控规范I形互为对偶,而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观

10、的系统才能变换成能观规范形。下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。线性系统的能控性和能观性和实现问题定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To1满足那么线性变换 ,必能将状态空间模型(A,B,C)变换成能观规范I形:能观规范形(4/9)-能观规范I形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。 线性系统的能控性和能观性和实现问题定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵co2如下To2=R1 AR1 An-1R1式中，那么必存在一线性变换 ,能将状

11、态空间模型(A,B, C)变换成如下能观规范II形:能观规范形(5/9)-能观规范II形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形所定义的。 Qo的逆矩阵的最后一列线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(6/9)例4-20由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。例4-20 试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(7/9)例4-20解 由于系统的能观性矩阵是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范

12、形。线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(8/9)(1) 求能观规范I形。根据定理4-26,系统变换矩阵可取为 因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为线性系统的能控性和能观性和实现问题能观规范形(9/9)(2) 求能观规范II形。根据定理4-27,先求变换矩阵，有 则变换矩阵To2可取为因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为线性系统的能控性和能观性和实现问题MIMO系统的能控能观规范形(1/1)4.6.3 MIMO系统的能控能观规范形MIMO线性定常连续系统的能控规范形和能观规范形,相比于SISO系统,无论是规范形形式还是构造方法都要复杂一些。本节从基本性和实用性出发,仅讨

13、论应用较广的旺纳姆(Wonham)能控规范II形和龙伯格(Luenberger) 能控规范II形。 线性系统的能控性和能观性和实现问题旺纳姆能控规范II形(1/1)1. 旺纳姆能控规范II形下面分别介绍旺纳姆能控规范II形定义变换阵Tw的确定线性系统的能控性和能观性和实现问题旺纳姆能控规范II形定义(1/3)(1) 旺纳姆能控规范II形定义对完全能控的MIMO线性定常连续系统式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。基于线性非奇异变换 ,可导出系统的旺纳姆能控规范II形为式中，线性系统的能控性和能观性和实现问题旺纳姆能控规范II形定义(2/3)线性系统的能控性和能观性和实现问题旺纳

14、姆能控规范II形定义(3/3)类似于SISO能控规范形，可以证明旺纳姆能控规范II形肯定能控，而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成旺纳姆能控规范II形。 线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(1/6)(2) 变换阵Tw的确定类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下：首先,通过列向搜索找出系统能控性矩阵中n个线性无关列向量。为此,将Qc的所有nr个列向量排列成如下形式线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(2/6)类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量

15、,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。最后将源自Qc的n个线性无关列向量构成矩阵式中， 线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(3/6)因此,有 式中，ei,j为行向量。基于此,变换矩阵Tw可取为线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(4/6)-例4-21 则可将完全能控的状态空间模型变换成旺纳姆能控规范II形。具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似,故略去。考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理,可由旺纳姆能控规范形的结论直接导出旺纳姆能

16、观规范形的对应结论。具体过程略。例4-21 试求如下线性定常连续系统的旺纳姆能控规范II形。线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(5/6)解 由能控性判别矩阵的秩等于3,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成旺纳姆能控规范II形。首先,按列向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和A2b1。因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵Tw的确定(6/6)故变换矩阵为即可求得旺纳姆能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵线性系统的能控性和能观性和实现问题龙伯格能控规范II形(1/1)2. 龙伯格能控规范II形下面分别介绍龙伯格能控规范II形定义变换阵TL的确

17、定线性系统的能控性和能观性和实现问题龙伯格能控规范II形定义(1/3)(1) 龙伯格能控规范II形定义对完全能控的MIMO线性定常连续系统式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。基于线性非奇异变换 ,可导出系统的龙伯格能控规范II形为式中，线性系统的能控性和能观性和实现问题龙伯格能控规范II形定义(2/3)线性系统的能控性和能观性和实现问题龙伯格能控规范II形定义(3/3)类似于SISO能控规范形，可以证明龙伯格能控规范II形肯定能控，而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成龙伯格能控规范II形。 线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵TL的确定(1/6)(2)

18、 变换阵TL的确定类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下：首先,通过行向搜索找出系统能控性矩阵中n个线性无关列向量。为此,表将的所有nr个列向量排列成如下形式线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵TL的确定(2/6)类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。最后将源自的n个线性无关列向量构成矩阵式中， 线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵TL的确定(3/6)因此,有 式中，ei,j为行向量。基于此,变换矩阵TL可取为线性系统的能控性和能观性和实现问题变换阵TL的确定(4/6)-例4-22则可将完全能控的状态空间模型变换成龙伯格